第三章过关检测 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.下表给出函数y=x)的部分对应值，则1)=( A.π B.4 C.8 D.0 答案：A 2.若函数x)=2x+1,则x)=( ) A.4x+3 B.4x+4 C.(2x+1)2 D.2x2+2 答案：A 解析Ux)=2(2x+1)+1=4x+3 x2+1,x≤1 3.设函数x)= x>1 则3)=( A号 B.3 c D号 答案D 解析因为3>1，所以3)号 又因为经1，所以⑤=)+1号 于是3)⑤)=号 4.若函数几x)=x2,则函数y=f4x-3)的定义域是 () A.(-0,+0） B(m引 c眼+ D(民，+ 答案：C 解析因为x)=x2=V元，所以其定义城为[0，+四)，令4-320，解得心是所以函数与4x3)的定 义战是民+）】 5.己知a=24,b=32,c=25,则() A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 答案：A 解析：因为a=24=42,c=25=52,b=32 且函数y=x2在区间[0，+oo)内单调递增， 所以32<42<52，即b<a<c 6已知函数=x)为偶函数，且在区间(0，+∞)内单调递减若3)=0，则四<0的解集为 2x () A.(-3,3) B.(-0,-3)U(3.+0) C.(-3,0)U(3,+o) D.(-0,-3)U(0,3) 答案C 解析：几x)为偶函数 ∴-x)=x,故fe0可化为国<0 2x
第三章过关检测 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.下表给出函数 y=f(x)的部分对应值,则 f(1)=( ) x -1 0 1 4 7 8 y √2 0 π 1 -3 1 A.π B.4 C.8 D.0 答案:A 2.若函数 f(x)=2x+1,则 f(f(x))=( ) A.4x+3 B.4x+4 C.(2x+1)2 D.2x 2+2 答案:A 解析:f(f(x))=2(2x+1)+1=4x+3. 3.设函数 f(x)={ 𝑥 2 + 1,𝑥 ≤ 1, 2 𝑥 ,𝑥 > 1, 则 f(f(3))=( ) A.1 5 B.3 C.2 3 D.13 9 答案:D 解析:因为 3>1,所以 f(3)= 2 3 . 又因为2 3 ≤1,所以 f( 2 3 ) = ( 2 3 ) 2 +1= 13 9 . 于是 f(f(3))=f( 2 3 ) = 13 9 . 4.若函数 f(x)=𝑥 1 2,则函数 y=f(4x-3)的定义域是 ( ) A.(-∞,+∞) B.(-∞, 3 4 ) C.[ 3 4 , + ∞) D.( 3 4 , + ∞) 答案:C 解析:因为 f(x)=𝑥 1 2 = √𝑥,所以其定义域为[0,+∞).令 4x-3≥0,解得 x≥ 3 4 ,所以函数 y=f(4x-3)的定 义域是[ 3 4 , + ∞). 5.已知 a=2 4 ,b=3 2 ,c=25,则( ) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 答案:A 解析:因为 a=2 4=4 2 ,c=25=5 2 ,b=3 2 , 且函数 y=x2 在区间[0,+∞)内单调递增, 所以 3 2<4 2<5 2 ,即 b<a<c. 6.已知函数 y=f(x)为偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递减.若 f(3)=0,则 𝑓(𝑥)+𝑓(-𝑥) 2𝑥 <0 的解集为 ( ) A.(-3,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) C.(-3,0)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 答案:C 解析:∵f(x)为偶函数, ∴f(-x)=f(x),故 𝑓(𝑥)+𝑓(-𝑥) 2𝑥 <0 可化为𝑓(𝑥) 𝑥 <0
又x)在区间(0，+o)内单调递减，且3)=0，结合图象（图略）知， 当x>3时，x)<0:当-3<x<0时x)>0. 故f☒<0的解集为(-3,0)U(3,+o), 7.若函数fx)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M最小值是m,则Mm的值() A.与a有关，且与b有关 B.与a有关，但与b无关 C.与a无关，且与b无关 D.与a无关，但与b有关 答案B 解析：因为最值在0)=b)=1+a+b()-b号中取，所以最值之差一定与a有关，与b无关 故选B. 8.若定义在R上的函数x)满足对任意的x1,2∈R,都有x1+2)=x)+x2),且当x>0 时x)<0,则(）) Ax)是奇函数，且在R上是增函数 Bx)是奇函数，且在R上是减函数 C几x)是奇函数，且在R上不是单调函数 D.无法确定几x)的单调性和奇偶性 答案B 解析：x+)=x)+几x2), ∴.令x1=x2=0,可得0)=0， ∴.令x2=-x1,得x)t-x)=0)=0, 即几-x1)=x)∴x)为奇函数 令x2>x1>0,则x2-x1>0,x)片jx)=x2-x1+x1)x)=x2-x)+fx)x)=x2-x)K0, x2)x),∴x)为减函数. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分」 9.若函数y=x“的定义域为R,且为奇函数，则a可能的值为() A.-1 B.1 C.2 D.3 答案BD 解析：当a=-1时，暴函数y=x1的定义域为(-o,0)U(0,+o),A不符合题意； 当a=1时，暴函数y=x,符合题意： 当a=2时，幂函数y=x2的定义域为R且为偶函数，C不符合题意； 当a-3时，幂函数y=x3的定义域为R且为奇函数，D符合题意.故选BD 10.己知某工厂八年来某种产品总产量即前x年年产量之和)与时间x(单位：年)的函数关系 如图，则下列说法正确的是() A前三年中，总产量的增长速度越来越慢 B.前三年中，年产量的增长速度越来越慢 C第三年后，这种产品停止生产 D.第三年后，年产量保持不变 答案：AC
又 f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,且 f(3)=0,结合图象(图略)知, 当 x>3 时,f(x)<0;当-3<x<0 时,f(x)>0. 故 𝑓(𝑥) 𝑥 <0 的解集为(-3,0)∪(3,+∞). 7.若函数 f(x)=x2+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是 M,最小值是 m,则 M-m 的值( ) A.与 a 有关,且与 b 有关 B.与 a 有关,但与 b 无关 C.与 a 无关,且与 b 无关 D.与 a 无关,但与 b 有关 答案:B 解析:因为最值在 f(0)=b,f(1)=1+a+b,f(- 𝑎 2 )=b- 𝑎 2 4 中取,所以最值之差一定与 a 有关,与 b 无关. 故选 B. 8.若定义在 R 上的函数 f(x)满足对任意的 x1,x2∈R,都有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当 x>0 时,f(x)<0,则( ) A.f(x)是奇函数,且在 R 上是增函数 B.f(x)是奇函数,且在 R 上是减函数 C.f(x)是奇函数,且在 R 上不是单调函数 D.无法确定 f(x)的单调性和奇偶性 答案:B 解析:∵f(x1+x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=0,可得 f(0)=0, ∴令 x2=-x1,得 f(x1)+f(-x1)=f(0)=0, 即 f(-x1)=-f(x1),∴f(x)为奇函数. 令 x2>x1>0,则 x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)<0, ∴f(x2)<f(x1),∴f(x)为减函数. 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分. 9.若函数 y=xα的定义域为 R,且为奇函数,则 α 可能的值为( ) A.-1 B.1 C.2 D.3 答案:BD 解析:当 α=-1 时,幂函数 y=x-1 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),A 不符合题意; 当 α=1 时,幂函数 y=x,符合题意; 当 α=2 时,幂函数 y=x2 的定义域为 R 且为偶函数,C 不符合题意; 当 α=3 时,幂函数 y=x3 的定义域为 R 且为奇函数,D 符合题意.故选 BD. 10.已知某工厂八年来某种产品总产量 y(即前 x 年年产量之和)与时间 x(单位:年)的函数关系 如图,则下列说法正确的是( ) A.前三年中,总产量的增长速度越来越慢 B.前三年中,年产量的增长速度越来越慢 C.第三年后,这种产品停止生产 D.第三年后,年产量保持不变 答案:AC
解析：由题中函数图象可知，在区间[0,3]上，图象是凸起上升的，表明总产量的增长速度越来越 慢，A中说法正确；由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减小，因此B中说法错误；在区间[3,8] 上，图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0，因此C中说法正确，D中说法错误故 选AC 11.对于实数x,符号x表示不超过x的最大整数，例如[π=3，[-1.08]=-2，定义函数x)=x-[x,则 下列结论中正确的是( A-3.9)=4.1) B.函数x)的最大值为1 C.函数x)的最小值为0 D.方程x)之0有无数个根 答案：ACD 解析-3.9)=(-3.9)-[-3.9]=-3.9-(-4)=0.14.1)=4.1-[4.1]=4.1-4=0.1，A中结论正确； 显然x-l<[xsx,因此0sx[x]<1,∴x)无最大值，但有最小值且最小值为0，B中结论错误，C中 结论正确， 方程x)之-0的解为x=k+k∈Z),D中结论正确故选ACD. 12.若函数y=x24x-4的定义域为[0，m],值域为[-8，-4]，则m的值可能是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：ABC 解析：函数y=x24x-4的大致图象如图0)=4)=-42)=-8. 2-4x-4 因为函数y=x24x-4的定义域为[0，m,值域为[-8，-4]，所以m的取值范围是[2,41，故选ABC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.已知函数x)是定义在R上的奇函数，当x∈(-o,0)时，x)=3x3+5x2-2,则f2)= 答案6 解析2)=--2)=-[3×(-8)+5×4-2]=6. 14.若函数fx)=2x+al的单调递增区间是[3，+oo,则a= 答案-6 解析fx)=2x+al= 2x+a,x之- -2xa,x<- 函数几x)的图象如图所示 ,函数x)的单调递增区间是[3，+o), ∴-3，即a=-6 15.己知x)是R上的奇函数，且x+4)=x),当x∈(0,2)时x)=x2,则7)=」 答案-1 解析7=3+4)=f3),3)=-1+4)=-1)-1)=-1)=-12=-1
解析:由题中函数图象可知,在区间[0,3]上,图象是凸起上升的,表明总产量的增长速度越来越 慢,A 中说法正确;由总产量增长越来越慢知,年产量逐年减小,因此 B 中说法错误;在区间[3,8] 上,图象是水平直线,表明总产量保持不变,即年产量为 0,因此 C 中说法正确,D 中说法错误.故 选 AC. 11.对于实数 x,符号[x]表示不超过 x 的最大整数,例如[π]=3,[-1.08]=-2,定义函数 f(x)=x-[x],则 下列结论中正确的是( ) A.f(-3.9)=f(4.1) B.函数 f(x)的最大值为 1 C.函数 f(x)的最小值为 0 D.方程 f(x)- 1 2 =0 有无数个根 答案:ACD 解析:f(-3.9)=(-3.9)-[-3.9]=-3.9-(-4)=0.1,f(4.1)=4.1-[4.1]=4.1-4=0.1,A 中结论正确; 显然 x-1<[x]≤x,因此 0≤x-[x]<1,∴f(x)无最大值,但有最小值且最小值为 0,B 中结论错误,C 中 结论正确; 方程 f(x)- 1 2 =0 的解为 x=k+1 2 (k∈Z),D 中结论正确.故选 ACD. 12.若函数 y=x2 -4x-4 的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],则 m 的值可能是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:ABC 解析:函数 y=x2 -4x-4 的大致图象如图,f(0)=f(4)=-4,f(2)=-8. 因为函数 y=x2 -4x-4 的定义域为[0,m],值域为[-8,-4],所以 m 的取值范围是[2,4],故选 ABC. 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x∈(-∞,0)时,f(x)=3x 3+5x 2 -2,则 f(2)= . 答案:6 解析:f(2)=-f(-2)=-[3×(-8)+5×4-2]=6. 14.若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则 a= . 答案:-6 解析:f(x)=|2x+a|={ 2𝑥 + 𝑎,𝑥 ≥ - 𝑎 2 , -2𝑥-𝑎,𝑥 < - 𝑎 2 , 函数 f(x)的图象如图所示. ∵函数 f(x)的单调递增区间是[3,+∞), ∴- 𝑎 2 =3,即 a=-6. 15.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=x2 ,则 f(7)= . 答案:-1 解析:f(7)=f(3+4)=f(3),f(3)=f(-1+4)=f(-1),f(-1)=-f(1)=-1 2=-1
16.已知定义在R上的偶函数x),当x∈[1,2]时x)<0,且x)单调递增，给出下列四个结论： ①x)在区间[-2，-1]上单调递增： ②当x∈[-2，-1]时，有x)<0: ③x)在区间[-2，-1]上单调递减： ④x)川在区间[-2，-1]上单调递减 其中正确的结论是 (填序号)。 答案：②③ 解析：因为x)为定义在R上的偶函数，且当x∈[1,2]时，x)<0,x)单调递增，由偶函数图象的 对称性知x)在区间[-2，-1]上单调递减，且当x∈[-2，-1]时x)<0. 所以当x∈[-2，-1刂时，x)川单调递增. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 3x+5,x≤0， 17.(10分)已知函数fx)=x+5,0<x≤1， -2x+8,x>1. (求)月)-1)的值3分) (2)画出这个函数的图象：(3分)》 (3)求x)的最大值.(4分) 解1)-2+8=5得)=+5-出-l=-3+5-2 (2)作出函数几x)的图象，如图所示（实线部分） ↑y y=3x+5 y=x+5 y=-2x+8 -2刘10123本5天 (3)由函数x)的图象可知，当x=1时，x)取得最大值，且最大值为6 18.(12分)已知定义在区间(-l,1)内的奇函数x)是减函数，若1-a)+1-3a<0,求实数a的取 值范围。 解：原不等式可化为1-3a)<1-a, “x)是奇函数，∴1-a)=a-l) .原不等式化为1-3a)<a-1). x)是减函数，且定义域为(-1,1)， (-1<1-a<1, ∴1<1-3a<1,解得0<a (1-3a>a-1, 故实数a的取值范国为(0，) 19.(12分)已知函数x)=(x+a)(br+2a)(常数a,b∈R)是偶函数，且它的值域为(-o,41,求该函数 的解析式. 解：由题意，可得f-x)=fx),且fx)=bxr2+(2a+ab)x+2a2, ∴.b(-x)2+(2a+ab)(-x)+2a2=br2+(2a+ab)x+2a2, ∴.-(2a+ab)=2a+ab,即2a+ab=0. ∴a=0或b=-2. 当a=0时fx)=bx2
16.已知定义在 R 上的偶函数 f(x),当 x∈[1,2]时,f(x)<0,且 f(x)单调递增,给出下列四个结论: ①f(x)在区间[-2,-1]上单调递增; ②当 x∈[-2,-1]时,有 f(x)<0; ③f(x)在区间[-2,-1]上单调递减; ④|f(x)|在区间[-2,-1]上单调递减. 其中正确的结论是 (填序号). 答案:②③ 解析:因为 f(x)为定义在 R 上的偶函数,且当 x∈[1,2]时,f(x)<0,f(x)单调递增,由偶函数图象的 对称性知,f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,且当 x∈[-2,-1]时,f(x)<0. 所以当 x∈[-2,-1]时,|f(x)|单调递增. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)已知函数 f(x)={ 3𝑥 + 5,𝑥 ≤ 0, 𝑥 + 5,0 < 𝑥 ≤ 1, -2𝑥 + 8,𝑥 > 1. (1)求 f( 3 2 ),f( 1 π ),f(-1)的值;(3 分) (2)画出这个函数的图象;(3 分) (3)求 f(x)的最大值.(4 分) 解:(1)f( 3 2 )=(-2)×3 2 +8=5,f( 1 π ) = 1 π +5= 5π+1 π ,f(-1)=-3+5=2. (2)作出函数 f(x)的图象,如图所示(实线部分). (3)由函数 f(x)的图象可知,当 x=1 时,f(x)取得最大值,且最大值为 6. 18.(12 分)已知定义在区间(-1,1)内的奇函数 f(x)是减函数,若 f(1-a)+f(1-3a)<0,求实数 a 的取 值范围. 解:原不等式可化为 f(1-3a)<-f(1-a). ∵f(x)是奇函数,∴-f(1-a)=f(a-1). ∴原不等式化为 f(1-3a)<f(a-1). ∵f(x)是减函数,且定义域为(-1,1), ∴{ -1 < 1-𝑎 < 1, -1 < 1-3𝑎 < 1, 1-3𝑎 > 𝑎-1, 解得 0<a<1 2 . 故实数 a 的取值范围为(0, 1 2 ). 19.(12 分)已知函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],求该函数 的解析式. 解:由题意,可得 f(-x)=f(x),且 f(x)=bx2+(2a+ab)x+2a 2 , ∴b(-x) 2+(2a+ab)(-x)+2a 2=bx2+(2a+ab)x+2a 2 , ∴-(2a+ab)=2a+ab,即 2a+ab=0. ∴a=0 或 b=-2. 当 a=0 时,f(x)=bx2
几x)的值域为(-0,4， 而y=bx2的值域不可能为(-0,4]，∴，a0. 当b-2时，fx)-2xr2+2a2,值域为(-0,2] .2a2=4.2=2.fx)=-2x2+4. 20.(12分)若x)是定义在区间(0，+o)内的增函数且对一切x>0,>0,满足月x)) (1)求1)月 (2)若6)=1，解不等式x+3)得<2 解()冷xy=l,“贷)x)), ∴1)=1)1)，得1)=0. 2)由题意，得x+3)H月<26)， ∴在区间(0，+o)内，有x+3)x6)6), o 几x)在区间(0，+oo)内单调递增， 任>0， x+3>0,解得0<r37 2 2+红<6， 6 21.(12分)己知函数x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且1)=1，g1)=3. (1)求函数x)和gx): (2)判断函数x)+gx)的奇偶性： (3)求函数x)+g(x)在区间(0，V3]上的最小值 解(0)设)-xg)经其中kk0 1)=1,81)=3,x1=1,竖-3， 六k=1,e=3)文g是 (2)设x)=fx)+g,则x)=x+ ∴.函数h(x)的定义域是(-0,0)U(0,+o). :M-0=+是(x+到=-， ∴函数h()是奇函数，即函数x)+g(x)是奇函数 (3)由(2)知=)+3)=+是 设x1,2是区间(0，V③上的任意两个实数，且x1<2, 则wo(+-(,+)eH(民》w1品)=g X1X2 ,x1,2∈(0，V3],且x1<x2, .x1-2<0,0<x12<3. .x12-3<0,.(x1-x2)x1x2-3)>0 .'.h(x1)>h(x2). ∴.函数h(x)在区间(0，v③]上单调递减， ,函数h(x)在区间(0,3]上的最小值为h3)=2V3,即函数x)+gx)在区间(0，V3]上的最小值 为23. 22.(12分)某公司生产的A种产品，它的成本是2元/件，售价是3元件，月销售量为10（单位：万 件).为了获得更好的效益.公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每月投入的广告费是
∵f(x)的值域为(-∞,4], 而 y=bx2 的值域不可能为(-∞,4],∴a≠0. 当 b=-2 时,f(x)=-2x 2+2a 2 ,值域为(-∞,2a 2 ]. ∴2a 2=4.∴a 2=2.∴f(x)=-2x 2+4. 20.(12 分)若 f(x)是定义在区间(0,+∞)内的增函数,且对一切 x>0,y>0,满足 f( 𝑥 𝑦 )=f(x)-f(y). (1)求 f(1); (2)若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)-f( 1 𝑥 )<2. 解:(1)令 x=y=1,∵f( 𝑥 𝑦 )=f(x)-f(y), ∴f(1)=f(1)-f(1),得 f(1)=0. (2)由题意,得 f(x+3)-f( 1 𝑥 )<2f(6), ∴在区间(0,+∞)内,有 f[(x+3)·x]-f(6)<f(6), ∴f( 𝑥 2+3𝑥 6 )<f(6). ∵f(x)在区间(0,+∞)内单调递增, ∴ { 1 𝑥 > 0, 𝑥 + 3 > 0, 𝑥 2+3𝑥 6 < 6, 解得 0<x<3√17-3 2 . 21.(12 分)已知函数 f(x)是正比例函数,函数 g(x)是反比例函数,且 f(1)=1,g(1)=3. (1)求函数 f(x)和 g(x); (2)判断函数 f(x)+g(x)的奇偶性; (3)求函数 f(x)+g(x)在区间(0,√3]上的最小值. 解:(1)设 f(x)=k1x,g(x)= 𝑘2 𝑥 ,其中 k1k2≠0. ∵f(1)=1,g(1)=3,∴k1×1=1,𝑘2 1 =3, ∴k1=1,k2=3.∴f(x)=x,g(x)= 3 𝑥 . (2)设 h(x)=f(x)+g(x),则 h(x)=x+3 𝑥 , ∴函数 h(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). ∵h(-x)=-x+3 -𝑥 =-(𝑥 + 3 𝑥 )=-h(x), ∴函数 h(x)是奇函数,即函数 f(x)+g(x)是奇函数. (3)由(2)知 h(x)=f(x)+g(x)=x+3 𝑥 . 设 x1,x2 是区间(0,√3]上的任意两个实数,且 x1<x2, 则 h(x1)-h(x2)=(𝑥1 + 3 𝑥1 ) − (𝑥2 + 3 𝑥2 )=(x1-x2)+( 3 𝑥1 - 3 𝑥2 )=(x1-x2)(1- 3 𝑥1𝑥2 ) = (𝑥1-𝑥2)(𝑥1𝑥2-3) 𝑥1𝑥2 . ∵x1,x2∈(0,√3],且 x1<x2, ∴x1-x2<0,0<x1x2<3. ∴x1x2-3<0,∴(x1-x2)(x1x2-3)>0. ∴h(x1)>h(x2). ∴函数 h(x)在区间(0,√3]上单调递减, ∴函数 h(x)在区间(0,√3]上的最小值为 h(√3)=2√3,即函数 f(x)+g(x)在区间(0,√3]上的最小值 为 2√3. 22.(12 分)某公司生产的 A 种产品,它的成本是 2 元/件,售价是 3 元/件,月销售量为 10(单位:万 件).为了获得更好的效益.公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验,每月投入的广告费是