第4章根轨迹五、根轨迹的出射角与入射角1、出射角：起始于开环极点的根轨迹在P7起点处的切线与水平正方向的夹角称6P.Pa为出射角。如右图所示系统：在靠近PP2处取一点s，则有Z(Si - z) - Z(Si - p)- Z(si - p2) -Z(si - p3) =(2k +1)元
1、出射角：起始于开 环极点的根轨迹在 起点处的切线与水 平正方向的夹角称 为出射角。如右图 所示系统：在靠近 p2处取一点s1，则有 (s1 − Z1 ) − (s1 − p1 ) − (s1 − p2 ) − (s1 − p3 ) = (2k +1) 五、根轨迹的出射角与入射角 第4章 根轨迹
第4章根轨迹绘制根轨迹的基本法则（续）当s无限靠近p，时，则各开环零、极点引向s,的向量变为引向p，的向量OP,2P.而Z(St-P2)就是p2即p2 =(2k +1)元 + Z(P2 -z1)0-Z(p2 - P)- Z(p2 - P3)CURREhSZZ(Pk-z,)-)故有 pk=(2k + 1)元 +Z(pk- p:)i=1i=litk
而 就是 。 向量变为引向 的向量， 开环零、极点引向 的 当 无限靠近 时，则各 1 2 p2 2 1 1 2 (s -p ) p s s p ( ) ( ) (2 1) ( ) 2 1 2 3 2 2 1 p p p p k p z p − − − − 即 = + + − = = = + + − − − n i k i k i m j p k k pk zj p p 1 1 故有 (2 1) ( ) ( ) 绘制根轨迹的基本法则(续) 第4章 根轨迹
第4章根轨迹绘制根轨迹的基本法则（续）2、入射角：终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与水平线正方向的夹角称为入射角。同理可得：Z(zh -p,) -Z(zk -z,)0, =(2k+1)元 +=li=litk共轭复数的开环零极点才需计算起始角和终止角，实数开环零极点一般不需要，多为：0°，180°，士90°，±60°，±120°，±45°及±135°等特别指出：当开环零极点为q重时，入射角和出射角分别为Z(zk- p,)-ZZ(zk- z,)[(2k+1)元 +>Z.ki=l=1Francnitkema
2 、入射角：终止于开环零点的根轨迹在终点处的切 线与水平线正方向的夹角称为入射角。 = = = + + − − − m j k j k j n i z k i k z p z z k 1 1 (2 1) ( ) ( ) 绘制根轨迹的基本法则(续) 共轭复数的开环零极点才需计算起始角和终止角，实 数开环零极点一般不需要，多为：0°, 180° , ±90° , ±60° ，±120° , ±45°及±135°等。 第4章 根轨迹 同理可得： 特别指出：当开环零极点为q重时，入射角和出射角分别为 [(2 1) ( ) ( )] 1 1 1 = = = + + − − − m j k j k j n i z k i k z p z z q k
第4章根轨迹绘制根轨迹的基本法则（续）mZ>Z(Pk- p))[(2k+1)元+(pk-z,) -=-pk9j-li=litkK,(s+2)例2：G(s)=s(s+3)(s~+2s+2)试确定根轨迹离开共轭复数极点的出射角。解: Pli2 =-1±j, P=0j-26.6°PP4 = -3,zi = -20p1 =180°+ 45°-135°135°P45°26.6g-3-2Z10Ps-90°-26.6°=-26.6°-jB26.6°. 0p2 = 26.60
( )( ) ( ) 2 ( ) 3 2 2 2 2 + + + + = s s s s K s G s g 例 ： k 1 , 0 解：p1.2 = − j p3 = = − − = − = + − 26.6 9 0 2 6.6 2 6.6 180 4 5 135 p 2 1 p 绘制根轨迹的基本法则(续) 第4章 根轨迹 试确定根轨迹离开共轭复数极点的出射角。 3, 2 p4 = − z1 = − [(2 1) ( ) ( )] 1 1 1 = = = + + − − − n i k i k i m j p k k pk zj p p q
第4章根轨迹绘制根轨迹的基本法则（续）六、根轨迹的分离点（汇合点）两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又分开的点称为根轨迹的分离点或汇合点，用s.表示。若根轨迹位于实轴上两相邻开环极点间则至少有一个分离点（包括无穷远的极点）；若根轨迹位于实轴上两相邻开环零点间则至少有一个汇合点（包括无穷远的零点）：由于根轨迹的对称性，分离点多位于实轴上，也可能是一些共轭点（此情况较少）
六、根轨迹的分离点(汇合点) 两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又分开 的点称为根轨迹的分离点或汇合点，用sd表示。 ▲ 若根轨迹位于实轴上两相邻开环极点间则至少有一 个分离点（包括无穷远的极点）； ▲若根轨迹位于实轴上两相邻开环零点间则至少有一 个汇合点（包括无穷远的零点）； ▲由于根轨迹的对称性，分离点多位于实轴上，也可 能是一些共轭点（此情况较少）。 绘制根轨迹的基本法则(续) 第4章 根轨迹