3.4j 函数的应用（一） 基础巩固 1根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分）为x) 层，x<A (4c为常数) ,x≥A C 已知工人组装第4件产品用时30分，组装第A件产品用时15分，则c和A的值分别是( A.75,25 B.75.16 C.60,25 D.60.16 答案D 解析：由条件可知，之A时所用的时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足x)后即 ④)==30，得c=60,从而A)-0-15,得A=16故选D. 2.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为 其中，x代表拟录用人数y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( A.15 B.40 C.25 D.130 答案C 解析：若4x=60,则x=15>10,不符合题意；若2x+10=60,则x=25,符合题意，若1.5x=60,则 x=40<100,不符合题意.故选C. 3.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其 中x(x∈N,单位：辆)为销售量.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 () A.45.606万元 B.45.6万元 C.45.56万元 D.45.1万元 答案B 解析：依题意，可设在甲地销售x辆，则在乙地销售(15-x)辆，故总利润S=5.06r-0.15x2+2(15-x)= 0.15x2+3.06x+30(0r≤15)，该函数图象的对称轴为直线x=10.2,又x∈N,∴.当x=10时，S取得 最大值，且最大值为45.6. 4.(多选题)己知某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起 步价收费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费：超过8km时，超过部 分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.则下列结论正确的是() A.乘客乘出租车行驶4km,需付费9.6元 B.乘客乘出租车行驶10km,需付费25.45元 C.乘客两次乘出租车各行驶5km的费用之和超过他乘出租车行驶10km的费用 D.乘客乘坐出租车后付费22.6元，则此次出租车行驶了9km 答案BCD 解析：在A中，出租车行驶4km,乘客需付费8+1×2.15+1=11.15（元），所以A中结论错误；在B 中，出租车行驶10km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45（元），所以B中结论正确：在 C中，乘出租车行驶5km,乘客需付费8+2×2.15+1-13.30（元），乘坐两次需付费26.6 元，26.6>25.45，所以C中结论正确：在D中，设出租车行驶xkm时，付费y元，由 8+5×2.15+1=19.75<22.6知x>8,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,所以D中 结论正确.故选BCD
3.4 函数的应用(一) 基础巩固 1.根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分)为 f(x)={ 𝑐 √𝑥 ,𝑥 < 𝐴, 𝑐 √𝐴 ,𝑥 ≥ 𝐴 (A,c 为常数). 已知工人组装第 4 件产品用时 30 分,组装第 A 件产品用时 15 分,则 c 和 A 的值分别是( ) A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16 答案:D 解析:由条件可知,x≥A 时所用的时间为常数,所以组装第 4 件产品用时必然满足 f(x)= 𝑐 √𝑥 ,即 f(4)= 𝑐 √4 =30,得 c=60,从而 f(A)= 60 √𝐴 =15,得 A=16.故选 D. 2.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为 其中,x 代表拟录用人数,y 代表面试人数,若面试人数为 60,则该公司拟录用人数为( ) A.15 B.40 C.25 D.130 答案:C 解析:若 4x=60,则 x=15>10,不符合题意;若 2x+10=60,则 x=25,符合题意;若 1.5x=60,则 x=40<100,不符合题意.故选 C. 3.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x 2 和 L2=2x,其 中 x(x∈N * ,单位:辆)为销售量.若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大利润为 ( ) A.45.606 万元 B.45.6 万元 C.45.56 万元 D.45.51 万元 答案:B 解析:依题意,可设在甲地销售 x 辆,则在乙地销售(15-x)辆,故总利润 S=5.06x-0.15x 2+2(15-x)=- 0.15x 2+3.06x+30(0≤x≤15),该函数图象的对称轴为直线 x=10.2,又 x∈N * ,∴当 x=10 时,S 取得 最大值,且最大值为 45.6. 4.(多选题)已知某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起 步价收费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过部 分按每千米 2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.则下列结论正确的是( ) A.乘客乘出租车行驶 4 km,需付费 9.6 元 B.乘客乘出租车行驶 10 km,需付费 25.45 元 C.乘客两次乘出租车各行驶 5 km 的费用之和超过他乘出租车行驶 10 km 的费用 D.乘客乘坐出租车后付费 22.6 元,则此次出租车行驶了 9 km 答案:BCD 解析:在 A 中,出租车行驶 4 km,乘客需付费 8+1×2.15+1=11.15(元),所以 A 中结论错误;在 B 中,出租车行驶 10 km,乘客需付费 8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45(元),所以 B 中结论正确;在 C 中,乘出租车行驶 5 km,乘客需付费 8+2×2.15+1=13.30(元),乘坐两次需付费 26.6 元,26.6>25.45,所以 C 中结论正确;在 D 中,设出租车行驶 x km 时,付费 y 元,由 8+5×2.15+1=19.75<22.6 知 x>8,因此由 y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得 x=9,所以 D 中 结论正确.故选 BCD
5.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知 总收益满足函数R(x)= 400x2x2,0≤x≤400其中x单位台)是仪器的月产量 (80000,x>400, (1)将利润表示为月产量的函数x: (2)当月产量x为何值时，该公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润） 解(1)由于总成本为(20000+100x)元 从而x)=〈 2x2+300x-2000.0≤x≤40， 60000-100x.x>400 (2)当0sx≤400时，x)=x-300Y+25000, ∴.当x=300时，函数x)有最大值25000： 当x>400时x)=60000-100x单调递减， .∴，x)<60000-100x400<25000. ∴.当x=300时，函数x)有最大值25000. 故当月产量为300台时，该公司所获利润最大，最大利润为25000元 6.医院通过撒放某种药物对病房进行消毒.已知开始撒放这种药物时，浓度激增，中间有一段时 间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下降撒放药物后3小时内的浓度变 化可用下面的函数表示，其中x表示时间（单位：时），几x)表示药物的浓度： (-x2+4x+40,0<x≤1， x)=43,1<x≤2， 3x+48,2<x≤3 (1)撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能维持多长时间？ (2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时，那么此次撒放药物能否达到消毒要求？并简要 说明理由。 解(1)当0<x≤1时，x)=-x2+4x+40=-(x-2)2+44, ∴x)在区间(0,1上单调递增，其最大值为1)=43； x)在区间(2,3]上单调递减，故当2<≤3时x)<-3×2+48=42. 因此，撒放药物1小时后，药物的浓度最高，且最高为43，并维持1小时. (2)当0<x≤1时，令x)=41.75,即(x-2)2+44=41.75, 解得x=3.5(舍去)，或x=0.5; 当2<r≤3时，令x)=41.75,即-3x+48=41.75 解得2.08. 因此药物浓度在41.75以上的时间为2.08-0.5=1.58（时）.1.58>1.5. 故此次撒放药物能够达到消毒要求。 拓展提高 1某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段，进行分时计价.该地区的电网销售电价表 如下： 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量 高峰电价 单位千瓦时) (单位：元千瓦时) 50及以下的部分 0.568 超过50至200的部分 0.598 超过200的部分 0.668
5.某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元,每生产一台仪器需增加投入 100 元,已知 总收益满足函数 R(x)={ 400𝑥- 1 2 𝑥 2 ,0 ≤ 𝑥 ≤ 400, 80 000,𝑥 > 400, 其中 x(单位:台)是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数 f(x); (2)当月产量 x 为何值时,该公司所获利润最大?最大利润是多少元?(总收益=总成本+利润) 解:(1)由于总成本为(20 000+100x)元, 从而 f(x)={ - 1 2 𝑥 2 + 300𝑥-20 000,0 ≤ 𝑥 ≤ 400, 60 000-100𝑥,𝑥 > 400. (2)当 0≤x≤400 时,f(x)=- 1 2 (x-300)2+25 000, ∴当 x=300 时,函数 f(x)有最大值 25 000; 当 x>400 时,f(x)=60 000-100x 单调递减, ∴f(x)<60 000-100×400<25 000. ∴当 x=300 时,函数 f(x)有最大值 25 000. 故当月产量为 300 台时,该公司所获利润最大,最大利润为 25 000 元. 6.医院通过撒放某种药物对病房进行消毒.已知开始撒放这种药物时,浓度激增,中间有一段时 间,药物的浓度保持在一个理想状态,随后药物浓度开始下降.撒放药物后 3 小时内的浓度变 化可用下面的函数表示,其中 x 表示时间(单位:时),f(x)表示药物的浓度: f(x)={ -𝑥 2 + 4𝑥 + 40,0 < 𝑥 ≤ 1, 43,1 < 𝑥 ≤ 2, -3𝑥 + 48,2 < 𝑥 ≤ 3. (1)撒放药物多少小时后,药物的浓度最高?能维持多长时间? (2)若需要药物浓度在 41.75 以上消毒 1.5 小时,那么此次撒放药物能否达到消毒要求?并简要 说明理由. 解:(1)当 0<x≤1 时,f(x)=-x 2+4x+40=-(x-2)2+44, ∴f(x)在区间(0,1]上单调递增,其最大值为 f(1)=43; f(x)在区间(2,3]上单调递减,故当 2<x≤3 时,f(x)<-3×2+48=42. 因此,撒放药物 1 小时后,药物的浓度最高,且最高为 43,并维持 1 小时. (2)当 0<x≤1 时,令 f(x)=41.75,即-(x-2)2+44=41.75, 解得 x=3.5(舍去),或 x=0.5; 当 2<x≤3 时,令 f(x)=41.75,即-3x+48=41.75, 解得 x≈2.08. 因此药物浓度在 41.75 以上的时间为 2.08-0.5=1.58(时),1.58>1.5, 故此次撒放药物能够达到消毒要求. 拓展提高 1.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段,进行分时计价.该地区的电网销售电价表 如下: 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量 (单位:千瓦时) 高峰电价 (单位:元/千瓦时) 50 及以下的部分 0.568 超过 50 至 200 的部分 0.598 超过 200 的部分 0.668
低谷时间段用电价格表 低谷月用电量 低谷电价 单位：千瓦时) (单位：元千瓦时) 50及以下的部分 0.288 超过50至200的部分 0.318 超过200的部分 0.388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这 种计费方式该家庭本月应付的电费为 元 答案：148.4 解析：高峰时间段的电费由两部分组成，前50千瓦时的电费为(50×0.568)元，后150千瓦时的 电费为(150×0.598)元. 低谷时间段的电费由两部分组成，前50千瓦时的电费为(50×0.288)元，后50千瓦时的电费为 (50×0.318)元. 所以总电费为50×0.568+150×0.598+50×0.288+50×0.318=148.4（元）. 2.某商品在近30天内每件的日销售价格P(单位：元)和时间1（单位：天）的函数关系为 P-代牛082230eN设商品的日循售量@似单位价与时间（单位天的西数关 系为Q=40-1(0<≤30,1∈N,求这种商品的日销售金额的最大值 解：设日销售金额为y元， 则y=PQ, 所以y= -t2+20t+800(0<t<25,t∈N), t2-140t+400025≤t≤30，t∈N' 当0<1<25，且1∈N时，y=-(1-10)2+900, 所以当1=10时，y取最大值900. 当25≤30，且1∈N时y=(-70)2.900. 所以当1=25时，y取最大值1125 综上，得y的最大值为1125 因此这种商品日销售金额的最大值为1125元 3.为响应“提速降费”新政策，某市移动公司欲提供新的资费套餐（资费包含手机月租费、手机 拨打电话费与家庭宽带上网费)，其中一组套餐变更如下： 原资费方案： 手机月租费 手机拨打电话费 家庭宽带上网费(50M) 18元/月 0.2元/分 50元/月 新资费方案 手机月租费 手机拨打电话费 家庭宽带上 网费(50M) 58元/月 前100分钟（包含100分钟）免费.超过100分钟的部分a元/分(a>0.2)免费 (1)客户甲（只有一个手机号和一个家庭宽带上网号）欲从原方案改成新方案，设其每月手机通 话时间为x分(x∈N,费用y=原方案每月资费-新方案每月资费，写出y关于x的函数解析式 (2)经过统计，移动公司发现，选这组套餐的客户平均月通话时间x≤400分，为能起到降费作用， 求a的取值范围 解(1)当100，x∈N时y=68+0.2x-58=10+0.2x 当x>100,x∈N时，y=68+0.2x-[58+(x-100)a]=(0.2-a)x+100a+10
低谷时间段用电价格表 低谷月用电量 (单位:千瓦时) 低谷电价 (单位:元/千瓦时) 50 及以下的部分 0.288 超过 50 至 200 的部分 0.318 超过 200 的部分 0.388 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦时,则按这 种计费方式该家庭本月应付的电费为 元. 答案:148.4 解析:高峰时间段的电费由两部分组成,前 50 千瓦时的电费为(50×0.568)元,后 150 千瓦时的 电费为(150×0.598)元. 低谷时间段的电费由两部分组成,前 50 千瓦时的电费为(50×0.288)元,后 50 千瓦时的电费为 (50×0.318)元. 所以总电费为 50×0.568+150×0.598+50×0.288+50×0.318=148.4(元). 2.某商品在近 30 天内每件的日销售价格 P(单位:元)和时间 t(单位:天)的函数关系为 P={ 𝑡 + 20(0 < 𝑡 < 25), -𝑡 + 100(25 ≤ 𝑡 ≤ 30) (t∈N * ).设商品的日销售量 Q(单位:件)与时间 t(单位:天)的函数关 系为 Q=40-t(0<t≤30,t∈N * ),求这种商品的日销售金额的最大值. 解:设日销售金额为 y 元, 则 y=PQ, 所以 y={ -𝑡 2 + 20𝑡 + 800(0 < 𝑡 < 25,𝑡∈N * ), 𝑡 2 -140𝑡 + 4 000(25 ≤ 𝑡 ≤ 30,𝑡∈N * ). 当 0<t<25,且 t∈N *时,y=-(t-10)2+900, 所以当 t=10 时,y 取最大值 900. 当 25≤t≤30,且 t∈N *时,y=(t-70)2 -900. 所以当 t=25 时,y 取最大值 1 125. 综上,得 y 的最大值为 1 125. 因此这种商品日销售金额的最大值为 1 125 元. 3.为响应“提速降费”新政策,某市移动公司欲提供新的资费套餐(资费包含手机月租费、手机 拨打电话费与家庭宽带上网费),其中一组套餐变更如下: 原资费方案: 手机月租费 手机拨打电话费 家庭宽带上网费(50M) 18 元/月 0.2 元/分 50 元/月 新资费方案: 手机月租费 手机拨打电话费 家庭宽带上 网费(50M) 58 元/月 前 100 分钟(包含 100 分钟)免费,超过 100 分钟的部分 a 元/分(a>0.2) 免费 (1)客户甲(只有一个手机号和一个家庭宽带上网号)欲从原方案改成新方案,设其每月手机通 话时间为 x 分(x∈N * ),费用 y=原方案每月资费-新方案每月资费,写出 y 关于 x 的函数解析式; (2)经过统计,移动公司发现,选这组套餐的客户平均月通话时间 x≤400 分,为能起到降费作用, 求 a 的取值范围. 解:(1)当 x≤100,x∈N *时,y=68+0.2x-58=10+0.2x. 当 x>100,x∈N *时,y=68+0.2x-[58+(x-100)a]=(0.2-a)x+100a+10
10+0.2x(x≤100x∈N) 综上所迷，)0.20x+100a+10(x>10,x∈N (2)由题意，得x≤400，y>0恒成立，显然，当x≤100，x∈N时y>0 当100<x≤400时，因为0.2-a<0,所以y=(0.2-ar+100a+10单调递减， 所以当x=400时Vmin=90-300a>0, 解得a<0.3,从而0.2<a<0.3. 所以a的取值范围为(0.2,0.3). 挑战创新 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票费每 张900元，若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，每张飞机票减少10元，直到达到规定人 数75为止.而旅行社需付给航空公司包机费每团15000元 (1)写出每张飞机票的价格单位：元)关于人数x(单位：人)的函数解析式， (2)每团人数为多少时，旅行社可从飞机票收入中获取最大利润？ (900,0<x≤30. 解()由题意，得y-900-10(x30),30<x≤75， 900,0<x≤30， 即y-1200-10x,30<x≤75. (2)设旅行社获利Sx)元， 900x-15000,0<x≤30， 则S0)-1200-10x-15000,30<x≤75 900x-15000,0<x≤30， 即S0--10(x-602+21000,30<x≤75 因为S(x)=900x-15000在区间(0,30]上单调递增， 所以当x=30时，S(x)取得最大值，且最大值为12000元， 又当30<x75时，Sx)=-10(x-60)2+21000, 所以当x=60时，S(x)取得最大值，且最大值为21000. 故当每团人数为60时，旅行社可从飞机票收入中获取最大利润
综上所述,y={ 10 + 0.2𝑥(𝑥 ≤ 100,𝑥∈N * ), (0.2-𝑎)𝑥 + 100𝑎 + 10(𝑥 > 100,𝑥∈N * ). (2)由题意,得 x≤400,y>0 恒成立,显然,当 x≤100,x∈N *时,y>0. 当 100<x≤400 时,因为 0.2-a<0,所以 y=(0.2-a)x+100a+10 单调递减. 所以当 x=400 时,ymin=90-300a>0, 解得 a<0.3,从而 0.2<a<0.3. 所以 a 的取值范围为(0.2,0.3). 挑战创新 国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数不超过 30,游客需付给旅行社飞机票费每 张 900 元;若每团人数多于 30,则给予优惠:每多 1 人,每张飞机票减少 10 元,直到达到规定人 数 75 为止.而旅行社需付给航空公司包机费每团 15 000 元. (1)写出每张飞机票的价格 y(单位:元)关于人数 x(单位:人)的函数解析式; (2)每团人数为多少时,旅行社可从飞机票收入中获取最大利润? 解:(1)由题意,得 y={ 900,0 < 𝑥 ≤ 30, 900-10(𝑥-30),30 < 𝑥 ≤ 75, 即 y={ 900,0 < 𝑥 ≤ 30, 1 200-10𝑥,30 < 𝑥 ≤ 75. (2)设旅行社获利 S(x)元, 则 S(x)={ 900𝑥-15 000,0 < 𝑥 ≤ 30, 𝑥(1 200-10𝑥)-15 000,30 < 𝑥 ≤ 75, 即 S(x)={ 900𝑥-15 000,0 < 𝑥 ≤ 30, -10(𝑥-60) 2 + 21 000,30 < 𝑥 ≤ 75. 因为 S(x)=900x-15 000 在区间(0,30]上单调递增, 所以当 x=30 时,S(x)取得最大值,且最大值为 12 000 元, 又当 30<x≤75 时,S(x)=-10(x-60)2+21 000, 所以当 x=60 时,S(x)取得最大值,且最大值为 21 000. 故当每团人数为 60 时,旅行社可从飞机票收入中获取最大利润