第2课时 一元二次不等式的应用 基础巩固 1不等式爷1的解集是( A.(xx>1) B.{x-1<x<2 c{xr<-1,或x>引 D{x1<x<} 答案：C 解析原不等式等价于01<0梁0+1(1-2)<0e(2lx+)>0,解得x1或x2故 原不等式的解集为{xx<1,或x>引 2.若关于x的一元二次不等式2-(1+2)x+>0恒成立，则1的取值集合是(） A.{1s4) B.{1<1<4) C.{1,或24} D.{t<1,或>4} 答案B 解析：由不等式对应方程的判别式△=1+224×些=2+41+4-91=2-51+4<0，解得1<1<4 3.若关于x的不等式x2-4x-m20对任意的x∈R恒成立，则m的最大值为(） A.2 B.-2 C.-4 D.4 答案C 解析：由已知可得不等式对应方程的判别式△≤0，即△=(-4)2+4心0，解得m≤4.所以m的最大 值为-4 4.已知对任意a∈{a-1≤1}，函数y=x2+(a-4)x+4-2a的值都大于零，则x的取值范围是() A.1<x<3 B.x<1或x>3 C.1<r<2 D.x<1或x>2 答案B 解析整理y得-(x2a+(-4x+4,当-1sas1时y0,即x2)×1+(x24x+4)>0, (x-2)×(-1)+(x2.4x+4)>0, 即3x+2>0解得 x<1或x>2, x2.5x+6>0, x<2或x>3, 故x<1或x>3 5.不等式+<3的解集是 答案{xk<0,或x≥引 解桥生3，得型0，即0，则低在 2x-1)≥0，解得<0或2 故不等式生3的解集是{|x<0,或x≥引 6.(1)若关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为R,则实数a的取值范围是 (2)若关于x的不等式x2-ax-≤-3的解集不是空集，则实数a的取值范围 是 答案：(1)-4<a<0(2)a≤-6或22 解析(1)由题意可得，方程x2-ax-a=0的判别式△1<0，即a2.4(-a)<0,得4<a<0 (2)由x2-ax--3,得x2-am-a+3≤0. 'x2-x-a+3≤0的解集不是空集，∴.方程x2-ax-a+3=0的判别式△2≥0， 即a2.43-a)≥0，得a≤6或a22
第 2 课时 一元二次不等式的应用 基础巩固 1.不等式2-𝑥 𝑥+1 <1 的解集是( ) A.{x|x>1} B.{x|-1<x<2} C.{𝑥 |𝑥 < -1,或𝑥 > 1 2 } D.{𝑥 |-1 < 𝑥 < 1 2 } 答案:C 解析:原不等式等价于2-𝑥 𝑥+1 -1<0⇔ 1-2𝑥 𝑥+1 <0⇔(x+1)·(1-2x)<0⇔(2x-1)(x+1)>0,解得 x<-1 或 x>1 2 .故 原不等式的解集为{𝑥 |𝑥 < -1,或𝑥 > 1 2 }. 2.若关于 x 的一元二次不等式 x 2 -(t+2)x+9 4 t>0 恒成立,则 t 的取值集合是( ) A.{t|1≤t≤4} B.{t|1<t<4} C.{t|t≤1,或 t≥4} D.{t|t<1,或 t>4} 答案:B 解析:由不等式对应方程的判别式 Δ=(t+2)2 -4×9𝑡 4 =t2+4t+4-9t=t2 -5t+4<0,解得 1<t<4. 3.若关于 x 的不等式 x 2 -4x-m≥0 对任意的 x∈R 恒成立,则 m 的最大值为( ) A.2 B.-2 C.-4 D.4 答案:C 解析:由已知可得不等式对应方程的判别式 Δ≤0,即 Δ=(-4)2+4m≤0,解得 m≤-4.所以 m 的最大 值为-4. 4.已知对任意 a∈{a|-1≤a≤1},函数 y=x2+(a-4)x+4-2a 的值都大于零,则 x 的取值范围是( ) A.1<x<3 B.x<1 或 x>3 C.1<x<2 D.x<1 或 x>2 答案:B 解析:整理 y 得 y=(x-2)a+(x 2 -4x+4),当-1≤a≤1 时,y>0,即{ (𝑥-2) × 1 + (𝑥 2 -4𝑥 + 4) > 0, (𝑥-2) × (-1) + (𝑥 2 -4𝑥 + 4) > 0, 即{ 𝑥 2 -3𝑥 + 2 > 0, 𝑥 2 -5𝑥 + 6 > 0, 解得{ 𝑥 < 1 或𝑥 > 2, 𝑥 < 2 或𝑥 > 3, 故 x<1 或 x>3. 5.不等式𝑥+1 𝑥 ≤3 的解集是 . 答案:{𝑥 |𝑥 < 0,或𝑥 ≥ 1 2 } 解析:由 𝑥+1 𝑥 ≤3,得 𝑥+1 𝑥 -3≤0,即 2𝑥-1 𝑥 ≥0,则{ 𝑥 ≠ 0, 𝑥(2𝑥-1) ≥ 0,解得 x<0 或 x≥ 1 2 . 故不等式𝑥+1 𝑥 ≤3 的解集是{𝑥 |𝑥 < 0,或𝑥 ≥ 1 2 }. 6.(1)若关于 x 的不等式 x 2 -ax-a>0 的解集为 R,则实数 a 的取值范围是 ; (2)若关于 x 的不等式 x 2 -ax-a≤-3 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围 是 . 答案:(1)-4<a<0 (2)a≤-6 或 a≥2 解析:(1)由题意可得,方程 x 2 -ax-a=0 的判别式 Δ1<0,即 a 2 -4(-a)<0,得-4<a<0; (2)由 x 2 -ax-a≤-3,得 x 2 -ax-a+3≤0. ∵x 2 -ax-a+3≤0 的解集不是空集,∴方程 x 2 -ax-a+3=0 的判别式 Δ2≥0, 即 a 2 -4(3-a)≥0,得 a≤-6 或 a≥2
7已知关于x的不等式2朵32对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围， 解x2-2x+3=(x-1)2+2>0, ∴.4x+m<2(x2-2x+3)恒成立 ∴.2x2-8x+6-m>0恒成立. ∴.方程2x2-8x+6-m=0的判别式△=64-8(6-m)=16+8m<0,解得m<-2. ∴.实数m的取值范围为m<-2. 拓展提高 1.已知关于x的不等式x2-2x+3≤a2-2a-1的解集是@，则实数a的取值范围是( A.-1<a<2 B.-1<a<3 C.2<a<3 D.a-1或a23 答案B 解析：，'x2-2x-(a2-2a-4)0的解集是0， ∴.方程x2-2x-(a2-2a-4)=0的判别式△=4+4(a2-2a-4)<0,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3 2.若关于x的不等式am-b>0的解集为xx>1,则关于x的不等式+>0的解集为( x.2 A.{xx<-2,或x>1}B.{x1<r<2} C.{xr<-1,或x>2}D.{x-1<x<2 答案：C 解析：由题意，可得x=1为方程a-b=0的根，且a>0,∴a-b=0,即a=b>0. :=x40,等价于(x+1)x-2)>0. x-2 x-2 解得x>2或x<-1. 故所求不等式的解集为{xx>2,或x<-1} 3.(多选题)不等式x2+ar+b≤0(a,b∈R)的解集为{xx1s≤}，若x+xs2,则下列结论不成立的 是 () A.la+2bl22 B.la+2b2 C.lalz1 D.bs1 答案：ABC 解析：因为不等式x2+ar+b0(a,b∈R)的解集为{xx1S心x2}, 所以x1,2是对应方程x2+ar+b=0的两个实数根，且x1+?=-a,x1x2=b.又x+x22,不妨设a= 1,b=0,则x1=0,x2=1,但|a+2b=1,所以A选项不成立； 令a=2,b=1,则x1=n=-1,但|a+2b=4,所以B选项不成立； 令a=0,b=1,则x1=-l,n=l,但1a=0,所以C选项不成立：b1=lks(2 2 ≤1，D选项成立故 选ABC 4.已知关于x的一元二次不等式22+x+字0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围 是 答案0<4 解析：关于x的一元二次不等式22+x+0对一切实数x都成立，设关于x的一元二次方 程2宁0的判别式为A0 k2.4k≤0， 解得0<4.∴k的取值范围是 0<k4 挑战创新
7.已知关于 x 的不等式 4𝑥+𝑚 𝑥 2-2𝑥+3 <2 对任意实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:∵x 2 -2x+3=(x-1)2+2>0, ∴4x+m<2(x 2 -2x+3)恒成立, ∴2x 2 -8x+6-m>0 恒成立. ∴方程 2x 2 -8x+6-m=0 的判别式 Δ=64-8(6-m)=16+8m<0,解得 m<-2. ∴实数 m 的取值范围为 m<-2. 拓展提高 1.已知关于 x 的不等式 x 2 -2x+3≤a 2 -2a-1 的解集是⌀,则实数 a 的取值范围是( ) A.-1<a<2 B.-1<a<3 C.2<a<3 D.a≤-1 或 a≥3 答案:B 解析:∵x 2 -2x-(a 2 -2a-4)≤0 的解集是⌀, ∴方程 x 2 -2x-(a 2 -2a-4)=0 的判别式 Δ=4+4(a 2 -2a-4)<0,即 a 2 -2a-3<0,解得-1<a<3. 2.若关于 x 的不等式 ax-b>0 的解集为{x|x>1},则关于 x 的不等式𝑎𝑥+𝑏 𝑥-2 >0 的解集为( ) A.{x|x<-2,或 x>1} B.{x|1<x<2} C.{x|x<-1,或 x>2} D.{x|-1<x<2} 答案:C 解析:由题意,可得 x=1 为方程 ax-b=0 的根,且 a>0,∴a-b=0,即 a=b>0. ∴ 𝑎𝑥+𝑏 𝑥-2 = 𝑎(𝑥+1) 𝑥-2 >0,等价于(x+1)(x-2)>0. 解得 x>2 或 x<-1. 故所求不等式的解集为{x|x>2,或 x<-1}. 3.(多选题)不等式 x 2+ax+b≤0(a,b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2},若|x1|+|x2|≤2,则下列结论不成立的 是 ( ) A.|a+2b|≥2 B.|a+2b|≤2 C.|a|≥1 D.|b|≤1 答案:ABC 解析:因为不等式 x 2+ax+b≤0(a,b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2}, 所以 x1,x2 是对应方程 x 2+ax+b=0 的两个实数根,且 x1+x2=-a,x1x2=b.又|x1|+|x2|≤2,不妨设 a=- 1,b=0,则 x1=0,x2=1,但|a+2b|=1,所以 A 选项不成立; 令 a=2,b=1,则 x1=x2=-1,但|a+2b|=4,所以 B 选项不成立; 令 a=0,b=-1,则 x1=-1,x2=1,但|a|=0,所以 C 选项不成立;|b|=|x1x2|≤( |𝑥1|+|𝑥2| 2 ) 2 ≤1,D 选项成立.故 选 ABC. 4.已知关于 x 的一元二次不等式 2kx2+kx+1 2 ≥0 对一切实数 x 都成立,则实数 k 的取值范围 是 . 答案:0<k≤4 解析:∵关于 x 的一元二次不等式 2kx2+kx+1 2 ≥0 对一切实数 x 都成立,设关于 x 的一元二次方 程 2kx2+kx+1 2 =0 的判别式为 Δ,∴{ 2𝑘 > 0, 𝛥 ≤ 0, ∴ { 𝑘 > 0, 𝑘 2 -4𝑘 ≤ 0, 解得 0<k≤4.∴k 的取值范围是 0<k≤4. 挑战创新
对于集合A={xxr2-2ax+4a-3=0,a∈R},B={xx2-2V2ax+a2+a+2=0,a∈R},是否存在实数a,使A UB=o?若存在，求出α的取值范围：若不存在，说明理由 解：假设存在实数a,使AUB=O,则A=B=O,即关于x的一元二次方程x2-2ar+4-3=0与x2 2Zar+a2+a+2=0均无实数根，于是有△1=4a2.4(4a-3)<0,且△2=8a2-4(a2+a+2)<0,解得 1<a<3,且-1<a<2,则1<a<2,所以存在实数a,使AUB=0,a的取值范围是1<a<2
对于集合 A={x|x2 -2ax+4a-3=0,a∈R},B={x|x2 -2√2ax+a2+a+2=0,a∈R},是否存在实数 a,使 A ∪B=⌀?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由. 解:假设存在实数 a,使 A∪B=⌀,则 A=B=⌀,即关于 x 的一元二次方程 x 2 -2ax+4a-3=0 与 x 2 - 2√2ax+a2+a+2=0 均无实数根,于是有 Δ1=4a 2 -4(4a-3)<0,且 Δ2=8a 2 -4(a 2+a+2)<0,解得 1<a<3,且-1<a<2,则 1<a<2,所以存在实数 a,使 A∪B=⌀,a 的取值范围是 1<a<2