3.3 幂函数 基础巩固 1.下列幂函数为偶函数的是( A.y=rl B.y=x2 C.y=x D.y=x2 答案D 2.已知4个幂函数的图象如图所示，则图象与函数的解析式大致对应的是( 女平卡 A.①y=x3,②y=,③y=x2,④y=x1 B.①y=,②y=,③y=x2,④y=x C.①y=x2,②y=x3,③y=x2,④y=x D.①y=xi,②y=x元，③y=,④y=x 答案：B 解析：图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A,D.图象②中对应的暴函数是偶函数， 且在区间[0，+∞)内单调递增，所以幂指数必为正偶数，排除C,故选B.4 3.在下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)内单调递减的函数是() A.y=x2 B.y=xl C.y=x5 D.y=x3 答案：A 解析：所给选项都是暴函数，其中y=x2和y=x是偶函数，y=x1和y=x3不是偶函数，故排除选 项B,D,又y=x在区间(0，+o)内单调递增，不符合题意，y=x2在区间(0，+0)内单调递减，符合题 意，故选A 4.已知函数)=x2,若0<a<b<L,则下列各式正确的是() Aabs月() B月f)b)sa ca)b))日) D/a) 答案C 解析：0<a<b<1, >刘 又几x)=xi在区间[0，+o)内单调递增， ∴a得月 5.己知正整数p使得函数x)=xP2在区间(0，+o)内单调递减，则函数x)的单调递减区间 是 答案(-0,0)，(0，+0)
3.3 幂函数 基础巩固 1.下列幂函数为偶函数的是( ) A.y=x-1 B.y=𝑥 1 2 C.y=x D.y=x-2 答案:D 2.已知 4 个幂函数的图象如图所示,则图象与函数的解析式大致对应的是( ) A.①y=𝑥 1 3,②y=x2 ,③y=𝑥 1 2,④y=x-1 B.①y=x3 ,②y=x2 ,③y=𝑥 1 2,④y=x-1 C.①y=x2 ,②y=x3 ,③y=𝑥 1 2,④y=x-1 D.①y=𝑥 1 3,②y=𝑥 1 2,③y=x2 ,④y=x-1 答案:B 解析:图象①对应的幂函数的幂指数必然大于 1,排除 A,D.图象②中对应的幂函数是偶函数, 且在区间[0,+∞)内单调递增,所以幂指数必为正偶数,排除 C,故选 B.4 3.在下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)内单调递减的函数是( ) A.y=x-2 B.y=x-1 C.y=x6 D.y=x-3 答案:A 解析:所给选项都是幂函数,其中 y=x-2 和 y=x6 是偶函数,y=x-1 和 y=x-3 不是偶函数,故排除选 项 B,D;又 y=x6 在区间(0,+∞)内单调递增,不符合题意,y=x-2 在区间(0,+∞)内单调递减,符合题 意,故选 A. 4.已知函数 f(x)=𝑥 1 2,若 0<a<b<1,则下列各式正确的是( ) A.f(a)<f(b)<f( 1 𝑎 )<f( 1 𝑏 ) B.f( 1 𝑎 )<f( 1 𝑏 )<f(b)<f(a) C.f(a)<f(b)<f( 1 𝑏 )<f( 1 𝑎 ) D.f( 1 𝑎 )<f(a)<f( 1 𝑏 )<f(b) 答案:C 解析:∵0<a<b<1, ∴ 1 𝑎 > 1 𝑏 >1. 又 f(x)=𝑥 1 2在区间[0,+∞)内单调递增, ∴f(a)<f(b)<f( 1 𝑏 )<f( 1 𝑎 ). 5.已知正整数 p 使得函数 f(x)=xp-2 在区间(0,+∞)内单调递减,则函数 f(x)的单调递减区间 是 . 答案:(-∞,0),(0,+∞)
解析：，x)=x-2在区间(0，+o)内单调递减 ∴p-2<0,即p<2. p为正整数，p=1, 即x)=x1,其单调递减区间是(-o,0),(0,+o). 6.若(a+1)3<(3a-2)3,则实数a的取值范围是 答案(+∞） 解析：因为函数y=x在R上单调递增， 所以有a+1<3a2,解得a是 7.若函数y=(m2-2m-2)xm2.m+6是幂函数，且为偶函数，则m的值为 答案-1或3 解析：因为函数为幂函数，所以m2-2m-2=1,解得m=-1或m=3 若m=1,则函数为y=x”,函数为偶函数，符合题意； 若m=3,则函数为y=x2,函数为偶函数，符合题意 所以m=-1或m=3. 8.比较下列各组中两个数的大小 (1)(-6.3)4,(-6.2)4 2).( 解(1)(-6.3)4=6.34，(-6.2)4=6.24，且4>1， ∴y=在区间(0，+oo)内单调递增， ∴.6.34>6.24 .(-6.3)4>(-6.2)4 (2),y=x3在区间(0，+0)内单调递增 > (>(食 9.已知幂函数x)=x2m2-m+3,其中m∈{x∈Z-2<x<2,满足： ①在区间(0，+o)内单调递增； ②对任意的x∈R,都有-x)+x)=0 求同时满足条件①②的幂函数x)的解析式，并求当x∈[0,3]时x)的值域. 解：因为m∈{x∈Z-2<x<2} 所以m=-1,0,1. 因为对任意x∈R,都有几-x)+机x)=0, 即-x)=x),所以几x)是奇函数. 当m=-1时，x)=x2只满足条件①而不满足条件②： 当m=1时几x)=x条件①，②都不满足 当m=0时x)=x条件①，②都满足，且在区间[0,3]上单调递增 所以当x∈[0,3]时，函数x)的值域为[0,27] 拓展提高 1.(多选题)已知函数x)=x的图象经过点(4,2)，则下列说法正确的有() A函数x)为增函数 B.函数x)为偶函数
解析:∵f(x)=xp-2 在区间(0,+∞)内单调递减, ∴p-2<0,即 p<2. ∵p 为正整数,∴p=1, 即 f(x)=x-1 ,其单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞). 6.若(a+1)3<(3a-2)3 ,则实数 a 的取值范围是 . 答案:( 3 2 , + ∞) 解析:因为函数 y=x3 在 R 上单调递增, 所以有 a+1<3a-2,解得 a>3 2 . 7.若函数 y=(m2 -2m-2)𝑥 𝑚2 -𝑚+6是幂函数,且为偶函数,则 m 的值为 . 答案:-1 或 3 解析:因为函数为幂函数,所以 m2 -2m-2=1,解得 m=-1 或 m=3. 若 m=-1,则函数为 y=x8 ,函数为偶函数,符合题意; 若 m=3,则函数为 y=x12 ,函数为偶函数,符合题意. 所以 m=-1 或 m=3. 8.比较下列各组中两个数的大小: (1)(-6.3)4 ,(-6.2)4 ; (2)( 5 4 ) 1 3 , ( 6 5 ) 1 3 . 解:(1)(-6.3)4=6.3 4 ,(-6.2)4=6.2 4 ,且 4>1, ∴y=x4 在区间(0,+∞)内单调递增, ∴6.3 4>6.2 4 , ∴(-6.3)4>(-6.2)4 . (2)∵y=𝑥 1 3在区间(0,+∞)内单调递增, 且 5 4 > 6 5 , ∴( 5 4 ) 1 3 > ( 6 5 ) 1 3 . 9.已知幂函数 f(x)=𝑥 -2𝑚2 -𝑚+3 ,其中 m∈{x∈Z|-2<x<2},满足: ①在区间(0,+∞)内单调递增; ②对任意的 x∈R,都有 f(-x)+f(x)=0. 求同时满足条件①②的幂函数 f(x)的解析式,并求当 x∈[0,3]时,f(x)的值域. 解:因为 m∈{x∈Z|-2<x<2}, 所以 m=-1,0,1. 因为对任意 x∈R,都有 f(-x)+f(x)=0, 即 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是奇函数. 当 m=-1 时,f(x)=x2 只满足条件①而不满足条件②; 当 m=1 时,f(x)=x0 条件①,②都不满足. 当 m=0 时,f(x)=x3 条件①,②都满足,且在区间[0,3]上单调递增. 所以当 x∈[0,3]时,函数 f(x)的值域为[0,27]. 拓展提高 1.(多选题)已知函数 f(x)=xα的图象经过点(4,2),则下列说法正确的有( ) A.函数 f(x)为增函数 B.函数 f(x)为偶函数
C.若x>1,则x)>1 D.若0<<n,则2） 答案：ACD 解析：将点4,2)的坐标代入)=，得2=4，a所以x)=x2 显然x)在定义域[0，+©)内为增函数，所以A中说法正确； x)的定义域为[0，+o),所以x)不具有奇偶性，所以B中说法不正确： 当x>1时，Vx>1,即x)>1, 所以C中说法正确： 当0如时fF--（要） =1+2+2西_+丝=2x12-团0， 所以<f(), 2 又20）0， 所以)成立，所以D中说法正确 2 故选ACD. 2.在同一平面直角坐标系内，函数y=x和y=ax-(a0)的图象可能是( 华 答案C 解析：当a<0时，函数y=二是减函数，且在y轴上的截距己>0，y=在区间(0，+o)内单调递减， ∴A,B,D项均不符合题意 若a>0,则=是增函数，且在y轴上的藏距是0，y与在区间(0，+∞)内单调递增，故C项可 能符合题意故选C 3.若函数y=xa4a9是偶函数，且在区间(0，+oo)内单调递减，则整数a的值是 答案：1,3,5，-1 解析：因为函数在区间(0，+∞)内单调递减 所以a2.4a-9<0,即2-V13<a<2+13. 又因为a为整数，所以a=-1,0,1,2,3,4,5 因为函数为偶函数，所以a=-1,1,3,5. 4.已知幂函数x)=xk2+k+2,且2)>3)，求实数k的取值范围. 解：由f2)>3),可知-2+k+2<0, 即k2-k-2>0,解得k>2或k<-1. 5.已知幂函数x)=xm2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，+o)内单调递增 (1)求函数x)的解析式； (2)设函数g(x)=√f(x)+2x+c,若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围. 解(1)“x)在区间(0，+o)内单调递增， ∴.-m2+2m+3>0, 即m2-2m-3<0,解得-1<m<3
C.若 x>1,则 f(x)>1 D.若 0<x1<x2,则 𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2) 2 <f( 𝑥1+𝑥2 2 ) 答案:ACD 解析:将点(4,2)的坐标代入 f(x)=xα ,得 2=4 α ,α= 1 2 ,所以 f(x)=𝑥 1 2. 显然 f(x)在定义域[0,+∞)内为增函数,所以 A 中说法正确; f(x)的定义域为[0,+∞),所以 f(x)不具有奇偶性,所以 B 中说法不正确; 当 x>1 时,√𝑥>1,即 f(x)>1, 所以 C 中说法正确; 当 0<x1<x2 时,[ 𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2) 2 ] 2 -[f( 𝑥1+𝑥2 2 )] 2=( √𝑥1+√𝑥2 2 ) 2 − (√ 𝑥1+𝑥2 2 ) 2 = 𝑥1+𝑥2+2√𝑥1𝑥2 4 − 𝑥1+𝑥2 2 = 2√𝑥1𝑥2-𝑥1-𝑥2 4 =- (√𝑥1-√𝑥2) 2 4 <0, 所以[ 𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2) 2 ] 2<[𝑓 ( 𝑥1+𝑥2 2 )] 2 , 又 𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2) 2 >0,f( 𝑥1+𝑥2 2 )>0, 所以𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2) 2 <f( 𝑥1+𝑥2 2 )成立,所以 D 中说法正确. 故选 ACD. 2.在同一平面直角坐标系内,函数 y=xa 和 y=ax- 1 𝑎 (a≠0)的图象可能是( ) 答案:C 解析:当 a<0 时,函数 y=ax- 1 𝑎 是减函数,且在 y 轴上的截距- 1 𝑎 >0,y=xa 在区间(0,+∞)内单调递减, ∴A,B,D 项均不符合题意. 若 a>0,则 y=ax- 1 𝑎 是增函数,且在 y 轴上的截距- 1 𝑎 <0,y=xa 在区间(0,+∞)内单调递增,故 C 项可 能符合题意.故选 C. 3.若函数 y=𝑥 𝑎 2 -4𝑎-9是偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递减,则整数 a 的值是 . 答案:1,3,5,-1 解析:因为函数在区间(0,+∞)内单调递减, 所以 a 2 -4a-9<0,即 2-√13<a<2+√13. 又因为 a 为整数,所以 a=-1,0,1,2,3,4,5. 因为函数为偶函数,所以 a=-1,1,3,5. 4.已知幂函数 f(x)=𝑥 -𝑘 2+𝑘+2 ,且 f(2)>f(3),求实数 k 的取值范围. 解:由 f(2)>f(3),可知-k 2+k+2<0, 即 k 2 -k-2>0,解得 k>2 或 k<-1. 5.已知幂函数 f(x)=𝑥 -𝑚2+2𝑚+3 (m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设函数 g(x)=√𝑓(𝑥)+2x+c,若 g(x)>2 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 c 的取值范围. 解:(1)∵f(x)在区间(0,+∞)内单调递增, ∴-m2+2m+3>0, 即 m2 -2m-3<0,解得-1<m<3
又m∈Z,∴.m=0,1,2 当m=0,2时x)=x3不是偶函数： 当m=1时x)=x是偶函数. 故函数x)的解析式为x)=x (2)由(1)知，x)=x, 则g(x)=x2+2x+c=(x+1)2+c-1. ,gx)>2对任意的x∈R恒成立， ∴gx)min>2 又g(x)min=g(-l)=c-1, ∴c-1>2,解得c>3. 故实数c的取值范围是(3，+0)， 挑战创新 已知(a+1)<(3-2a,求a的取值范围 解：①当a+1>0,且3-2a>0时 .'(a+1)<(3-2a1, (a+1>0, .3-2a>0, (a+1>3-2a. 解得号a ②当a+10.且320时a+10(6-2a8行合题意可得6.2招50期得al ③当a+1<0,且3-2a<0时， .(a+1)1<(3-2a, (a+1<0, ∴3-2a<0,不等式组的解集为@ （a+1>3-2a, ④当a+1>0,且3-2a<0时，易知不符合题意 综上所述，a的取值范国为(-o,-l)U(作，)
又 m∈Z,∴m=0,1,2. 当 m=0,2 时,f(x)=x3 不是偶函数; 当 m=1 时,f(x)=x4 是偶函数. 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=x4 . (2)由(1)知,f(x)=x4 , 则 g(x)=x2+2x+c=(x+1)2+c-1. ∵g(x)>2 对任意的 x∈R 恒成立, ∴g(x)min>2. 又 g(x)min=g(-1)=c-1, ∴c-1>2,解得 c>3. 故实数 c 的取值范围是(3,+∞). 挑战创新 已知(a+1)-1<(3-2a) -1 ,求 a 的取值范围. 解:①当 a+1>0,且 3-2a>0 时, ∵(a+1)-1<(3-2a) -1 , ∴{ 𝑎 + 1 > 0, 3-2𝑎 > 0, 𝑎 + 1 > 3-2𝑎, 解得2 3 <a<3 2 . ②当 a+1<0,且 3-2a>0 时,(a+1)-1<0,(3-2a) -1>0,符合题意,可得{ 𝑎 + 1 < 0, 3-2𝑎 > 0, 解得 a<-1. ③当 a+1<0,且 3-2a<0 时, ∵(a+1)-1<(3-2a) -1 , ∴{ 𝑎 + 1 < 0, 3-2𝑎 < 0, 𝑎 + 1 > 3-2𝑎, 不等式组的解集为⌀. ④当 a+1>0,且 3-2a<0 时,易知不符合题意. 综上所述,a 的取值范围为(-∞,-1)∪( 2 3 , 3 2 )