0-图3.1比例系数K，和系统响应之间的关系3.2积分控制（1)积分控制考虑过去误差，将误差值过去一段时间之和（误差和）乘以一个正值的常数K。K;从过去的平均误差值来找到系统的输出结果和预定值的平均误差。一个简单的比例系统会震荡，会在预定值的附近来回变化，因为系统无法完全消除误差。通过加上负的平均误差值，平均系统误差值就会渐渐减少。所以，最终这个PID回路系统会在设定值稳定下来。积分控制的输出如下(3.3)Iou = K,f,e(t)dt积分控制会加速系统趋近设定值的过程，并且消除纯比例控制器会出现的稳态误差。积分增益越大，趋近设定值的速度越快，不过因为积分控制会累计过去所有的误差，可能会出现过冲的情形，由于积分的累加本质会使得系统调节具有滞后性。PID控制器输出中的积分部分与误差的积分成正比。因为积分时间T在积分项的分母中，T越小，积分项变化的速度越快，积分作用越强。3.3微分控制（D)微分控制考虑将来误差，计算误差的一阶导，并和一个正值的常数K，相乘。这个导数的控制会对系统的改变作出反应。导数的结果越大，那么控制系统就对输出结果作出更快速的反应。这个K参数也是PID被称为可预测的控制器的原因。K，参数对减少控制器短期的改变很有帮助，一些实际中的速度缓慢的系统可以不需要K，参数。微分控制的输出如下：d(3.4)Doun=Ka-e(t)dt如图3.2所示，微分控制可以提升整定时间及系统动态性能，也可以调整系统的稳定性。22
22 图 3.1 比例系数 和系统响应之间的关系 3.2 积分控制（I） 积分控制考虑过去误差，将误差值过去一段时间之和（误差和）乘以一个正值的常数𝐾𝐾𝑖𝑖。𝐾𝐾𝑖𝑖从过 去的平均误差值来找到系统的输出结果和预定值的平均误差。一个简单的比例系统会震荡，会在预 定值的附近来回变化，因为系统无法完全消除误差。通过加上负的平均误差值，平均系统误差值就 会渐渐减少。所以，最终这个PID回路系统会在设定值稳定下来。积分控制的输出如下 （3.3） 积分控制会加速系统趋近设定值的过程，并且消除纯比例控制器会出现的稳态误差。积分增益越大， 趋近设定值的速度越快，不过因为积分控制会累计过去所有的误差，可能会出现过冲的情形，由于 积分的累加本质会使得系统调节具有滞后性。PID 控制器输出中的积分部分与误差的积分成正比。 因为积分时间 在积分项的分母中， 越小，积分项变化的速度越快，积分作用越强。 3.3 微分控制（D） 微分控制考虑将来误差，计算误差的一阶导，并和一个正值的常数 相乘。这个导数的控制会 对系统的改变作出反应。导数的结果越大，那么控制系统就对输出结果作出更快速的反应。这个 参数也是PID被称为可预测的控制器的原因。 参数对减少控制器短期的改变很有帮助，一些实际 中的速度缓慢的系统可以不需要 参数。微分控制的输出如下： （3.4） 如图 3.2 所示，微分控制可以提升整定时间及系统动态性能，也可以调整系统的稳定性。 K p 0 ( ) t out i I Ked = τ τ ∫ Ti Ti Kd Kd Kd Kd
1.5referencesignalKd = 0.5Kd = 2Kp=1Ki=1Kd=10.512142011618图3.2微分系数K，和系统响应之间的关系3.4PID参数调节方法PID的参数调试是指通过调整控制参数（比例增益K，、积分增益K,/时间T、微分增益K，/时间T）让系统达到最佳的控制效果。稳定性（不会有发散性的震荡）是首要条件。不同系统有不同的行为，不同的应用需求也不同，而且这些需求还可能会互相冲突，因此需要根据实际需求对参数进行调节。PID控制虽然只有三个参数，但参数调试是一个困难的工作，需要符合一些特别的判据，而且PID控制有其限制存在。历史上有许多不同的PID参数调试方式，下面重点讲解一下齐格勒一尼科尔斯方法（Ziegler-Nichols）。这种方法是基于系统稳定性分析的PID整定方法。在设计过程中无需考虑任何特性要求，方法非常简单，控制效果比较理想。具体整定方法如下：首先，置K，=K，=0，然后增加比例系数一直到系统开始振荡，此时的比例增益称为K，，振荡周期为T，则可以用以下列表计算各个参数的值表3-1PID参数计算表控制器种类K,K,KdP0.5KPI1.2 K,/T,0.45K,PID2K,/T,K,T./80.6K,23
23 图 3.2 微分系数 和系统响应之间的关系 3.4 PID参数调节方法 PID的参数调试是指通过调整控制参数（比例增益 、积分增益 /时间 、微分增益 /时 间 ）让系统达到最佳的控制效果。稳定性（不会有发散性的震荡）是首要条件。不同系统有不同 的行为，不同的应用需求也不同，而且这些需求还可能会互相冲突，因此需要根据实际需求对参数 进行调节。 PID 控制虽然只有三个参数， 但参数调试是一个困难的工作，需要符合一些特别的判据，而且 PID 控制有其限制存在。历史上有许多不同的 PID 参数调试方式，下面重点讲解一下齐格勒－尼科 尔斯方法（Ziegler-Nichols）。这种方法是基于系统稳定性分析的 PID 整定方法。在设计过程中无需 考虑任何特性要求，方法非常简单，控制效果比较理想。具体整定方法如下：首先，置 ， 然后增加比例系数一直到系统开始振荡，此时的比例增益称为 ，振荡周期为 ，则可以用以 下列表计算各个参数的值 表3-1 PID参数计算表 控制器种类 Kd K p Ki Ti Kd Td 0 K K d i = = Ku Tu K p Ki Kd P 0.5Ku PI 0.45Ku 1.2K T p u PID 0.6Ku 2K T p u 8 K T p u
另外一种作法是先将K，及K设为0，增加K，一直到回路输出震荡为止，之后再将K，设定为“14振幅衰减*(使系统第二次过冲量是第一次的 14）增益的一半，然后增加下、直到一是KK可能会造成系统不稳定，最后若有需要，可以增加d，并确时间后的稳态误差可被修正为止。K。太大会造成响应太快及过冲，一般而言快速反应的 PID 应该会有轻认系统能够快速收敛。若微的过冲。整理出PID调节口决如下：参数整定找最佳，从小到大顺序查；先是比例后积分，最后再把微分加；曲线振荡很频繁，比例度盘要放大；曲线漂浮绕大湾，比例度盘往小扳：曲线偏离回复慢，积分时间往下降；曲线波动周期长，积分时间再加长；曲线振荡频率快，先把微分降下来；动差大来波动慢，微分时间应加长；理想曲线两个波，前高后低4比1；一看二调多分析，调节质量不会低。24
24 另外一种作法是先将 及 设为 0，增加 一直到回路输出震荡为止，之后再将 设定为“1/4振幅衰减”（使系统第二次过冲量是第一次的 1/4）增益的一半，然后增加 直到一定 时间后的稳态误差可被修正为止。 可能会造成系统不稳定，最后若有需要，可以增加 ，并确 认系统能够快速收敛。若 太大会造成响应太快及过冲，一般而言快速反应的 PID 应该会有轻 微的过冲。整理出 PID 调节口诀如下： 参数整定找最佳，从小到大顺序查； 先是比例后积分，最后再把微分加； 曲线振荡很频繁，比例度盘要放大； 曲线漂浮绕大湾，比例度盘往小扳； 曲线偏离回复慢，积分时间往下降； 曲线波动周期长，积分时间再加长； 曲线振荡频率快，先把微分降下来； 动差大来波动慢，微分时间应加长； 理想曲线两个波，前高后低 4 比1； 一看二调多分析，调节质量不会低。 Ki Kd K p K p Ki Ki Kd Kd
实验3：振动和隔振【实验目的】1：了解精密测量实验中振动干扰的主要来源、特征频率范围：2.熟悉主动隔振和被动隔振的工作原理，通过测量被动隔振系统的振动传递函数理解隔振的频率响应特性；3.掌握隔振设计基本方法。【实验内容】1.搭建简易隔振系统，使用加速度计测量隔振系统的振动传递函数：改变系统弹性系数和阻尼大小，研究传递函数与它们的关系。2.安装激光干涉仪，给底盘施加不同频率或者不同振幅的振动驱动，测量并比较干涉仪和加速度计对于底盘驱动振动响应的灵敏度差异；3.在此隔振平台上使用干涉仪进行振动测量，获得谱曲线。在未隔振情况下重复以上测量，比较两次测量结果以评估隔振效果。【课前预习】1.复习受迫振动的相关理论知识，推导振动传递函数；2.了解压电陶瓷基本知识、加速度测量方法和激光干涉测距方法。【实验原理】在精密测量实验中，通常需要测量非常小的物理量。例如，在人类首次直接探测引力波事件中，相距4km的两个反射镜的间距变化小于质子半径的万分之一；在使用扭秤测量牛顿万有引力常数G的实验中，扭秤的弱力测量水平约1×10-1/N。要测量如此小的信号，除了提高仪器本身的测量精度外，还必须隔离各种环境振动和干扰，比如，要获得样品表面原子分辨图像，要求扫描隧道显微镜的振动水平为pm量级。图1a列举了世界上著名实验室的地面振动噪声功率谱曲线。在频率为0.1-1Hz区间的振动噪声，主要来自地球脉动的贡献。频率1Hz以上的振动主要来源于人类的日常活动，包括行走、说话、开关门等行为，同时汽车和地铁等交通工具也会导致地面振动和噪声。图1显示位于地下的Moxa实验室更少地受到人类日常生产生活的影响，具有更低的振动噪声水平。此外，实验设备本身也会带来振动和噪声，比如仪器散热风扇，机械泵和分子泵的运转等。在使用液氮进行低温实验时，液氮在78K的沸腾也会导致100Hz左右的振动。环境振动会导致实验部件的位移或形变，使实验平台具有非零的加速度，影响实验测量的稳定性，导致待测物理效应淹没在噪声背景中。在大多数精密测量实验中，为了获得高的测量精度，都需对实验系统进行严格的隔振处理。比如激光干涉引力波天文台（LIGO）的一项关键技术就是通过石英丝悬挂反射镜，将地面振动进行隔离（图1b）。隔振技术一般分为被动隔振和主动隔振，下面将分别介绍其原理。25
25 实验 3：振动和隔振 【实验目的】 1. 了解精密测量实验中振动干扰的主要来源、特征频率范围； 2. 熟悉主动隔振和被动隔振的工作原理，通过测量被动隔振系统的振动传递函数理解隔振的频 率响应特性； 3. 掌握隔振设计基本方法。 【实验内容】 1. 搭建简易隔振系统，使用加速度计测量隔振系统的振动传递函数；改变系统弹性系数和阻尼 大小，研究传递函数与它们的关系。 2. 安装激光干涉仪，给底盘施加不同频率或者不同振幅的振动驱动，测量并比较干涉仪和加速 度计对于底盘驱动振动响应的灵敏度差异； 3. 在此隔振平台上使用干涉仪进行振动测量，获得谱曲线。在未隔振情况下重复以上测量，比 较两次测量结果以评估隔振效果。 【课前预习】 1. 复习受迫振动的相关理论知识，推导振动传递函数； 2. 了解压电陶瓷基本知识、加速度测量方法和激光干涉测距方法。 【实验原理】 在精密测量实验中，通常需要测量非常小的物理量。例如，在人类首次直接探测引力波事件中， 相距 4 km 的两个反射镜的间距变化小于质子半径的万分之一；在使用扭秤测量牛顿万有引力常数 G 的实验中，扭秤的弱力测量水平约 1×10-17 N。要测量如此小的信号，除了提高仪器本身的测量精度 外，还必须隔离各种环境振动和干扰，比如，要获得样品表面原子分辨图像，要求扫描隧道显微镜 的振动水平为 pm 量级。图 1a 列举了世界上著名实验室的地面振动噪声功率谱曲线。在频率为 0.1- 1 Hz 区间的振动噪声，主要来自地球脉动的贡献。频率 1 Hz 以上的振动主要来源于人类的日常活 动，包括行走、说话、开关门等行为，同时汽车和地铁等交通工具也会导致地面振动和噪声。图 1 显示位于地下的 Moxa 实验室更少地受到人类日常生产生活的影响，具有更低的振动噪声水平。此 外，实验设备本身也会带来振动和噪声，比如仪器散热风扇，机械泵和分子泵的运转等。在使用液 氮进行低温实验时，液氮在 78 K 的沸腾也会导致 100 Hz 左右的振动。 环境振动会导致实验部件的位移或形变，使实验平台具有非零的加速度，影响实验测量的稳定 性，导致待测物理效应淹没在噪声背景中。在大多数精密测量实验中，为了获得高的测量精度，都 需对实验系统进行严格的隔振处理。比如激光干涉引力波天文台（LIGO）的一项关键技术就是通过 石英丝悬挂反射镜，将地面振动进行隔离（图 1b）。隔振技术一般分为被动隔振和主动隔振，下面 将分别介绍其原理
100100(a)(b)10-30.010.001E-4501E-061E-07ERNTHIE-08FNALIE-09Ellerhoop (TESLAIP1E-10HESYCHIERAIE-11SPringsIE-12MorIE-130.10.01110Frequency (Hz)LIGO反射镜图1（a）实验室的地面振动噪声水平（数据来源：http://vibration.desy.de/)。（h）LIGO石英丝器挂反射镜隔振技术。1.被动隔振与主动隔振1.1被动隔振被动隔振系统可以简化成如图2a所示的模型。质量为m的实验平台，它与基座平台通过弹簧连接，弹簧弹性系数为k，阻尼系数为c。实际设计中可通过弹簧悬挂实验平台来实现，也可将实验平台支撑在气浮垫上，比如精密光学实验中常用的气浮隔振平台。1等效弹簧(k,c)k(x-y)c(i-y)(a)(b)图2（a）被动隔振系统模型图（b）任何一个机械结构都可近似等价成（a）图模型设基座平台的位移用y表示，实验平台用x表示，阻尼力为F=一c(一)，则实验平台的运动方程如下：(1)mx=-k(x-y)-c(x-j)经过整理，此方程可以化为标准的受迫振动方程：kkccx+=x+=x=(2)-y+-immmm基座平台的振动可以看成多种频率成分振动的叠加，设其中角频率为の的振动位移为：y=y(w)coswt，则可推导出实验平台的稳定振动位移为x(t)=x()cos(wt+Φ)，其中26
26 图 1 （a）实验室的地面振动噪声水平（数据来源：http://vibration.desy.de/）。 （b）LIGO 石英丝悬挂反射镜隔振技术。 1. 被动隔振与主动隔振 1．1 被动隔振 被动隔振系统可以简化成如图 2a 所示的模型。质量为 m 的实验平台，它与基座平台通过弹簧 连接，弹簧弹性系数为 k，阻尼系数为 c。实际设计中可通过弹簧悬挂实验平台来实现，也可将实验 平台支撑在气浮垫上，比如精密光学实验中常用的气浮隔振平台。 图 2 （a）被动隔振系统模型图 (b) 任何一个机械结构都可近似等价成（a）图模型 设基座平台的位移用 y 表示，实验平台用 x 表示，阻尼力为𝐹𝐹𝑓𝑓 = −𝑐𝑐(𝑥𝑥̇ − 𝑦𝑦̇)，则实验平台的运 动方程如下： 𝑚𝑚𝑥𝑥̈= −𝑘𝑘(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) − 𝑐𝑐(𝑥𝑥̇ − 𝑦𝑦̇) (1) 经过整理，此方程可以化为标准的受迫振动方程： 𝑥𝑥̈+ 𝑐𝑐 𝑚𝑚 𝑥𝑥̇ + 𝑘𝑘 𝑚𝑚 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 𝑚𝑚 𝑦𝑦 + 𝑐𝑐 𝑚𝑚 𝑦𝑦̇ (2) 基座平台的振动可以看成多种频率成分振动的叠加，设其中角频率为𝜔𝜔的振动位移为：𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝜔𝜔) cos 𝜔𝜔𝜔𝜔，则可推导出实验平台的稳定振动位移为𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(𝜔𝜔) cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙)，其中