第2章数字通信的数学基础 (2)连续波复信号的正交展开 关于连续波复信号赋范内积空间的上述定义，也适用于(0,0)区间中能量有限信号，将 这个空间记为C。 设C中有一个函数集{)，1()，「)}，它的N个复数函数都相互正交，即 ocoa-6 m,n=12、.,N (2-2-35) 那么这个函数集可构成C中一个标准正交基。对于C中某些信号()，可以在这个正交基上 展开，即 v0=立xf0 (2-2-36) 其中x,=<(),0>是v()在0上的投影。 由(2-2-36)式可知，尽管这个正交基函数族可以表示无穷多个不同的函数()，但是它能 表示的函数不能涵盖C中所有的函数s)(s)SC):这就是说这个正交基是不完备的。 ()通信信号的空间表示 采用有限个正交基函数不能构成整个能量有限复信号空间C的完备正交基。因此如果像 (2-2-36)式那样采用只包含有限个正交基函数来表示C中的任意信号(s)C),由于此正交 基不完备而难免出现误差，即 s0=∑sf0+c0 (2-2-37) 其中c)为误差函数，S=<s(),[)>是s)在f)上的投影。 数字通信系统通常都只采用一种或几种固定的短时信号波形来表示各个信源符号，这些 波形的形状在发送和接收过程中是基本上保持不变的，因此发送接收信号波形的有用信号部 分总是可以采用这种不完备的正交基函数族推确地表示的：如果有误差，那就是引入了噪声 或信号失真。 设一个通信系统中，发送端用一个相互正交的复函数族{[，「，()，「，(0}来表示该系统可 能发送的M种符号，其中第m种符号的信号波形s)表示为 s0=∑sf0m=l,2,M (2-2-38) 其中是s)在基函数f)上的投影，即s=<s),〔0>。显然采用这些正交投影所构 成的N维矢量s∈[s)s,.s门了就是s(O的一种等价的表示，即有限维空间表示。 信号经信道传输后，相应的接收信号波形)也可以在这个正交基上展开，但因为信道 传输中存在信号失真和引入加性高斯白噪声，()中肯定包含有这个不完备正交基无法表现 的部分，即除了正交展开式之外，还要加上一个误差函数部分，即 r0=∑s0+c0m=l,2,M (2-2-39) 西安电子科技大学 11
第 2 章 数字通信的数学基础 西安电子科技大学 11 (2) 连续波复信号的正交展开 关于连续波复信号赋范内积空间的上述定义，也适用于(-∞ ,∞ )区间中能量有限信号，将 这个空间记为^ 。 设^ 中有一个函数集{ 1 2 ( ), ( ),., ( ) N ff f tt t }，它的 N 个复数函数都相互正交，即 * 1( ) () () 0( ) n m m n t t dt m n ∞ −∞ = = ≠ ⎧ ⎨ ⎩ ∫ f f mn N , 1, 2,., = (2-2-35) 那么这个函数集可构成^ 中一个标准正交基。对于^ 中某些信号ψ( )t ，可以在这个正交基上 展开，即 ψ( )t = 1 ( ) N i i i x t = ∑ f (2-2-36) 其中 i x = ( ), ( ) i < > ψ t t f 是ψ( )t 在 ( ) i f t 上的投影。 由(2-2-36)式可知，尽管这个正交基函数族可以表示无穷多个不同的函数ψ( )t ，但是它能 表示的函数不能涵盖^ 中所有的函数s( )t (∀s( )t ⊆^ )；这就是说这个正交基是不完备的。 (3) 通信信号的空间表示 采用有限个正交基函数不能构成整个能量有限复信号空间^ 的完备正交基。因此如果像 (2-2-36)式那样采用只包含有限个正交基函数来表示^ 中的任意信号(∀s( )t ⊆^ )，由于此正交 基不完备而难免出现误差，即 s( )t = 1 ( ) N i i i s t ∑ = f +e( )t (2-2-37) 其中e( )t 为误差函数， i s = ( ), ( ) i < > s t t f 是s( )t 在 ( ) i f t 上的投影。 数字通信系统通常都只采用一种或几种固定的短时信号波形来表示各个信源符号，这些 波形的形状在发送和接收过程中是基本上保持不变的，因此发送接收信号波形的有用信号部 分总是可以采用这种不完备的正交基函数族准确地表示的；如果有误差，那就是引入了噪声 或信号失真。 设一个通信系统中，发送端用一个相互正交的复函数族{ 1 2 ( ), ( ),., ( ) N ff f tt t }来表示该系统可 能发送的M 种符号，其中第m 种符号的信号波形 ( ) ( ) m s t 表示为 ( ) ( ) m s t = 1 ( ) ( ) N i i m i s t ∑ = f m =1, 2,., M (2-2-38) 其中 ( ) m i s 是 ( ) ( ) m s t 在基函数 ( ) i f t 上的投影，即 ( ) m i s =< ( ) ( ) m s t , ( ) i f t >。显然采用这些正交投影所构 成的 N 维矢量 ( ) m s ∈ () () () 1 2 [ . ] m m mT N ss s 就是 ( ) ( ) m s t 的一种等价的表示，即有限维空间表示。 信号经信道传输后，相应的接收信号波形r( )t 也可以在这个正交基上展开，但因为信道 传输中存在信号失真和引入加性高斯白噪声，r( )t 中肯定包含有这个不完备正交基无法表现 的部分，即除了正交展开式之外，还要加上一个误差函数部分，即 ( ) ( ) m r t = 1 ( ) ( ) N i i m i s t ∑ = f +e( )t m =1, 2,., M (2-2-39)
第2章数字通信的数学基础 如果信道传输引起的信号失真可忽略不计，只是引入高斯白噪声，则()可表示为： rm()=c∑2s0+)=∑Ics+u]f0 (2-2-40a) 其中复数c为信道增益因子：()就是信道引入的高斯白噪声，也就是)在这个正交基上 展开时出现的误差函数：U是()在基函数〔)上的投影，即u,=<v(),〔()>；于是()的空 间表示为[心山.了。于是接收信号的空间矢量表示为： rm=.了 (2-2-40b) =c[sms.sY+yu了 从(2-2-40)式可见，接收信号中的有用信号部分与发射信号的基函数表示完全相对应，只 差一个乘性因子，而正交展开误差函数部分正是信道引入的噪声。显然，利用如上所述接 收信号的空间矢量表示形式便于进行符号判决。在无信道噪声时对应于M种发送符号的接收 信号矢量{r是分布在N维空间中M个固定的点上；而有噪声时{rm扩散到标准符号矢 量端点的周围，因此可以在这个二维空间中基于最小欧氏距离准则进行符号判决。 其实采用两个正交基函数 /)=g1)cos@1)/(t)=g)s1n(@1) (2-2-41) 就可以许多种数字调制方式的带通型发送信号的波形：其中g()是一个带宽为W赫兹的低通 型短时实信号波形，称为符号成形波：a为调制载波的角频率，0.>2πW。例如：QPSK调 制所得带通信号的四种符号波形的复信号形式分别为：s)=)、s0=j)、 s0)=f和s)=j):它们在正交基函数族{)，)}上的投影分别为：s"=1、 s=j、s=1和s一了：这就将这四种带通信号波形映射为二维空间中四个点，即四个复 数值。这就是连续波信号的空间表示。 当然，也可以采用M个相互正交的基带波形g(0)、8,0)、8()或它们载波调制信 号波形g)e吧、g()e、gu)e，分别地直接表示M种发送符号的波被形s): m=1,2,M:对应地也有M个M维矢量的等价表示形式。这只是上述介绍在N=M时的一 个特例：所对应的数字调制方式称为M进制正交波形调制。 2.3描述信号和系统最常用的两种正交变换 本节介绍通用性更强的两种正交变换付立叶变换和Z变换的基本概念和主要性质。 23.1付立叶变换 ()周期性连续信号的付立叶变换 设s)是一个周期T的复信号s(),其付立叶级数变换定义为 西电子科技大学
第 2 章 数字通信的数学基础 西电子科技大学 12 如果信道传输引起的信号失真可忽略不计，只是引入高斯白噪声，则 ( ) ( ) m r t 可表示为： ( ) ( ) m r t = c 1 ( ) ( ) N i i m i s t ∑ = f + υ( )t = 1 ( ) [ ] N i i m i cs υ = ∑ + ( ) i f t (2-2-40a) 其中复数 c 为信道增益因子；υ( )t 就是信道引入的高斯白噪声，也就是 ( ) ( ) m r t 在这个正交基上 展开时出现的误差函数；υi 是υ( )t 在基函数 ( ) i f t 上的投影，即υi =< υ( )t , ( ) i f t >；于是υ( )t 的空 间表示为 1 2 [ . ]T υυ υ N 。于是接收信号的空间矢量表示为： ( ) m r = () () ( ) 1 2 [ . ] m T N m m rr r =c () () () 1 2 [ . ] m m mT N ss s + 1 2 [ . ]T υυ υ N (2-2-40b) 从(2-2-40)式可见，接收信号中的有用信号部分与发射信号的基函数表示完全相对应，只 差一个乘性因子 c，而正交展开误差函数部分正是信道引入的噪声。显然，利用如上所述接 收信号的空间矢量表示形式便于进行符号判决。在无信道噪声时对应于 M 种发送符号的接收 信号矢量{ ( ) m r }是分布在 N 维空间中 M 个固定的点上；而有噪声时{ ( ) m r }扩散到标准符号矢 量端点的周围，因此可以在这个二维空间中基于最小欧氏距离准则进行符号判决。 其实采用两个正交基函数 1f ( )t = g t( ) cos( ) c ω t 2 f ( )t = g t( ) sin( ) c ω t (2-2-41) 就可以许多种数字调制方式的带通型发送信号的波形；其中 g t( )是一个带宽为W 赫兹的低通 型短时实信号波形，称为符号成形波；ωc 为调制载波的角频率，ωc > 2πW 。例如：QPSK 调 制所得带通信号的四种符号波形的复信号形式分别为： (1) s ( )t = 1f ( )t 、 (2) s ( )t = j 2 f ( )t 、 (3) s ( )t =- 1f ( )t 和 (4) s ( )t =- j 2 f ( )t ；它们在正交基函数族{ 1f ( )t , 2 f ( )t }上的投影分别为： (1) s =1、 (2) s = j 、 (3) s =-1 和 (4) s =- j ；这就将这四种带通信号波形映射为二维空间中四个点，即四个复 数值。这就是连续波信号的空间表示。 当然，也可以采用 M 个相互正交的基带波形 1 g t( ) 、 2 g t( ) 、.、 ( ) Mg t 或它们载波调制信 号波形 1 g t( ) c j t e ω 、 2 g t( ) c j t e ω 、.、 ( ) Mg t c j t e ω ，分别地直接表示M 种发送符号的波形{ ( ) ( ) m s t ； m =1, 2,., M }；对应地也有 M 个M 维矢量的等价表示形式。这只是上述介绍在 N = M 时的一 个特例；所对应的数字调制方式称为M 进制正交波形调制。 2.3 描述信号和系统最常用的两种正交变换 本节介绍通用性更强的两种正交变换-付立叶变换和 Z 变换的基本概念和主要性质。 2.3.1 付立叶变换 (1) 周期性连续信号的付立叶变换 设s( )t 是一个周期T 的复信号s( )t ，其付立叶级数变换定义为