(14)v,=A,sin(wt)那么电荷放大器的输出可以表达为2vpAC_2A,ACsin(wt)(15)Vc =-Cr-C电压v。通过乘法器与一个与载波同频同幅正弦波相乘，其输出可以表达为-sin(ot) Apsin(at) = ApAC_ A,’AC.2Ap△Ccos(2wt)(16)Vm=Vc'Vp=CrCrCf可以从式（16）看到，乘法器的输出中包含有一个低频信号与一个载波二倍频信号cf4cos(2ot)，通过低通滤波将二倍频信号滤掉，可以得到一个与电容变化成比例的低频信号csA,"AC(17)Vtp=Cf最终通过采集低通滤波器的输出并通过设定的载波幅值Ap与电荷放大器反馈电容C可以逆推得到电容的变化量，完成了调制-解调的电容检测。4.加速度计模型介绍和测试方法加速度计的模型方程是表达加速度计的输出E与输入加速度之间关系的数学表达式。E是加速度计的输出，输出信号可以有多种形式，单位随之不同，例如输出为电压信号时，单位为伏。模型方程可以包含很多项，在实际使用时，可以根据使用情况减少或增加一些项或者增加一些必须项。对于单轴加速度，可以使用简化的加速度计输出模型：(18)E=Ko+Kiai+K2a?此模型仅考虑了加速度计的零偏Ko、敏感轴灵敏度灵敏度系数K，以及敏感轴二阶非线性K2。加速度计测试时，可以使用精密振动台对加速度计的带宽和传函进行测试，也可以使用重力场翻滚法，由精密分度装置，例如分度头，提供-1g1g加速度，通过不同输入角度，给加速度计不同的加速度输出，从而标定加速度计各项参数。17
17 𝑣𝑣𝑝𝑝 = 𝐴𝐴𝑝𝑝sin(𝜔𝜔𝜔𝜔) (14) 那么电荷放大器的输出可以表达为 𝑣𝑣𝑐𝑐 = 2𝑣𝑣𝑝𝑝∆𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑓𝑓 = 2𝐴𝐴𝑝𝑝∆𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑓𝑓 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔) (15) 电压𝑣𝑣𝑐𝑐通过乘法器与一个与载波同频同幅正弦波相乘，其输出可以表达为 𝑣𝑣𝑚𝑚 = 𝑣𝑣𝑐𝑐 ∙ 𝑣𝑣𝑝𝑝 = 2𝐴𝐴𝑝𝑝∆𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑓𝑓 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔) ∙ 𝐴𝐴𝑝𝑝sin(𝜔𝜔𝜔𝜔) = 𝐴𝐴𝑝𝑝 2∆𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑓𝑓 − 𝐴𝐴𝑝𝑝 2 ∆𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑓𝑓 cos(2𝜔𝜔𝜔𝜔) (16) 可以从式 (16) 看到，乘法器的输出中包含有一个低频信号 𝐴𝐴𝑝𝑝 2∆𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑓𝑓 与一个载波二倍频信号 − 𝐴𝐴𝑝𝑝 2∆𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑓𝑓 cos(2𝜔𝜔𝜔𝜔)，通过低通滤波将二倍频信号滤掉，可以得到一个与电容变化成比例的低频信号 𝑣𝑣𝑙𝑙𝑙𝑙 = 𝐴𝐴𝑝𝑝 2∆𝐶𝐶 𝐶𝐶𝑓𝑓 (17) 最终通过采集低通滤波器的输出并通过设定的载波幅值 𝐴𝐴𝑝𝑝 与电荷放大器反馈电容 𝐶𝐶𝑓𝑓 可以 逆推得到电容的变化量，完成了调制-解调的电容检测。 4. 加速度计模型介绍和测试方法 加速度计的模型方程是表达加速度计的输出 E 与输入加速度之间关系的数学表达式。E 是加速 度计的输出，输出信号可以有多种形式，单位随之不同，例如输出为电压信号时，单位为伏。模型 方程可以包含很多项，在实际使用时，可以根据使用情况减少或增加一些项或者增加一些必须项。 对于单轴加速度，可以使用简化的加速度计输出模型： 𝐸𝐸 = 𝐾𝐾0 + 𝐾𝐾1𝑎𝑎i + 𝐾𝐾2𝑎𝑎i 2 (18) 此模型仅考虑了加速度计的零偏 K0、敏感轴灵敏度灵敏度系数 K1以及敏感轴二阶非线性 K2。 加速度计测试时，可以使用精密振动台对加速度计的带宽和传函进行测试，也可以使用重力场 翻滚法，由精密分度装置，例如分度头，提供-1g~1g 加速度，通过不同输入角度，给加速度计不同 的加速度输出，从而标定加速度计各项参数
【实验装置】N载波开环输出位移电容前置低通解调转换单元放大器滤波器加速度输入弹簧-振子单元加速度一位移图4加速度计实验装置示意图实验装置的示意图如上所示，整个系统的核心部件是加速度计表头，含弹簧-振子单元、位移电容转换单元两部分，外部检测电路包含前置放大器、解调单元（乘法器）、低通滤波器等，检测中要用到倾斜台（分度头）、加速度传感器校准系统、信号发生器、示波器、数据采集系统、LCR表、万用表等设备。【实验程序】1.工作在开环模式下，观察加速度计表头的结构，观察谐振现象，进而观察加速度敏感轴偏离水平方向时位移和倾斜角之间的关系，借此了解有阻尼振动系统的特性；2.合理设置电路，用LCR表测量可变电容，并借助Moku:Lab中的可视化锁相放大程序和电路输出和输入接口，利用提供的元器件，自己搭建电路，实现电容的检测；3.测量加速度计表头C1、C2、C1-C2与倾斜角度（倾斜角度定义为加速度计敏感轴偏离水平方向的角度）：之间的关系，比较C1、C2之间的关系和变化趋势：4．用信号发生器产生载波，用示波器/采集卡观察电荷放大器的输出波形，记录输出波形与加速度倾斜角之间的关系，并改变幅值A和C，观察其对电荷放大器输出的影响；依次观察乘法器、低通后输出波形，测量各模块的传递函数，记录输出参数与6之间的关系，以及Ap和Cr的影响，理解检测电路的工作原理；5.观察并记录加速度计敏感轴在重力场中倾角0不同时，所测重力加速度分量方向和大小的改变，分析加速度输入-输出之间的线性关系：6.设定合适的频率，改变输入加速度幅值，测量输入-输出之间的线性关系；7.改变振动台上输入加速度的频率，检测加速度计的输出，测量加速度计的幅频响应曲线，检测加速度计的工作带宽。【思考问题】1.相对于对电容直接进行检测，差分后再检测的方法有何优点？2．如何改善加速度计的线性度？3．相对于直接对信号进行测量，锁相放大的优点是什么？18
18 【实验装置】 图4 加速度计实验装置示意图 实验装置的示意图如上所示，整个系统的核心部件是加速度计表头，含弹簧-振子单元、位移- 电容转换单元两部分，外部检测电路包含前置放大器、解调单元（乘法器）、低通滤波器等，检测中 要用到倾斜台（分度头）、加速度传感器校准系统、信号发生器、示波器、数据采集系统、LCR 表、 万用表等设备。 【实验程序】 1. 工作在开环模式下，观察加速度计表头的结构，观察谐振现象，进而观察加速度敏感轴偏 离水平方向时位移和倾斜角之间的关系，借此了解有阻尼振动系统的特性； 2. 合理设置电路，用 LCR 表测量可变电容，并借助 Moku:Lab 中的可视化锁相放大程序和 电路输出和输入接口，利用提供的元器件，自己搭建电路，实现电容的检测； 3. 测量加速度计表头 C1、C2 、C1- C2与倾斜角度 θ（倾斜角度定义为加速度计敏感轴偏离 水平方向的角度） 之间的关系，比较 C1、C2 之间的关系和变化趋势； 4. 用信号发生器产生载波，用示波器/采集卡观察电荷放大器的输出波形，记录输出波形与 加速度倾斜角 θ 之间的关系，并改变幅值 Ap 和 Cf，观察其对电荷放大器输出的影响； 依次观察乘法器、低通后输出波形，测量各模块的传递函数，记录输出参数与 θ 之间的 关系，以及 Ap 和 Cf 的影响，理解检测电路的工作原理； 5. 观察并记录加速度计敏感轴在重力场中倾角 θ 不同时，所测重力加速度分量方向和大小 的改变，分析加速度输入-输出之间的线性关系； 6. 设定合适的频率，改变输入加速度幅值，测量输入-输出之间的线性关系； 7. 改变振动台上输入加速度的频率，检测加速度计的输出，测量加速度计的幅频响应曲线， 检测加速度计的工作带宽。 【思考问题】 1. 相对于对电容直接进行检测，差分后再检测的方法有何优点？ 2. 如何改善加速度计的线性度？ 3. 相对于直接对信号进行测量，锁相放大的优点是什么？
【附录】1.变面积式电容位移检测顾名思义，变面积式电容位移检测就是将位移的变化转换为电容正对极板面积的变化从而造成电容值变化。其检测原理如图1.1所示。加速度a端口1端口24dCiC2端口3加速度计外框电容极板与导线弹簧振子结构图1.1变面积式电容检测原理当加速度计受到外界加速度信号α后，检验质量受惯性力与加速度计外框（固定）发生相对位移x，检验质量上的电容动极板与固定在外框上的电容定极板也产生相对位移x从而产生正对面积的变化。那么端口1与端口3之间的电容C，以及端口2与端口3之间的电容C，发生与位移x相关的差分电容变化AC，可表示为：eblCi = Co + AC = n=(b+x)+nExl(1. 1)=nddd与, =(b-x)LeblExl(1. 2)C2= Co-AC = n-=n-nddd其中b，l，d，C分别为检验质量零位状态下电容极板正对时的极板宽度、长度、间距以及电容值，n为这种极板对的数量。从（1.1）和（1.2）可以分别直接得到位移-电容的传递函数，但是在这种情况下，位移发生微小改变时，电容的相对改变也很小。通常采用C、C2两个电容求差的方式检测位移的变化，由于其初始电容值相同，差分后相消，所以有Ci-C1=2AC= 2n=(1. 3)d19
19 【附录】 1．变面积式电容位移检测 顾名思义，变面积式电容位移检测就是将位移的变化转换为电容正对极板面积的变化从而造 成电容值变化。其检测原理如图 1.1 所示。 图 1.1 变面积式电容检测原理 当加速度计受到外界加速度信号𝑎𝑎后，检验质量受惯性力与加速度计外框（固定）发生相对位 移𝑥𝑥,检验质量上的电容动极板与固定在外框上的电容定极板也产生相对位移 𝑥𝑥 从而产生正对面积 的变化。那么端口 1 与端口 3 之间的电容 𝐶𝐶1 以及端口 2 与端口 3 之间的电容 𝐶𝐶2 发生与位移 𝑥𝑥 相关的差分电容变化 ∆𝐶𝐶，可表示为： 𝐶𝐶1 = 𝐶𝐶0 + ∆𝐶𝐶 = 𝑛𝑛 𝜀𝜀(𝑏𝑏+𝑥𝑥)𝑙𝑙 𝑑𝑑 = 𝑛𝑛 𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀 𝑑𝑑 + 𝑛𝑛 𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀 𝑑𝑑 (1.1) 与 𝐶𝐶2 = 𝐶𝐶0 − ∆𝐶𝐶 = 𝑛𝑛 𝜀𝜀(𝑏𝑏−𝑥𝑥)𝑙𝑙 𝑑𝑑 = 𝑛𝑛 𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀 𝑑𝑑 − 𝑛𝑛 𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀 𝑑𝑑 , (1.2) 其中 𝑏𝑏，𝑙𝑙，𝑑𝑑，𝐶𝐶0 分别为检验质量零位状态下电容极板正对时的极板宽度、长度、间距以及电容 值, 𝑛𝑛为这种极板对的数量。从（1.1）和（1.2）可以分别直接得到位移-电容的传递函数，但是在 这种情况下，位移发生微小改变时，电容的相对改变也很小。通常采用 C1、C2 两个电容求差的方 式检测位移的变化，由于其初始电容值相同，差分后相消，所以有 𝐶𝐶1 − 𝐶𝐶1 = 2∆𝐶𝐶 = 2𝑛𝑛 𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀𝜀 𝑑𝑑 ， (1.3)
这种方式又称为差分电容检测，传递函数为C=nHx-c(s) =(1. 4)X(s)从式（1.4）可知，当电容极板对的数量越多，极板越长，间距越小，位移变化到电容变化转换的效率就越高，探测加速度的灵敏度也会相应提高。2.加速度计闭环反馈控制开环控制系统（OpenLoopControl）是指在一个控制系统中系统的输入信号不受输出信号影响的控制系统。也就是，不将控制的结果反馈回来影响当前控制的系统。本实验中介绍的加速度计检测原理属于开环系统，输入加速度引起差分电容的变化，差分电容的变化引起输出电压的变化，通过调制解调能够将电容变化信号提取出来，最终的输出电压就表征了输入加速度的大小，该电压直接输出而没有对质量-弹簧-阻尼器力学系统进行反馈控制。开环系统的结构简单易于实现，但存在大位移时线性度不好的缺点。弹簧传感振子f反馈执行机控制器Vout图2.1加速度计闭环控制系统信号流程图闭环控制系统（ClosedLoopControl）的输出量对系统的控制作用有直接影响。如图2.1所示，在整个系统中，既存在由输入到输出的信号前向通路，也包含从输出端到输入端的信号反馈通路，输出量会直接或间接地反馈到输入端，参与系统的控制，组成一个闭合的回路，称为闭环控制系统，也叫反馈控制系统。为了实现闭环控制，必须对输出量进行测量，并将测量的结果反馈到输入端与输入量进行相减得到残余偏差，残余偏差经过控制算法后通过执行机对被控对象产生直接控制作用从而消除残差，使得整个系统形成一个闭环。闭环系统的结构复杂，闭环参数选择不合适时会导致系统失控，但因为理想情况下系统工作在“消除残差”的状态中，所以它具有抑制干扰的能力，系统性能对传感器元件特性变化不敏感，并能改善系统的响应特性。I反馈永磁体一放大器A1112线圈Vou反馈N传感控制器AVAC图2.2闭环加速度计工作原理示意图图2.2给出了一种典型的加速度计工作原理图。其中电容位移传感单元构成前馈通路，控制器和执行机构成反馈通路，执行机部分包括反馈放大器、线圈和永磁体。当加速度计感受到一个外界20
20 这种方式又称为差分电容检测，传递函数为 𝐻𝐻𝑥𝑥−𝑐𝑐(𝑠𝑠) = ∆𝐶𝐶(𝑠𝑠) 𝑋𝑋(𝑠𝑠) = 𝑛𝑛 𝜀𝜀𝜀𝜀 𝑑𝑑 . (1.4) 从式 (1.4) 可知，当电容极板对的数量越多，极板越长，间距越小，位移变化到电容变化转换的效 率就越高，探测加速度的灵敏度也会相应提高。 2. 加速度计闭环反馈控制 开环控制系统（Open Loop Control）是指在一个控制系统中系统的输入信号不受输出信号影响 的控制系统。也就是，不将控制的结果反馈回来影响当前控制的系统。本实验中介绍的加速度计检 测原理属于开环系统，输入加速度引起差分电容的变化，差分电容的变化引起输出电压的变化，通 过调制解调能够将电容变化信号提取出来，最终的输出电压就表征了输入加速度的大小，该电压直 接输出而没有对质量-弹簧-阻尼器力学系统进行反馈控制。开环系统的结构简单易于实现，但存在 大位移时线性度不好的缺点。 图 2.1 加速度计闭环控制系统信号流程图 闭环控制系统（Closed Loop Control）的输出量对系统的控制作用有直接影响。如图 2.1 所示， 在整个系统中，既存在由输入到输出的信号前向通路，也包含从输出端到输入端的信号反馈通路， 输出量会直接或间接地反馈到输入端，参与系统的控制，组成一个闭合的回路，称为闭环控制系统， 也叫反馈控制系统。为了实现闭环控制，必须对输出量进行测量，并将测量的结果反馈到输入端与 输入量进行相减得到残余偏差，残余偏差经过控制算法后通过执行机对被控对象产生直接控制作用 从而消除残差，使得整个系统形成一个闭环。闭环系统的结构复杂，闭环参数选择不合适时会导致 系统失控，但因为理想情况下系统工作在“消除残差”的状态中，所以它具有抑制干扰的能力，系 统性能对传感器元件特性变化不敏感，并能改善系统的响应特性。 图 2.2 闭环加速度计工作原理示意图 图 2.2 给出了一种典型的加速度计工作原理图。其中电容位移传感单元构成前馈通路，控制器 和执行机构成反馈通路，执行机部分包括反馈放大器、线圈和永磁体。当加速度计感受到一个外界
加速度am时，检验质量产生一个位移，从而使得差分电容产生电容差△C，经过传感电路后得到AV作为残差信号进入控制器，控制器通过一定的控制算法得到一个输出电压Vou，该输出电压Vou通过执行机使得反馈加速度α，的大小与输入加速度相等方向相反，最终消除残差，检验质量回到平衡位置附近。此时，控制器的输出电压V就直接表征了输入加速度的大小，作为整个加速度计的输出。PID控制器（比例-积分-微分，Proportion-lntegral-Derivative）是一个工业控制应用中常见的反馈回路部件，作为最早实用化的控制器已有近百年历史，现在仍然是应用最广泛的工业控制器。需要注意的是在闭环控制系统中，原本开环系统的输出作为残差进入控制系统，因此当闭环控制系统实现控制的时候，残差信号一般很小，对于无稳态误差的系统残差信号被控制到0。因此，当需要检查传感电路部分是否正常工作时，需要断开反馈进行检查。3.PID控制器PID控制器由比例单元P、积分单元I和微分单元D组成，对应可通过K，，K和K。三个参数进行设定。PID控制器主要适用于基本上线性，且动态特性不随时间变化的系统。这个控制器把收集到的数据和一个参考值进行比较，然后把这个差别用于计算新的输入值，目的是根据历史数据和差别的出现率来调整输入值，让系统的数据达到或者保持在参考值。PID控制器的比例单元(P)、积分单元(）和微分单元(D）分别对应目前误差、过去累计误差及未来误差。若是不知道受控系统的特性，一般认为PID控制器是最适用的控制器。借由调整PID控制器的三个参数，可以调整控制系统，设法满足设计需求。控制器的响应可以用控制器对误差的反应快慢、控制器过冲的程度及系统震荡的程度来表示。其输入e(t）与输出u(）的关系为++勺u(t)= K,[e(t)+-(3.1)因此它的传递函数为U=K,(+云+Ts)=K,+,→+KgsG(s) =(3.2)E(s)T,ss其中K，为比例系数；T为积分时间常数；Ta为微分时间常数。3.1比例控制（P)比例单元产生的输出与当前的残差信号成比例，Pou=K,e(t）。如图3.1所示，比例控制的比例系数如果太小（Kp=0.5），系统输出量变化缓慢，调节所需的总时间过长：增大比例系数（Kp=1.1）使系统反应灵敏，调节速度加快，并且可以减小稳态误差；但是比例系数过大（Kp=1.6）会使超调量增大，振荡次数增加，调节时间加长，动态性能变坏，比例系数太大甚至会使闭环系统不稳定。21
21 加速度 时，检验质量产生一个位移，从而使得差分电容产生电容差 ，经过传感电路后得到 作为残差信号进入控制器，控制器通过一定的控制算法得到一个输出电压 ，该输出电压 通过执行机使得反馈加速度 的大小与输入加速度相等方向相反，最终消除残差，检验质量 回到平衡位置附近。此时，控制器的输出电压 就直接表征了输入加速度的大小，作为整个加速度 计的输出。PID 控制器（比例-积分-微分，Proportion-Integral-Derivative）是一个工业控制应用中常 见的反馈回路部件，作为最早实用化的控制器已有近百年历史，现在仍然是应用最广泛的工业控制 器。 需要注意的是在闭环控制系统中，原本开环系统的输出作为残差进入控制系统，因此当闭环控 制系统实现控制的时候，残差信号一般很小，对于无稳态误差的系统残差信号被控制到0。因此，当 需要检查传感电路部分是否正常工作时，需要断开反馈进行检查。 3. PID控制器 PID 控制器由比例单元 P、积分单元 I 和微分单元 D 组成，对应可通过 ， 和 三 个参数进行设定。PID 控制器主要适用于基本上线性，且动态特性不随时间变化的系统。这个控制 器把收集到的数据和一个参考值进行比较，然后把这个差别用于计算新的输入值，目的是根据历史 数据和差别的出现率来调整输入值，让系统的数据达到或者保持在参考值。 PID 控制器的比例单元 (P)、积分单元 (I) 和微分单元 (D) 分别对应目前误差、过去累计误差 及未来误差。若是不知道受控系统的特性，一般认为 PID 控制器是最适用的控制器。借由调整 PID 控制器的三个参数，可以调整控制系统，设法满足设计需求。控制器的响应可以用控制器对误差的 反应快慢、控制器过冲的程度及系统震荡的程度来表示。其输入 与输出 的关系为 ， （3.1） 因此它的传递函数为 （3.2） 其中 为比例系数； 为积分时间常数； 为微分时间常数。 3.1 比例控制（P） 比例单元产生的输出与当前的残差信号成比例， 。如图 3.1 所示，比例控制的比 例系数如果太小（Kp = 0.5），系统输出量变化缓慢，调节所需的总时间过长；增大比例系数（Kp = 1.1）使系统反应灵敏，调节速度加快，并且可以减小稳态误差；但是比例系数过大（Kp = 1.6）会使 超调量增大，振荡次数增加，调节时间加长，动态性能变坏，比例系数太大甚至会使闭环系统不稳 定。 in a ∆C ∆V Vout Vout f a Vout K p Ki Kd e t( ) u t( ) 0 1 ( ) () [() ( ) ] t p d i de t ut K et e d T T dt =+ + τ τ ∫ () 1 1 ( ) (1 ) ( ) p d pi d i U s Gs K Ts K K Ks E s Ts s = = ++ =+ + K p Ti Td ( ) P K et out p =