六、几何概率 例两艘轮船都要停靠同一泊位,它们可能在一昼夜的任意时间到达,设两船停靠泊位 的时间分别为1小时和2小时,则一艘轮船停靠泊位时,需要等待空出码头的概率为 分析两艘船到达时间视为平面坐标系中的点,据题意,它等可能取矩形区域[0,24]+[0 24]上任意一点,符合几何概型。不妨设甲船坐标为x,乙船为y,则一船停靠时需要等待空 出码头分两种情况:甲先到,乙随后的一小时内到达:乙先到,甲随后两小时内到达,于是 事件可表示为(xy)落在区域 (x,y)0≤x≤24.0≤y≤240≤y-xsU0≤x≤240≤y≤240≤x-y≤2}。如 图,根据几何概型计算可得 242-(22+232) P(A)= ≈0.121 答0.12 七、条件概率与独立性的定义与性质 例设A,B为任意两个事件,且AcB,0<P(B)<1,则( (A)P(4)<P(4B) (B)PA)≤P(4B) (C)P(A)>P(AB) (D)PA)≥P(B) 分析不能直接比较,需要根据条件概率定义转化为无条件概率来比较,事实上,由 P(41)=PEB>P(,故()成立 答选择(A) 八、利用独立性及伯努利概型计算概率 例某种产品每批中都有2/3为合格品,验收每批时规定,从中先取一个,若是合格就 放回去再取一个,如果仍为合格品,则接受该批产品,否则拒收,求检验三批,最多只有 批被拒收的概率 分析检验三批,可视为做三次伯努利试验,最终为求得“最多有一批拒收”的概率可 使用伯努利概型,为使用伯努利概型关键需要知道每批拒收的概率,而每批是否拒收的根据 是每批产品的两次检验,又相当于两次伯努利试验,因此又是通过伯努利概型来计算的。可 见这里要使用伯努利概型两次 解先确定每批产品拒收的概率,据题设,“产品拒收”可表示为两次放回检验中“至少一次 检验不合格”,于是可以先计算“产品被接收”的概率,即“两次检验均合格”的概率。记 A“第i次检验为合格”,“产品拒收”为B,则 =A)-(3)=1-5
六、几何概率 例 两艘轮船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任意时间到达，设两船停靠泊位 的时间分别为 1 小时和 2 小时，则一艘轮船停靠泊位时，需要等待空出码头的概率为 ________. 分析 两艘船到达时间视为平面坐标系中的点，据题意，它等可能取矩形区域[0，24]*[0， 24]上任意一点，符合几何概型。不妨设甲船坐标为 x，乙船为 y，则一船停靠时需要等待空 出码头分两种情况：甲先到，乙随后的一小时内到达；乙先到，甲随后两小时内到达，于是 这一事件 可 表 示 为 （ x,y ） 落 在 区 域 ： {( , ) 0 24,0 24,0 1} {0 24,0 24,0 2} x y x y y x x y x y − − 。如 图，根据几何概型计算可得 2 2 2 2 1 24 (22 23 ) 2 ( ) 0.121 24 P A − + = 答 0.121。 七、条件概率与独立性的定义与性质 例 设 A，B 为任意两个事件，且 A B P B ,0 ( ) 1 ，则（） （A） P A P A B ( ) ( ) （B） P A P A B ( ) ( ) （C） P A P A B ( ) ( ) （D） P A P A B ( ) ( ) 分析 不能直接比较，需要根据条件概率定义转化为无条件概率来比较，事实上，由 ( ) ( ) ( ) ( ) P A P A B P A P B = 。故（A）成立。 答 选择（A）。 八、利用独立性及伯努利概型计算概率 例 某种产品每批中都有 2/3 为合格品，验收每批时规定，从中先取一个，若是合格就 放回去再取一个，如果仍为合格品，则接受该批产品，否则拒收，求检验三批，最多只有一 批被拒收的概率。 分析 检验三批，可视为做三次伯努利试验，最终为求得“最多有一批拒收”的概率可 使用伯努利概型，为使用伯努利概型关键需要知道每批拒收的概率，而每批是否拒收的根据 是每批产品的两次检验，又相当于两次伯努利试验，因此又是通过伯努利概型来计算的。可 见这里要使用伯努利概型两次。 解 先确定每批产品拒收的概率，据题设，“产品拒收”可表示为两次放回检验中“至少一次 检验不合格”，于是可以先计算“产品被接收”的概率，即“两次检验均合格”的概率。记 Ai “第 i 次检验为合格”，“产品拒收”为 B，则 2 1 2 2 4 4 5 ( ) ( ) , ( ) 1 3 9 9 9 P B P A A P B = = = = − =
检验三批,设B表示“有i批被拒收”,则“最多只有一批被拒收可表示为B+B,而且 5)(4304 P(B+B1)=P(B0)+P(B1) 九、条件概率的计算 例某种机器按设计要求使用寿命超过20年的概率为0.8,超过30年的概率为0.5,该 机器使用20年后,将在10年内损坏的概率为 分析本例涉及两个事件A={该机器使用寿命超过20年}以及B={该机器使用寿命超过 30年},所求的是在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,直接由条件概率的定 义可计算之,事实上,由 P(BA) P(AB)P(B)0.55 P(A)P(A)0.88 进而 P(BA)=1-P(BA)=153 例一个家庭中有两个小孩,如果已知老大是女孩,则老二也是女孩的概率为多大?如 果已知其中有一个女孩,则另一个也是女孩的概率是多大? 分析一般假设各胎生男生女是独立的且可能性相同,如果记A={老大是女孩}, A2={老二是女孩},则有A1与A2独立,且P(A1)=P(A2)=。由此易解得第一个问题, 关键是要注意第二问与第一问得区别,在第二问中条件事件应理解为至少有一个是女孩 解A,A2如分析中所设,则第一问归结为求P(A|A4),由于A与A2独立,且 P(A1)=P(A2) 于是 P(414)=P(42)= 即已知老大是女孩的条件下,老二也是女孩的概率为一。对第二问,条件事件是“两个孩 子中至少有一个是女孩”相应所求时间可表述为“两个孩子均为女孩”,问题于是归结为求 PA414+A2),由 P(4+A2)=1-P(互互2)=1-P(AP()=1-4=4 P(A1A2)=P(A)P(A2)= 22 于是
检验三批，设 Bi 表示“有 i 批被拒收”，则“最多只有一批被拒收可表示为 B B 0 1 + ，而且 3 2 1 0 1 0 1 3 4 5 4 304 ( ) ( ) ( ) 9 9 9 729 P B B P B P B C + = + = + = 。 九、条件概率的计算 例 某种机器按设计要求使用寿命超过 20 年的概率为 0.8，超过 30 年的概率为 0.5，该 机器使用 20 年后，将在 10 年内损坏的概率为______. 分析 本例涉及两个事件 A={该机器使用寿命超过 20 年}以及 B={该机器使用寿命超过 30 年}，所求的是在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，直接由条件概率的定 义可计算之，事实上，由 ( ) ( ) 0.5 5 ( ) ( ) ( ) 0.8 8 P AB P B P B A P A P A = = = = 进而 5 3 ( ) 1 ( ) 1 8 8 P B A P B A = − = − = 答 3 8 。 例 一个家庭中有两个小孩，如果已知老大是女孩，则老二也是女孩的概率为多大？如 果已知其中有一个女孩，则另一个也是女孩的概率是多大？ 分析 一般假设各胎生男生女是独立的且可能性相同，如果记 A1 ={老大是女孩}， A2 ={老二是女孩}，则有 A1 与 A2 独立，且 1 2 1 ( ) ( ) 2 P A P A = = 。由此易解得第一个问题， 关键是要注意第二问与第一问得区别，在第二问中条件事件应理解为至少有一个是女孩。 解 A1 ， A2 如分析中所设，则第一问归结为求 2 1 P A A ( ) ，由于 A1 与 A2 独立，且 1 2 1 ( ) ( ) 2 P A P A = = ，于是 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 P A A P A = = 即已知老大是女孩的条件下，老二也是女孩的概率为 1 2 。对第二问，条件事件是“两个孩 子中至少有一个是女孩”相应所求时间可表述为“两个孩子均为女孩”，问题于是归结为求 1 2 2 1 P A A A A ( ) + ，由 1 2 1 2 1 2 1 3 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 4 4 P A A P A A P A P A + = − = − = − = ， 1 2 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 4 P A A P A P A = = = 。 于是