第4章根轨迹4.2绘制根轨迹的基本法则根轨迹的连续性、分支数与对称性：一由于实际控制系统闭环特征方程的系数或为已知实数，或为根轨迹增益K。的函数，所以当K。由0→0连续变化时，闭环特征根的变化必然也是连续的，所以根轨迹具有连续性。系统闭环特征方程的系数仅与系统的参数有关对于实际控制系统而言，这些参数都是实数。具有实系数的闭环特征方程的根为共轭复数的形式，必然对称于实轴。因而，根轨迹也必然关于实轴对称
4.2 绘制根轨迹的基本法则 由于实际控制系统闭环特征方程的系数或为已知 实数，或为根轨迹增益Kg 的函数，所以当Kg 由0→∞ 连续变化时，闭环特征根的变化必然也是连续的，所 以根轨迹具有连续性。 系统闭环特征方程的系数仅与系统的参数有关。 对于实际控制系统而言，这些参数都是实数。具有实 系数的闭环特征方程的根为共轭复数的形式，必然对 称于实轴。因而，根轨迹也必然关于实轴对称。 一、根轨迹的连续性、分支数与对称性： 第4章 根轨迹
第4章根轨迹（续）绘制根轨迹的基本法则根轨迹在s平面上的分支数=闭环特征方程的阶数。即：分支数=闭环极点数=开环极点数n(n≥m）或=开环零点数m(m>n）二、根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点若n>m，则有（n-m）条终止于无穷远处若m>n，[则有（m-n）条起始于无穷远处
绘制根轨迹的基本法则（续） 二、根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。 若n>m，则有(n-m)条终止于无穷远处。 若m>n，则有(m-n)条起始于无穷远处。 根轨迹在s平面上的分支数=闭环特征方程的阶 数。即:分支数=闭环极点数=开环极点数n(n≥m) 或=开环零点数m(m>n)。 第4章 根轨迹
第4章根轨迹绘制根轨迹的基本法则（续）证明：木根轨迹的起点是指K。=0的根轨迹点，而终点是指K。一8的根轨迹点。mK,II(s-z,)=1: Gk(s) = -n(s- p.)i=11II(s- p:)+ KII(s-z)=0:. D(s) =i=1j=1当K,=0时，有s= pi，K=0时的闭环极点就是开环极点。则根轨迹必起始于开环极点
证明：根轨迹的起点是指Kg=0的根轨迹点，而终点 是指Kg→∞的根轨迹点。 ( ) ( ) ( ) 0 1 1 = − + − = = = m j g j n i i D s s p K s z 1）当Kg =0时，有s = pi，∴Kg = 0时的闭环极点就 是开环极点。则根轨迹必起始于开环极点。 绘制根轨迹的基本法则(续) 第4章 根轨迹 = = − − = n i i m j g j k s p K s z G s 1 1 ( ) ( ) ( )
第4章根轨迹绘制根轨迹的基本法则（续）2）变一个方程：m,(-P)+(-2)-0j=11当K,→00时，S=Zj，即终止于开环零点。s- p:ln-mi=llim3） 文:K。=limS18(n>m)m5-85IICURRENi=l所以有(n-m)条终止于无穷远处
2）变一个方程： ( ) ( ) 0 1 1 1 − + − = = = m j j n i i g s p s z K lim lim ( ) 1 1 s n m s z s p K n m s m j j n i i s g = → − − = − → = = → 3）又 绘制根轨迹的基本法则(续) 当Kg→∞时，s=zj，即终止于开环零点。 所以有(n-m)条终止于无穷远处。 第4章 根轨迹
第4章根轨迹绘制根轨迹的基本法则（续）s-z,lj=lm-n=lim=lim4)又(m>n)1↓8SK5-050s-pili=1所以有（m-n）条起始于无穷远处三、实轴上的根轨迹实轴上根轨迹区段的右侧，实轴上的开环零、极点数目之和应为奇数。因为共轭复数零、极点向根轨迹上的s点所引的相角相互抵消，而s左边的实数开环零、极点向s引的相角为0°，只有s右边的实数开环零、极点向s引的相角为180°当个数为奇数时才能为J±180°±2k元
lim lim ( ) 1 1 1 s m n s p s z K m n s n i i m j j s g = → − − = − → = = → 4）又 绘制根轨迹的基本法则(续) 第4章 根轨迹 三、实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹区段的右侧，实轴上的开环零、极点数目 之和应为奇数。因为共轭复数零、极点向根轨迹上的s点所引 的相角相互抵消，而s左边的实数开环零、极点向s引的相角 为0°，只有s右边的实数开环零、极点向s引的相角为180° ， 当个数为奇数时才能为 所以有(m-n)条起始于无穷远处。 180 2k