第4章根轨迹绘制根轨迹的基本法则（续）四、根轨迹的渐近线若n>m，当K,→>o时，有(n-m)条趋于无穷远处，它们趋向的方位由渐近线决定渐近线与实轴正方向夹角：9。=(2k+1)元n-m[依次取k=0,±1,±2直到取（n-m）个倾角];渐近线与实轴交点的坐标：CURRENp;-nNj=1-n-m
四、根轨迹的渐近线 若n>m，当Kg→∞时，有（n-m）条趋于无穷远 处，它们趋向的方位由渐近线决定： n m k a − + = (2 1) ① 渐近线与实轴正方向夹角： [依次取k=0, ±1, ±2···直到取（n-m）个 倾角]； ② 渐近线与实轴交点的坐标： n m p z m j j n i i a − − = =1 =1 绘制根轨迹的基本法则(续) 第4章 根轨迹
第4章根轨迹绘制根轨迹的基本法则（续）设系统的开环传递函数为s + b,sm-I + ..+bm-$+b.mG(s)H(s) = Ks" +a's"-I +...+an-is+anK(1)进一步整理为 G(s)H(s)=s"-m +(a, -b,)s"-m-1m其中，a_=-=-Di=1-设在根轨迹上无穷远处有一点s，即s一→8，则从复平面上所有有限的开环零、极点指向s的向量都可以认为是相等的。因此，可以将从所有有限的开环零、极点指向s的向量都用从某个固定点。指向的向量代替，即
设系统的开环传递函数为 绘制根轨迹的基本法则(续) 第4章 根轨迹 n n n n m m m m g s a s a s a s b s b s b G s H s K + + + + + + + + = − − − − 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) + − + = − − −1 1 1 ( ) ( ) ( ) n m n m g s a b s K 进一步整理为 G s H s （1） = = − m j j b z 1 1 = = − n i a pi 1 其中， 1 设在根轨迹上无穷远处有一点s，即s→∞，则从复平面 上所有有限的开环零、极点指向s的向量都可以认为是 相等的。因此，可以将从所有有限的开环零、极点指 向s的向量都用从某个固定点σ a指向的向量代替，即
第4章根轨迹绘制根轨迹的基本法则（续）(2)(s-z,)=(s-p)=(s-o)mK,II(s-z,)(s-oa)mj=l所以有G(s)H(s) ==K9H(s-a)"II(s- p,)i=1KK(3)(s-0.)"-ms'"-m+[-(n - m)o, Is"-m-1KO(1)G(s)H(s) =sn-m+(ai -b)sn-m-1 + .比较（1）式和（3）式可得：-(n-m)a=ai-bmZpi-Zzai-bi=1=从而有a=二(n-m)n-m
绘制根轨迹的基本法则(续) 第4章 根轨迹 所以有 （3） 比较（1）式和（3）式可得： ( ) ( ) ( ) j i a s − z = s − p = s − n a m a n g i i m j g j s s K s p K s z G s H s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 − − = − − = = = + − − + = − = − − − −1 ( ) [ ( ) ] n m a n m g n m a g s n m s K s K 1 1 (n m) a b − − a = − 从而有 n m p z n m a b m j j n i i a − − = − − − = 1 1 =1 =1 ( ) （2） + − + = − − −1 1 1 ( ) ( ) ( ) n m n m g s a b s K G s H s （1）
第4章根轨迹绘制根轨迹的基本法则（续）(2)(s-z,)=(s-p:)=(s-a)同理当s一>00时由（2）式可得：Z(s-z,)=Z(s-p)=Pa将上式代入相角方程可得：mP.-nP.=(2k +1)元(2k+1)元从而有k=0,±1,±2..01n-m根轨迹渐近线的两个计算公式得到了证明
绘制根轨迹的基本法则(续) 第4章 根轨迹 同理当s→∞时由（2）式可得： ( ) ( ) ( ) j i a s − z = s − p = s − 从而有 （2） j i a (s − z ) = (s − p ) = m a − n a = (2k + 1) 将上式代入相角方程可得： n m k a − + = (2 1) k=0, ±1, ±2··· 根轨迹渐近线的两个计算公式得到了证明
第4章根轨迹绘制根轨迹的基本法则（续）K例 1：已知 Gk(s)=求渐近线。s(s + 1)(s + 5)解: n=3,m= 0,P, =-1,P =-5渐近线有3条根轨迹趋于无穷远处：0a=-2180°600=60%k=02a022k+1)元-15=180°,k=1D23=-60,k=-1渐近线CURR-5-a3Canadi
有3条根轨迹趋于无穷远处; , ( 1)( 5) ( ) + + = s s s K G s g k 解 ：n = 3,m = 0, p1 = −1, p3 = −5 2 3 1 5 = − − − a = ( ) = − = − = = = = + = 6 0 , 1 180 , 1 6 0 , 0 3 2 1 k k k k a 例 1：已知 求渐近线。 绘制根轨迹的基本法则(续) 第4章 根轨迹