1.3.11.3.21.3.31.3.41.3.51.3.61.3.71.3.2函数在无穷大处的极限定义 2(在+ 的极限）设函数 y = f(α)在[a,+oo）有定义.如果有一个实数1具有下列性质：对于任意给定的正数E，总存在一个正数M=M(e)>a,使当>M时有If(α) -l/ <e,则称当α趋向正无穷大时，f(α）以l为极限.记成lim f(α)=l, 或 f(α) → l (α →+oo)c→+α返回全屏关闭退出17/68
1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 1.3.2 ¼ê3á?4 ½Â 2 (3 +∞ 4) ¼ê y = f(x) 3 [a, +∞) k½Â. XJk ¢ê l äke5: éu?¿½ê ε, o3ê M = M(ε) > a, ¦ x > M k |f(x) − l| < ε, K¡ x ªÃ¡, f(x) ± l 4. P¤ lim x→+∞ f(x) = l, ½ f(x) → l (x → +∞). 17/68 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
1.3.31.3.51.3.61.3.71.3.11.3.21.3.4函数在十的极限的几何意义yI+Ey=f(α)I-E--XMo对于任意以y=l为中心线的带状区域，都存在M>0,使得当>M时，函数y=f（α）的图像都在此带状区域中返回全屏关闭退出18/68
1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 ¼ê3 +∞ 4AÛ¿Â O x y M l l − ε l + ε y = f(x) éu?¿± y = l ¥%G«, Ñ3 M > 0, ¦ x > M , ¼ê y = f(x) ãÑ3dG«¥. 18/68 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
1.3.41.3.71.3.11.3.21.3.31.3.51.3.6定义3(在o的极限）设a>0,函数y=f(α)在（一,一a]u[a,+)有定义.如果有一个实数1具有下列性质：对于任意给定的正数ε，总存在一个正数M=M(e）>a,使当lαl>M时有If(α)-/<e,则称当趋向无穷大时，f（c）以l为极限.记成lim f(α) =l, 或 f(α)→l(α→)-易知有lim f(α) =l ← lim f(α) =l 同时 lim f(α) =l-8T+α一返回全屏关闭退出11419/68
1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 ½Â 3 (3 ∞ 4) a > 0, ¼ê y = f(x) 3 (−∞, −a] ∪ [a, +∞) k½Â. XJk¢ê l äke5: éu?¿½ê ε, o3 ê M = M(ε) > a, ¦ |x| > M k |f(x) − l| < ε, K¡ x ªÃ¡, f(x) ± l 4. P¤ lim x→∞ f(x) = l, ½ f(x) → l (x → ∞). ´k lim x→∞ f(x) = l ⇐⇒ lim x→+∞ f(x) = l Ó lim x→−∞ f(x) = l 19/68 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
1.3.11.3.31.3.41.3.51.3.61.3.71.3.2例 5设k 是正整数,证明：lim=02+证明对任意的正数ε，要想找到所希望的M，只要解不等式10<E.ak从这个不等式解得αl>e1/k.所以只要取M=e1/k,当α>M时,就能保证上列成立，即lim= 0.例6证明：lime=0.→-8证明任给一个正数 <1, 要使0<le-0|=e< ,只要<ln.故取 M =-lnε,则当 < -M = lnε时有 e< ε, 即是所要证明的结论返回全屏关闭退出I420/68
1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 ~ 5 k ´ê, y²: lim x→+∞ 1 xk = 0. y² é?¿ê ε, é¤F" M, )Ø ª 1 xk − 0 < ε. lùØ ª) |x| > ε1/k . ¤± M = ε 1/k , x > M , ÒU yþ¤á, =, lim x→+∞ 1 xk = 0. ~ 6 y²: lim x→−∞ e x = 0. y² ?ê ε < 1, ¦ 0 < |e x − 0| = e x < ε, x < ln ε. M = − ln ε, K x < −M = ln ε k e x < ε, =´¤y²(Ø. 20/68 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
1.3.11.3.21.3.31.3.41.3.51.3.61.3.7例7证明元元limlimarctan=-arctan =22T→+T→-证明任给正数<要使元元-e<arctana<+E22只需 α< tan (一 + e), 所以取 M = tan ((-=)>0,当α<-M 时,就有元<Earctan +12即元lim arctan=2T→-8同理可证Tlim arctan =22→+由于当a趋于正、负无穷大时，函数arctanc的两个单测极限不相等，所以limarctanc不存在TX返回全屏退出关闭21/68
1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.3.7 ~ 7 y² lim x→−∞ arctan x = −π 2 , lim x→+∞ arctan x = π 2 . y² ?ê ε < π 2 , ¦ − π 2 − ε < arctan x < − π 2 + ε I x < tan −π 2 + ε , ¤± M = tan π 2 − ε > 0, x < −M §Òk arctan x + π 2 < ε = lim x→−∞ arctan x = − π 2 , Óny lim x→+∞ arctan x = π 2 du x ªu!Ká, ¼ê arctan x üüÿ4Ø , ¤± lim x→∞ arctan x Ø3. 21/68 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ