2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时 一元二次不等式 基础巩固 1.已知集合M={xx2.-3x-28≤0；，W={xx2-x-6>0;,则MnN等于() A.{x-4sr<-2,或3<x7} B.{x-4<x-2,或3sx<7} C.{x-2,或x>3} D.{xr<-2,或23} 答案：A 解析：，M={xx2-3x-28≤0}={x-4sr≤7；，N={xx2-x-6>0}={xr<-2,或x>3}, ∴.MnW={x-4sr<-2,或3<x≤7}. 2.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根为2，-1，则当a<0时，关于x的不等式 ar2+br+c≥0的解集为() A.{xx<-1,或x>2} B.{x心-1，或x22} C.{x-1<x<2} D.(x-1Sxs2) 答案D 解析由题意知，合-1台-2 ∴.b=-a,c=-2a a<0, ∴.原不等式可化为x2-x-2≤0， 解得-1s≤2 故所求不等式的解集为{x-ls≤2} 3.若0<1<1，则关于x的不等式(-x)(x)>0的解集是( Afl<x<t B{xx>,或x<t c{xx<是或x>t D{x<x<引 答案D 解析：0<1<1 1, ∴(-x)0ex-0(x)0a1Kx< 故所求不等式的解集为xt<x<习 4使分式。有意义的x的取值范围为 A.-7sr≤1 B.-7<x<1 Cx≤-7或21
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第 1 课时 一元二次不等式 基础巩固 1.已知集合 M={x|x2 -3x-28≤0},N={x|x2 -x-6>0},则 M∩N 等于( ) A.{x|-4≤x<-2,或 3<x≤7} B.{x|-4<x≤-2,或 3≤x<7} C.{x|x≤-2,或 x>3} D.{x|x<-2,或 x≥3} 答案:A 解析:∵M={x|x2 -3x-28≤0}={x|-4≤x≤7},N={x|x2 -x-6>0}={x|x<-2,或 x>3}, ∴M∩N={x|-4≤x<-2,或 3<x≤7}. 2.已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根为 2,-1,则当 a<0 时,关于 x 的不等式 ax2+bx+c≥0 的解集为( ) A.{x|x<-1,或 x>2} B.{x|x≤-1,或 x≥2} C.{x|-1<x<2} D.{x|-1≤x≤2} 答案:D 解析:由题意知,- 𝑏 𝑎 =1,𝑐 𝑎 =-2, ∴b=-a,c=-2a. ∵a<0, ∴原不等式可化为 x 2 -x-2≤0, 解得-1≤x≤2. 故所求不等式的解集为{x|-1≤x≤2}. 3.若 0<t<1,则关于 x 的不等式(t-x)(𝑥- 1 𝑡 )>0 的解集是( ) A.{𝑥 | 1 𝑡 < 𝑥 < 𝑡} B.{𝑥 |𝑥 > 1 𝑡 ,或𝑥 < 𝑡} C.{𝑥 |𝑥 < 1 𝑡 ,或𝑥 > 𝑡} D.{𝑥 |𝑡 < 𝑥 < 1 𝑡 } 答案:D 解析:∵0<t<1, ∴ 1 𝑡 >1,∴ 1 𝑡 >t. ∴(t-x)(𝑥- 1 𝑡 )>0⇔(x-t)(𝑥- 1 𝑡 )<0⇔t<x< 1 𝑡 . 故所求不等式的解集为 x|𝑡 < 𝑥 < 1 𝑡 }. 4.使分式 1 √7-6𝑥-𝑥 2有意义的 x 的取值范围为( ) A.-7≤x≤1 B.-7<x<1 C.x≤-7 或 x≥1
D.x<-7或x>1 答案：B 解析：由7-6x-x2>0,得x2+6x-7<0,即(x+7)(x-1)<0,所以-7<x<1.故选B. 5.如果关于x的不等式x2<ar+b的解集是{x1<x<3},那么b等于() A.-81 B.81 C.-64 D.64 答案B 解析：关于x的不等式x2<am+b可化为x2-ar-b<0,其解集是{x1<x<3},故1,3为方程x2-ar b=0的两根 由振与系数的关系，得女86解得仍-名 所以b=(-3)1=81.故选B. 6.己知关于x的不等式ax2+bx+2≤0的解集是{x≤-1，或之2；，求a,b的值. 解：由ar2+br+2≤0的解集是{xr≤-1，或之2}，知a<0,且关于x的方程ax2+br+2-0的两根分别 是x1=-1,2=2 (也=1 解得8士 2=-2, 7.已知关于x的不等式(mr-I(x-2)>0的解集为{x片<x<2,m∈R,求m的取值范围. 解：关于x的不等式(mr-l-2)>0的解集为{x片<x<2,m∈R m<0, ∴.关于x的方程(x-1)(x-2)=0的两个实数根为上和2，且 m 已<2，解得m<0故m的取值范围 是m<0. 8.解不等式：-1<x2+2x-1≤2 解：由x2+2x-1>-1,得x2+2x>0,解得x>0或x<-2. 由x2+2x-12,得x2+2x-3≤0，解得-3r≤1 所以-3sx<-2或0<≤1. 故不等式的解集为{x-3sx<-2,或0<x1} 9.若关于x的不等式am2+bx+c20的解集为x3≤x≤2，求关于x的不等式bx2-x+a<0的 解集 解由ar+hr+c20的解集为片≤x≤2，知a<0,且关于x的方程ar+hr+c-0的两个根分 别为2 +2=. b=-30, 5 (c=-a .不等式bx2-cx+a<0即为(3a)r2+(作ax+a<0,即5ax2-2ax-3a>0. a<0,∴5a2-2am30>0可化为5r-2r3<0,解得<1 “所求不等式的解集为{x居<x<1 拓展提高 1.己知关于x的不等式x2-2ar-8a2<0的解集为{xx1<x<x2},且2x1=15,则a的值为()
D.x<-7 或 x>1 答案:B 解析:由 7-6x-x 2>0,得 x 2+6x-7<0,即(x+7)·(x-1)<0,所以-7<x<1.故选 B. 5.如果关于 x 的不等式 x 2<ax+b 的解集是{x|1<x<3},那么 b a 等于( ) A.-81 B.81 C.-64 D.64 答案:B 解析:关于 x 的不等式 x 2<ax+b 可化为 x 2 -ax-b<0,其解集是{x|1<x<3},故 1,3 为方程 x 2 -axb=0 的两根. 由根与系数的关系,得{ 1 + 3 = 𝑎, 1 × 3 = -𝑏, 解得{ 𝑎 = 4, 𝑏 = -3. 所以 b a=(-3)4=81.故选 B. 6.已知关于 x 的不等式 ax2+bx+2≤0 的解集是{x|x≤-1,或 x≥2},求 a,b 的值. 解:由 ax2+bx+2≤0 的解集是{x|x≤-1,或 x≥2},知 a<0,且关于 x 的方程 ax2+bx+2=0 的两根分别 是 x1=-1,x2=2, ∴{ -𝑏 𝑎 = 1, 2 𝑎 = -2, 解得{ 𝑎 = -1, 𝑏 = 1. 7.已知关于 x 的不等式(mx-1)(x-2)>0 的解集为{𝑥 | 1 𝑚 < 𝑥 < 2,𝑚∈R},求 m 的取值范围. 解:∵关于 x 的不等式(mx-1)(x-2)>0 的解集为{𝑥 | 1 𝑚 < 𝑥 < 2,𝑚∈R}, ∴关于 x 的方程(mx-1)(x-2)=0 的两个实数根为1 𝑚和 2,且{ 𝑚 < 0, 1 𝑚 < 2, 解得 m<0.故 m 的取值范围 是 m<0. 8.解不等式:-1<x2+2x-1≤2. 解:由 x 2+2x-1>-1,得 x 2+2x>0,解得 x>0 或 x<-2. 由 x 2+2x-1≤2,得 x 2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1. 所以-3≤x<-2 或 0<x≤1. 故不等式的解集为{x|-3≤x<-2,或 0<x≤1}. 9.若关于 x 的不等式 ax2+bx+c≥0 的解集为{𝑥 |- 1 3 ≤ 𝑥 ≤ 2},求关于 x 的不等式 bx2 -cx+a<0 的 解集. 解:由 ax2+bx+c≥0 的解集为{x|- 1 3 ≤ 𝑥 ≤ 2},知 a<0,且关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的两个根分 别为- 1 3 ,2,∴{ - 1 3 + 2 = - 𝑏 𝑎 , - 1 3 × 2 = 𝑐 𝑎 , ∴{ 𝑏 = - 5 3 𝑎, 𝑐 = - 2 3 𝑎. ∴不等式 bx2 -cx+a<0 即为(- 5 3 𝑎)x 2+( 2 3 𝑎)x+a<0,即 5ax2 -2ax-3a>0. ∵a<0,∴5ax2 -2ax-3a>0 可化为 5x 2 -2x-3<0,解得- 3 5 <x<1. ∴所求不等式的解集为{𝑥 |- 3 5 < 𝑥 < 1}. 拓展提高 1.已知关于 x 的不等式 x 2 -2ax-8a 2<0 的解集为{x|x1<x<x2},且 x2-x1=15,则 a 的值为( )
A月 B. c号 答案：C 解析：由题意知x1,2是方程x2-2ax-8a2-0的两根，所以x1+2=2a,x12-8a2,则(x2-)2-(x1+x2)2- 4x1x2=42+32a2=36a2.又x2-x1=15, 所以36a2=153,解得a=号 2.(多选题)若在R上定义运算“o”:a⊙b=ab+2a+b,则满足x⊙(x-2)<0的实数x的取值可以为 () A.-1 B.0 C.-2 D.1 答案：AB 解析：根据给出的定义，得x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=-(x+2)x-1) 又x⊙(x-2)<0,所以(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1. 故选项AB符合题意 3.已知y=(x-a)(x-b)+2(a<b),且a,a<)是方程y=0的两根，则aB,a,b的大小关系是() A.a<a<B<b B.a<a<b<B C.a<a<b<B D.a<a<B<b 答案：A 解析：设h=(x-a)(x-b),将其图象向上平移2个单位长度得到y=(x-a(x-b)+2的图象，如图所示 由图易知a<a<f<b. 4.不等式x2-3x+2≤0的解集为】 答案：{x-2s≤-1，或1sr≤2} 解析：原不等式等价于x2-3x+2≤0， 即1≤xs2 当x20时，1sr2;当x<0时，-2s≤-1. 所以原不等式的解集为{x-2s≤-1，或1s心2} 5.若关于x的方程x2+(m-3)x+m=0有两个正实根，则m的取值范围是 答案0<m≤1 4=(m-3)2.4m≥0， 解析：由题意得， 3-m>0 解得0<m1 m>0, 6.已知关于x的不等式x2-3x+1<0的解集为{x1<x<m,m∈R},求1+m的值 解：关于x的不等式x2-3x+1<0的解集为{x1<x<m,m∈R}, ∴.1，m是关于x的方程x2-3x+1=0的两根， :+m= (m=t, 3绑8021m4 7.解关于x的不等式x2--2a2<0(a∈R)】 解：原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a,2=-a
A.- 5 2 B.- 15 4 C.±5 2 D.15 2 答案:C 解析:由题意知 x1,x2 是方程 x 2 -2ax-8a 2=0 的两根,所以 x1+x2=2a,x1x2=-8a 2 ,则(x2-x1) 2=(x1+x2) 2 - 4x1x2=4a 2+32a 2=36a 2 .又 x2-x1=15, 所以 36a 2=152 ,解得 a=± 5 2 . 2.(多选题)若在 R 上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b,则满足 x☉(x-2)<0 的实数 x 的取值可以为 ( ) A.-1 B.0 C.-2 D.1 答案:AB 解析:根据给出的定义,得 x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1). 又 x☉(x-2)<0,所以(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1. 故选项 AB 符合题意. 3.已知 y=(x-a)(x-b)+2(a<b),且 α,β(α<β)是方程 y=0 的两根,则 α,β,a,b 的大小关系是( ) A.a<α<β<b B.a<α<b<β C.α<a<b<β D.α<a<β<b 答案:A 解析:设 h=(x-a)(x-b),将其图象向上平移 2 个单位长度得到 y=(x-a)(x-b)+2 的图象,如图所示. 由图易知 a<α<β<b. 4.不等式 x 2 -3|x|+2≤0 的解集为 . 答案:{x|-2≤x≤-1,或 1≤x≤2} 解析:原不等式等价于|x|2 -3|x|+2≤0, 即 1≤|x|≤2. 当 x≥0 时,1≤x≤2;当 x<0 时,-2≤x≤-1. 所以原不等式的解集为{x|-2≤x≤-1,或 1≤x≤2}. 5.若关于 x 的方程 x 2+(m-3)x+m=0 有两个正实根,则 m 的取值范围是 . 答案:0<m≤1 解析:由题意得,{ 𝛥 = (𝑚-3) 2 -4𝑚 ≥ 0, 3-𝑚 > 0, 𝑚 > 0, 解得 0<m≤1. 6.已知关于 x 的不等式 x 2 -3x+t<0 的解集为{x|1<x<m,m∈R},求 t+m 的值. 解:∵关于 x 的不等式 x 2 -3x+t<0 的解集为{x|1<x<m,m∈R}, ∴1,m 是关于 x 的方程 x 2 -3x+t=0 的两根, ∴{ 1 + 𝑚 = 3, 𝑚 = 𝑡, 解得{ 𝑚 = 2, 𝑡 = 2. ∴t+m=4. 7.解关于 x 的不等式 x 2 -ax-2a 2<0(a∈R). 解:原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为 x1=2a,x2=-a
当a>0时，x1>n,不等式的解集为{x-a<x<2a: 当a=0时，原不等式化为x2<0,无解： 当a<0时，x1<x2,不等式的解集为{x2a<x<-a. 综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x-a<x<2a 当a=0时，原不等式的解集为②； 当a<0时，原不等式的解集为{x2a<xr<-a} 挑战创新 已知关于x的不等式a2+5x+c>0的解集为x}<x<引 (1)求a,c的值； (2)解关于x的不等式ar2+(ac+2)x+2c②0 解()由题意知，不等式对应的方程a㎡2+5x+c-0的两个实数根为和三且a<0. 由根与系数的关系，得 解得化二6 (2)由a=-6,c=-1, 知关于x的不等式ar2+(ac+2)x+2c20为-6r2+8r-2≥0， 即3-4x+1s0,解得L, 所以不等式的解集为{x目≤x≤1
当 a>0 时,x1>x2,不等式的解集为{x|-a<x<2a}; 当 a=0 时,原不等式化为 x 2<0,无解; 当 a<0 时,x1<x2,不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上所述,当 a>0 时,原不等式的解集为{x|-a<x<2a}; 当 a=0 时,原不等式的解集为⌀; 当 a<0 时,原不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 挑战创新 已知关于 x 的不等式 ax2+5x+c>0 的解集为{𝑥 | 1 3 < 𝑥 < 1 2 }. (1)求 a,c 的值; (2)解关于 x 的不等式 ax2+(ac+2)x+2c≥0. 解:(1)由题意知,不等式对应的方程 ax2+5x+c=0 的两个实数根为1 3 和 1 2 ,且 a<0. 由根与系数的关系,得{ - 5 𝑎 = 1 3 + 1 2 , 𝑐 𝑎 = 1 2 × 1 3 , 解得{ 𝑎 = -6, 𝑐 = -1. (2)由 a=-6,c=-1, 知关于 x 的不等式 ax2+(ac+2)x+2c≥0 为-6x 2+8x-2≥0, 即 3x 2 -4x+1≤0,解得1 3 ≤x≤1, 所以不等式的解集为{𝑥 | 1 3 ≤ 𝑥 ≤ 1}