《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第1章 实数与极限 §1.3 函数极限

1.3.71.3.11.3.21.3.31.3.41.3.51.3.6参数方程变量&和y都是第三个变量t的函数，即 = p(t),(a≤t<b).y = b(t),比如前面的椭圆的参数方程为=acos(t),(0≤t≤2元）(y=bsin(t),星形线的参数方程为 = (a cos(t),(0 ≤ t ≤ 2元).( y = (a sin(t)*,返回全屏关闭退出11/68

1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 ëꐧ Cþ x Ú y Ñ´1n‡Cþ t ¼ê, =,    x = ϕ(t), y = ψ(t), (a 6 t 6 b). 'Xc¡ýëꐧ    x = a cos(t), y = b sin(t), (0 6 t 6 2π). (/‚ëꐧ    x = ￾ a cos(t)
3 , y = ￾ a sin(t)
3 , (0 6 t 6 2π). 11/68 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.3.71.3.11.3.21.3.31.3.41.3.51.3.6例2半径为a的圆在&轴上滚动时，圆周上一个定点在平面上所描绘出的轨迹称为摆线.其参数方程为c = a(0 - sin 0)(0 ≤0 < +8).y = a(1 - cos 0)y2元a返回全屏关闭退出?12/68

1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 ~ 2 Œ» a 3 x ¶þEĞ, ±þ‡½:3²¡þ¤£± Ñ;,¡{‚, Ùëꐧ    x = a(θ − sin θ) y = a(1 − cos θ) (0 6 θ < +∞). 12/68 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.3.71.3.11.3.21.3.31.3.41.3.51.3.6例3动圆绕与其半径相同的定圆圆周外滚动时，动圆上一个定点在平面上所描绘出的轨迹称为心脏线，其参数方程为α = a(2 cos 0 - cos 20)(0 ≤ ≤ 2元).(y = a(2 sin - sin 20)它的图像是下图中的虚线返回全屏关闭退出II13/68

1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 ~ 3 Ä7†ÙŒ»ƒÓ½± EĞ, Äþ‡½:3² ¡þ¤£±Ñ;,¡%9‚, Ùëꐧ    x = a(2 cos θ − cos 2θ) y = a(2 sin θ − sin 2θ) (0 6 θ 6 2π). §ã´eã¥J‚. 13/68 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.3.71.3.11.3.21.3.31.3.41.3.51.3.6极坐标方程在直角坐标系中，设从原点指向点（c.y）的向量与&轴正向夹角为 ,原点到(a,y)的距离为 r, 则 = r cos,y = rsin,给出 r 与β 的关系,可以得到 c,y 的一个关系. (r,)称为点(α,y) 的极坐标, 由极坐标表示的方程称为极坐标方程.极坐标方程可以表现为r与θ之间的显式、隐式、参数方程等形式yUT对数螺线: r = e0.18阿基米德螺线：r=0，0 E (0, 20)0 E (0, 6元)返回全屏关闭退出?15/68

1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 4‹I§ 3†‹IX¥, l:•: (x, y) •þ† x ¶ •Y θ, : (x, y) ål r, K x = r cos θ, y = r sin θ, ‰Ñ r † θ 'X, Œ± x, y ‡'X. (r, θ) ¡: (x, y) 4‹I, d4‹ IL«§¡4‹I§. 4‹I§Œ±Ly r † θ ƒmwª! Ûª!ëꐧ/ª. x y CĒڂ: r = θ, θ ∈ (0, 6π) x y éêڂ: r = e 0.1θ, θ ∈ (0, 20) 15/68 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

1.3.11.3.21.3.31.3.41.3.51.3.61.3.7例4求出所有定义域为实轴的函数使得对于任意实数c，y有(1)f(2f(α) + f(y)) = 2a + f(y)解设f(α)是这样的一个函数.在(1)中令α=y得(2)f(3f(α)) = f(α) + 2α将(2)中的α换为3f(α),并利用(2)可得f(3f(3f()))=f(3f(α))+6f(α)=f(α)+2+6f(）=7f(c)+2a因此f(3f(3f(0)) = 7f(0).由 (2)得f(3f(0)) = f(0),这推出f(3f(3f(0))) =f(0). 于是 7f(0) = f(0), 即 f(0) = 0.在 (1) 中令 = 0, 得 f(f(y)) = f(y). 因此将(1) 中的 α 换为 f(y) 得f(3f(y)) = 3f(y).由此并结合(2)即得f(c）=a返回全屏关闭退出二-16/68

1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 ~ 4 ¦Ñ¤k½Â¢¶¼ê¦éu?¿¢ê x, y k f(2f(x) + f(y)) = 2x + f(y). (1) )  f(x) ´ù‡¼ê. 3 (1) ¥- x = y  f(3f(x)) = f(x) + 2x. (2) ò (2) ¥ x † 3f(x), ¿|^ (2) Œ f(3f(3f(x))) = f(3f(x)) + 6f(x) = f(x) + 2x + 6f(x) = 7f(x) + 2x. Ïd f(3f(3f(0))) = 7f(0). d (2)  f(3f(0)) = f(0), ùíÑ f(3f(3f(0))) = f(0). u´ 7f(0) = f(0), = f(0) = 0. 3 (1) ¥- x = 0,  f(f(y)) = f(y). Ïdò (1) ¥ x † f(y)  f(3f(y)) = 3f(y). dd¿(Ü (2) = f(x) = x. 16/68 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ