3.2.2 奇偶性 基础巩固 1.已知x)是奇函数，且a)=-2,则-a)等于 A-2 B.2 C.±2 D.0 答案B 解析：因为x)是奇函数，所以几-a)=-@)=2. 2.对于定义域为R的奇函数x),都有( )） A.fx)-A-x)>0 B.Ax)-A-x)0 Cx机-x)0 Dx/-x)>0 答案C 解析：因为x)为奇函数，所以几-x)=x), 所以x)-x)=-[x)]2≤0 3.下列说法正确的是( A函数x):召是奇函数 x.2 B函数网--x,是偶函数 C函数x)=x+√x2五是非奇非偶函数 D.函数x)=1既是奇函数又是偶函数 答案：C 解析对于A画数)Ξ的定义城是（®，2）U(2,+0,不关于原点对称，故不是奇函数：对于 x.2 B,画数)-的定义城是1，)不关于原，点对称，故不是偶画数，对于C,函数)的定 义域为(-0，-1]U[1,+o),定义城关于原点对称，但几-x)片x),且几-x)x),故函数是非奇非偶函 数；对于D,x)=1不是奇函数 4在下列函数中，既是奇函数又是增函数的函数为( A.y=x+1 B.y=-x2 D.y=xxl 答案D 解析：根据函数奇偶性的定义知y=x+1是非奇非偶的增函数y=-x是偶函数，但不是单调函 x2,x≥0，易知是奇 数是奇函数但在区间(m,00,+0)内单调递减，D中函数可化为x2x<0, 函数且是增函数 5.(多选题)若函数y=x),x∈R是奇函数，则下列点一定在函数y=x)图象上的是( ) A.(0,0) B.(-a,-f八a) C.(-a,-a) D.(af-a)) 答案：AB 解析：因为y=x),x∈R是奇函数，所以几-x)=x),又x∈R,所以令x=0,则-0)=0)，得0)=0， 所以点(0,0)，(-a,a)一定在函数y=fx)的图象上.故选AB. 6.若定义在R上的偶函数x)在区间(0，+o)内单调递增，则() A3)>-4)>-π) B-π)<-4)3) C3)<-π)-4) D-4)-π)3)
3.2.2 奇偶性 基础巩固 1.已知 f(x)是奇函数,且 f(a)=-2,则 f(-a)等于 ( ) A.-2 B.2 C.±2 D.0 答案:B 解析:因为 f(x)是奇函数,所以 f(-a)=-f(a)=2. 2.对于定义域为 R 的奇函数 f(x),都有( ) A.f(x)-f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)≤0 C.f(x)f(-x)≤0 D.f(x)f(-x)>0 答案:C 解析:因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 所以 f(x)f(-x)=-[f(x)]2≤0. 3.下列说法正确的是( ) A.函数 f(x)= 𝑥 2 -2𝑥 𝑥-2 是奇函数 B.函数 f(x)=(1-x)√ 1+𝑥 1-𝑥 是偶函数 C.函数 f(x)=x+√𝑥 2-1是非奇非偶函数 D.函数 f(x)=1 既是奇函数又是偶函数 答案:C 解析:对于 A,函数 f(x)= 𝑥 2 -2𝑥 𝑥-2 的定义域是(-∞,2)∪(2,+∞),不关于原点对称,故不是奇函数;对于 B,函数 f(x)=(1-x)√ 1+𝑥 1-𝑥 的定义域是[-1,1),不关于原点对称,故不是偶函数;对于 C,函数 f(x)的定 义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),定义域关于原点对称,但 f(-x)≠-f(x),且 f(-x)≠f(x),故函数是非奇非偶函 数;对于 D,f(x)=1 不是奇函数. 4.在下列函数中,既是奇函数又是增函数的函数为( ) A.y=x+1 B.y=-x 2 C.y= 1 𝑥 D.y=x|x| 答案:D 解析:根据函数奇偶性的定义知 y=x+1 是非奇非偶的增函数;y=-x 2 是偶函数,但不是单调函 数;y= 1 𝑥是奇函数,但在区间(-∞,0),(0,+∞)内单调递减;D 中函数可化为 y={ 𝑥 2 ,𝑥 ≥ 0, -𝑥 2 ,𝑥 < 0, 易知是奇 函数且是增函数. 5.(多选题)若函数 y=f(x),x∈R 是奇函数,则下列点一定在函数 y=f(x)图象上的是( ) A.(0,0) B.(-a,-f(a)) C.(-a,-f(-a)) D.(a,f(-a)) 答案:AB 解析:因为 y=f(x),x∈R 是奇函数,所以 f(-x)=-f(x),又 x∈R,所以令 x=0,则 f(-0)=-f(0),得 f(0)=0, 所以点(0,0),(-a,-f(a))一定在函数 y=f(x)的图象上.故选 AB. 6.若定义在 R 上的偶函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,则( ) A.f(3)>f(-4)>f(-π) B.f(-π)<f(-4)<f(3) C.f(3)<f(-π)<f(-4) D.f(-4)<f(-π)<f(3)
答案：C 解析：因为函数x)为偶函数， 所以-π)=π)，-4)=4) 又因为函数x)在区间(0，+o)内单调递增， 所以3)<π)4)， 即3)<-)<-4). 7.己知函数x)=(x+a)(x-4)为偶函数，则实数a= 答案4 解析：因为函数x)为偶函数， 所以-x)=x), 即(-x+a)(-x-4)=(r+a)(x-4) 即x2+(4-ax-4a=x2+(a-4)x-4a, 所以4-a=a-4.解得a=4. 8求证：函数凡x)=2+之的图象关于y轴对称 证明：函数的定义域为(-0,0)U(0,+o).因为x∈(-0,0)U(0,+o),都有-x∈(-o,0)U(0,+o),且几- 到京儿所以画数是偶画数故的图象关于y轴对称 拓展提高 1.已知函数x)的定义域为R对vx1∈l,+o知)有f型<0，且函数x+1)为偶函数， x2-x1 则() A1)-2)3) B-2)3)<1) C-2)<1)3) D3)<1)-2) 答案B 解析：对任意的x1,2∈[1，+o)(x1)】 不妨设x1<2,都有x1)>2), 所以x)在区间[1，+o)内单调递减. 又函数x+1)为偶函数， 所以x+1)=1-x), 则几x)的图象关于直线x=1对称 所以-2)=4) 则-2)=4)<3)1) 故选B 2.已知x)为奇函数，当1s≤4时x)=x2-4x+5,则当4sr≤-1时x)的最小值是() A.-6 B.-5 C.-2 D.-1 答案B 解析：因为奇函数的图象关于原点对称，故只需求当1Sx≤4时x)=x2.4x+5=(x-2)2+1的最大 值.因为4)=5最大，故当-4≤1时-4)=-5最小 3.己知y=x)是奇函数，若gx)=x)+2,且g1)=1,则g(-1)= 答案3 解析：由g1)=1)+2=1,得1)=-1， 所以g-1)=-1)+2=-1)+2=3
答案:C 解析:因为函数 f(x)为偶函数, 所以 f(-π)=f(π),f(-4)=f(4). 又因为函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增, 所以 f(3)<f(π)<f(4), 即 f(3)<f(-π)<f(-4). 7.已知函数 f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数 a= . 答案:4 解析:因为函数 f(x)为偶函数, 所以 f(-x)=f(x), 即(-x+a)(-x-4)=(x+a)(x-4), 即 x 2+(4-a)x-4a=x2+(a-4)x-4a, 所以 4-a=a-4,解得 a=4. 8.求证:函数 f(x)=x2+ 1 𝑥 2的图象关于 y 轴对称. 证明:函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).因为∀x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有-x∈(-∞,0)∪(0,+∞),且 f(- x)=(-x) 2+ 1 (-𝑥) 2=x2+ 1 𝑥 2=f(x),所以函数 f(x)是偶函数.故 f(x)的图象关于 y 轴对称. 拓展提高 1.已知函数 f(x)的定义域为 R,对∀x1,x2∈[1,+∞)(x1≠x2),有 𝑓(𝑥2)-𝑓(𝑥1) 𝑥2-𝑥1 <0,且函数 f(x+1)为偶函数, 则( ) A.f(1)<f(-2)<f(3) B.f(-2)<f(3)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) 答案:B 解析:对任意的 x1,x2∈[1,+∞)(x1≠x2), 不妨设 x1<x2,都有 f(x1)>f(x2), 所以 f(x)在区间[1,+∞)内单调递减. 又函数 f(x+1)为偶函数, 所以 f(x+1)=f(1-x), 则 f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 所以 f(-2)=f(4), 则 f(-2)=f(4)<f(3)<f(1). 故选 B. 2.已知 f(x)为奇函数,当 1≤x≤4 时,f(x)=x2 -4x+5,则当-4≤x≤-1 时,f(x)的最小值是( ) A.-6 B.-5 C.-2 D.-1 答案:B 解析:因为奇函数的图象关于原点对称,故只需求当 1≤x≤4 时 f(x)=x2 -4x+5=(x-2)2+1 的最大 值.因为 f(4)=5 最大,故当-4≤x≤-1 时,f(-4)=-5 最小. 3.已知 y=f(x)是奇函数,若 g(x)=f(x)+2,且 g(1)=1,则 g(-1)= . 答案:3 解析:由 g(1)=f(1)+2=1,得 f(1)=-1, 所以 g(-1)=f(-1)+2=-f(1)+2=3
4.己知x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函数，则f-1)-√2)3)由小到大的顺序 是 答案：3)<-v2)<-1) 解析：所给函数为偶函数 ∴.m=0,∴x)=-x2+3,该函数在区间(0，+o∞)内单调递减 ∴V3)<2)<1), 即3)<-√2)<-1). 5齐函藏阳位牛奶是商蓝数则数的放为 答案1 解析：函数x)是奇函数，∴几-x)=x), 当x>0时，-x<0,则几-x)=a(-x)2+(-x)=ar2-x,∴.x)=r2-x,即fx)=-ax2+x 'x>0时x)=-x2+x, ∴-ar2+x=-x2+x,.a=1 6.已知偶函数x)在区间[0，+o)内单调递增，则满足2x-1)(月的x的取值范围 是 答案（得，引 解析：因为函数x)为偶函数，故由21))，得2x-10) 又国为m)在区间0，+0)内单调道增，所以2x1川<即2x1<京解得时x号 挑战创新 已知函数)装是定义在区间1，)内的奇函数，且月=号 (1)确定函数x)的解析式， (2)用定义证明x)在区间(-1,1)内是增函数； (3)解不等式-1)+0<0. f(0)=0, (1)解：由题意知 f周= (b=0, 解件6二6故到-品 (2)证明x1,∈(1,1)，且x1<2,则2-x1>0)x)1+ 2 x1 (x1-x2)x1x2-1) 一1+x好 (1+x)(1+x1) -1<x1<x2<1 .x1-x2<0,x1x2-1<0 ∴x2)x)>0,即x)>x). 故x)在区间(-1,1)内是增函数. (3)解由题意，得-1)<)-0“x)在区间(-1,1)内是增函数，-1<-1<-1<1，解得0<<号故 不等式的解集为(0，)
4.已知 f(x)=(m-1)x 2+2mx+3 是偶函数,则 f(-1),f(-√2),f(√3)由小到大的顺序 是 . 答案:f(√3)<f(-√2)<f(-1) 解析:∵所给函数为偶函数, ∴m=0,∴f(x)=-x 2+3,该函数在区间(0,+∞)内单调递减, ∴f(√3)<f(√2)<f(1), 即 f(√3)<f(-√2)<f(-1). 5.若函数 f(x)={ -𝑥 2 + 𝑥,𝑥 > 0, 𝑎𝑥 2 + 𝑥,𝑥 ≤ 0 是奇函数,则实数 a 的值为 . 答案:1 解析:∵函数 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x). 当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=a(-x) 2+(-x)=ax2 -x,∴-f(x)=ax2 -x,即 f(x)=-ax2+x. ∵x>0 时,f(x)=-x 2+x, ∴-ax2+x=-x 2+x,∴a=1. 6.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,则满足 f(2x-1)<f( 1 3 )的 x 的取值范围 是 . 答案:( 1 3 , 2 3 ) 解析:因为函数 f(x)为偶函数,故由 f(2x-1)<f( 1 3 ),得 f(|2x-1|)<f( 1 3 ). 又因为 f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,所以|2x-1|<1 3 ,即- 1 3 <2x-1< 1 3 ,解得1 3 <x< 2 3 . 挑战创新 已知函数 f(x)= 𝑎𝑥+𝑏 1+𝑥 2是定义在区间(-1,1)内的奇函数,且 f( 1 2 ) = 2 5 . (1)确定函数 f(x)的解析式; (2)用定义证明:f(x)在区间(-1,1)内是增函数; (3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0. (1)解:由题意知,{ 𝑓(0) = 0, 𝑓 ( 1 2 ) = 2 5 , 即{ 𝑏 = 0, 𝑎 2 +𝑏 1+ 1 4 = 2 5 , 解得{ 𝑎 = 1, 𝑏 = 0. 故 f(x)= 𝑥 1+𝑥 2 . (2)证明:∀x1,x2∈(-1,1),且 x1<x2,则 x2-x1>0,f(x2)-f(x1)= 𝑥2 1+𝑥2 2 − 𝑥1 1+𝑥1 2 = (𝑥1-𝑥2)(𝑥1𝑥2-1) (1+𝑥2 2 )(1+𝑥1 2 ) . ∵-1<x1<x2<1, ∴x1-x2<0,x1x2-1<0. ∴f(x2)-f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1). 故 f(x)在区间(-1,1)内是增函数. (3)解:由题意,得 f(t-1)<-f(t)=f(-t).∵f(x)在区间(-1,1)内是增函数,∴-1<t-1<-t<1,解得 0<t<1 2 .故 不等式的解集为(0, 1 2 )