f(x)=f(x0)+(x-x0)f(x0)+E(x) 令忽略高阶导数项,就可以把非线性函数线 性近似化。应该注意的是泰勒展开X的某 个小邻域内有效。超出该范围,所做的近 似就失去了意义。这个范围是严格控制的
❖ 忽略高阶导数项，就可以把非线性函数线 性近似化。应该注意的是泰勒展开X的某 个小邻域内有效。超出该范围，所做的近 似就失去了意义。这个范围是严格控制的。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ' 0 0 f x = f x + x − x f x + x
以液位系统为例,设液位H工作在H附近,相应的输入量Q 在Q附近变化,可以取 △H=H-H,△Q=Q-Q,H为非线性函数, 将它线性化泰勒展开 H=√H+ (H-H0)+ 由于H,Q变化较小,所以取泰勒展开的一次近似 高阶项省略。这就求出小偏差的近似线性方程: d△H K =△O △H 通常在工作点附近直接写作 dh K Q HH,Q∈(Ho,Q
， （ ， ） 通常在工作点附近直接写作 高阶项省略。这就求出小偏差的近似线性方程： 由于 ， 变化较小，所以取泰勒展开的一次近似， （ ） 将它线性化泰勒展开 ， ， 为非线性函数， 在 附近变化，可以取 以液位系统为例，设液位 工作在 附近，相应的输入量 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 1 i i i i i i i i H H Q H Q H K Q dt dH C H H K Q dt d H C H Q H H H H H H H H Q Q Q H Q H H Q = − = − = + − + = − = −
如果给定系统是状态方程形式 如x1=x2+2x1x2-x1+L1=f1(x,L) x2=-x2+l2=f2(x,) f,/非线性函数,工作点为(x,x2lo,l2)通常为零点
非线性函数，工作点为（ ， ， ， ）通常为零点 如 如果给定系统是状态方程形式 , , ( , ) 2 ( , ) 1 2 1 0 2 0 1 0 2 0 2 2 2 . 2 1 2 1 1 1 2 1 . 1 f f x x u u x x u f x u x x x x x u f x u = − + = = + − + =
f(x,u)=f(x020)+ af Ox(xo, 4(=xo)+ Ax=x-xo=f(x, u)-f(ro, uo) Orl(o, 0) Ar+ (0,0) △ au afr of ax, a au. a △x △x+ △l (00) 线性系统稳定→非线性系统稳定
线性系统稳定 →非线性系统稳定 + = + = − = − = − + − + = + u u f u f u f u f x x f x f x f x f x u u f x x f x x x f x u f x u u u u f x x x f f x u f x u x u x u 2 (0,0) 2 1 2 2 1 1 1 2 (0,0) 2 1 2 2 1 1 1 0 0 0 (0,0) (0,0) 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) 0 0 0 0