从4.2gk×Ay= k dxdy=ra 例2计算曲面积分x2d+pd+zhd, ∑ 其中Σ为锥面x2+y2=2介于平面z=0及 =h(h>0)之间的部分的下侧 z 2=从(④4)D8x+ 21 22+21围34为 =( X十2十2乙 e i ∫+g S9++2 8≤z soz.tz d2-3 9计 及=2 W平
x y z o 例 2 计算曲面积分 , 其中Σ为锥面 2 2 2 x + y = z 介于平面z = 0及 z = h(h 0)之间的部分的下侧. h 2 2 2 x dydz y dzdx z dxdy + +
例3计算曲面积分 (x cos a+y cos B+z cos y ds ,其中∑为 锥面x2+y2=x介于平面 了=0及z=h(h>0) h 之间的部分的下侧, coSa,cosβ,cosy 是Σ在(x,y,3处 J 的法向量的方向余弦
x y z o 例 3 计算曲面积分 2 2 2 ( cos cos cos ) x y z dS + + ,其中Σ为 锥面 2 2 2 x + y = z 介于平面 z = 0及z = h(h 0) 之间的部分的下侧, cos,cos,cos 是Σ在(x, y,z)处 的法向量的方向余弦. h
解空间曲面在xoy面上的投影域为Dy 曲面∑不是封闭曲面,为利用 高斯公式 补充∑1:z=h(x2+y2≤h2)(x1·h ∑取上侧, ∑ Σ+∑构成封闭曲面, J Σ+Σ围成空间区域Ω 在Ω上使用高斯公式
Dxy x y z o 1 h 解 空间曲面在 xoy 面上的投影域为 Dxy : ( ) 2 2 2 补充 1 z = h x + y h 曲面不是封闭曲面, 为利用 高斯公式 1取上侧， + 1构成封闭曲面，. + 1围成空间区域 在上使用高斯公式
(x cos a+y cos B+z cos r)ds ∑+∑ 2 (x+y+x)b=2 dxdya.m(x+y+z)da. 其中D={x,y)|x2+y2≤h2} h dyx(x+y)dz=0, D (x cos a +y cos B+z cos r)ds ∑+∑ ∫j h' -x-y)dxdy T D 2
+ = + + + + x y z dv x y z dS 2 ( ) ( cos cos cos ) 1 2 2 2 + = + + Dxy h x y dxdy x y z dz 2 2 2 ( ) , {( , )| }. 2 2 2 其中Dx y = x y x + y h + + = Dxy h x y dxdy x y dz 2 2 ( ) 0, = − − + + + Dxy h x y dxdy x y z dS ( ) ( cos cos cos ) 2 2 2 2 2 2 1 . 2 1 4 = h
(x cosa+ycosB+i cos y)ds=zds =‖hdy=mh 故所求积分为 (x' cos a+ y cos B+z cos yds Th2-h4=-1元h
+ + = 1 1 2 2 2 2 (x cos y cos z cos )dS z dS = Dxy h dxdy 2 . 4 = h 故所求积分为 (x cos + y cos + z cos )dS 2 2 2 4 2 1 = h 4 − h . 2 1 4 = − h