可积的充分条件： 定理1.函数f(x)在[a,b]上连续>f(x)在[a,b]可积 例1.利用定义计算定积分 y 解：将[0,1]n等分，分点为x,= (i=0,1,…,n) 取5=7，△x=月(1=1,2，…，m） 则 f5)△，=5子△￥=n 1 x @90008
o 1 x y n i 定理1.函数 f (x)在[a,b]上连续 f (x)在 [a,b]可积. 例1. 利用定义计算定积分 d . 1 0 2 x x 解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 n i i x (i 0,1,,n) i n x 1 , n i 取i (i 1,2,,n) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 y x i i i i f x x 2 则 ( ) 3 2 n i
6 n n(n+1)(2n+1) i=1 n°i=1 :e岁 dx=m∑产x, D=x2 2→0 i=l lim = n-→0 +为 n i 1x 1 3 @eo008
o 1 x y n i i i n i f x ( ) 1 n i i n 1 2 3 1 ( 1)(2 1) 6 1 1 3 n n n n ) 1 )(2 1 (1 6 1 n n i n i i x x x 1 2 0 1 0 2 d lim n lim 3 1 ) 1 )(2 1 (1 6 1 n n 2 y x 注 目录 上页 下页 返回 结束
[注]利用(n+1)3=n3+3n2+3n+1,得 (n+1)3-n3=3n2 +3n +1 n3-(n-1)3日3n-1)2+3n-1)H1 23-13312 +31 +1 两端分别相加，得 (n+1)3-1=312+22+…+n2)+31+2+…+n)+n 即 分+3n+3n-3"t+n 22-=n(n+102n+)
( 1) 3 3 1, 3 3 2 n n n n 得 ( 1) 3 3 1 3 3 2 n n n n ( 1) 3( 1) 3( 1) 1 3 3 2 n n n n 2 1 3 1 3 1 1 3 3 2 两端分别相加, 得 ( 1) 1 3 n 3(1 2 n) n 即 n 3n 3n 3 2 n i i 1 2 3 3 2 n(n1) n n i i 1 2 6 1 n(n 1)(2n 1) 3(1 2 ) 2 2 2 n
例2.用定积分表示下列极限： 1P+2P+…+nP () (2)lim V n-→onie1 n n->oo nptl =1+xd 5, i-li →x nn (2)1im 一三以阳 △x n->oo n-→0 1 -JxPdx 5 9OR 机动
1 1 2 (2) lim p p p p n n n n n i p n 1 lim 1 n i x x p d 1 0 i i x n i n n i n 1 1 1 (1) lim 1 1 2 (2) lim p p p p n n n 解: n i n n i n 1 1 1 (1) lim n n i n i n 1 lim 1 1 i i x 1 x dx 1 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x 0 1 n i1 n i
说明：设f(x)eCLa,b],则f(x)dx存在，根据定积 分定义可得如下近似计算方法： 将[a,]分成n等份：Ax= x,=a+i△x(i=0,1,…,n) 记f(x,)=y(i=0,1,…,n) a 0 Xi-IXi b x 1.∫(x)dk≈Ax+Ax++y-Ax =b(%++…+ym1) (左矩形公式) 2.∫f()dx≈方Ax+Ax++y,Ax =bm(y+2+…+y) (右矩形公式) 机动
机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 f (x)C[a,b], 则 ( )d 存在, b a f x x 根据定积 分定义可得如下近似计算方法: x a i x (i 0,1, ,n) i , n b a x f (x ) y (i 0,1, ,n) 记 i i b a 1. f (x)dx y x y x y x 0 1 n1 ( ) 0 1 1 n n b a y y y 将 [a , b] 分成 n 等份: o a b x y i x i1 x (左矩形公式) ( ) n 1 2 n b a y y y (右矩形公式) b a 2. f (x)dx y x y x y x 1 2 n