父 (4)等距性 如果E[]<0∞，(i=0,1,·,n-1), 则 If xtRto-f" E [X2(t)]dt 证明：性质(1)，(2)和(3)是简单的，读者可自行证之，这里 只证明性质(4).利用Cauchy-Schwarz不等式，得到 E[(B(t+1)-B(t)川≤V/E()E[B(t+1)-B(t)]2<∞ 12/47 GoBack FullScreen Close Quit
12/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit (4) Â5 XJE[ξ 2 i ] < ∞, (i = 0, 1, · · · , n − 1)ß K E Z T 0 X(t)dB(t) 2 = Z T 0 E[X2 (t)]dt y²µ5ü(1),(2)⁄(3)¥{¸ß÷ˆåg1yÉߢp êy²5ü(4). |^ Cauchy-Schwarzÿ ™ß E[|ξi(B(ti+1)−B(ti))|] ≤ q E(ξ 2 i )E[B(ti+1) − B(ti)]2 < ∞
于是 2 Varl XdB]=E ∑ D）-B》 i=0 n-1 n-1 =E (B(t+1)-B(t)》·(B(t+1)-B(t) i=0 j=0 n- ∑E[(B(t+1)-B(t,)]+ 13/47 i=0 >E[(B(t+1)-B(t)(B(t+1)-B(t)I8.2.5) 2 i<j 由Brown运动的独立增量性以及关于的假定，利用定 理1.5.7(1)，有 E[i(B(t+1)-B(t)(B(tj+1)-B(t)】=0 GoBack FullScreen Close Quit
13/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit u¥ V ar[ Z T 0 XdB] = E "X n−1 i=0 ξi(B(ti+1) − B(ti))#2 = E X n−1 i=0 ξi(B(ti+1) − B(ti)) · X n−1 j=0 ξj(B(tj+1) − B(tj)) = X n−1 i=0 E[ξ 2 i (B(ti+1) − B(ti))2 ] + 2 X i<j E[ξiξj(B(ti+1) − B(ti))(B(tj+1) − B(tj))](8.2.5) dBrown$ƒ’·O˛5±9'uξib½ß|^½ n1.5.7(1)ßk E[ξiξj(B(ti+1) − B(ti))(B(tj+1) − B(tj))] = 0
所以，式(8.2.5)中的最后一项为零.由Brown运动的鞅 性质，得 Varl XdE=】 E[(B(t+1)-B(t)2] 三 E[E(号(B(t+1）-B(t)21F)] 14/47 E[号E(B(t+1)-B(t)21F)] E[](t+1-t) i=0 E[X2(t)]dt GoBack FullScreen Close Quit
14/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit §±ß™(8.2.5)•Åòëè".dBrown$ƒ 5üß V ar[ Z T 0 XdB] =X n−1 i=0 E[ξ 2 i (B(ti+1) − B(ti))2 ] = X n−1 i=0 E E ξ 2 i (B(ti+1) − B(ti))2 |Fti = X n−1 i=0 E ξ 2 i E (B(ti+1) − B(ti))2 |Fti = X n−1 i=0 E[ξ 2 i ](ti+1 − ti) = Z T 0 E[X2 (t)]dt.
y 有了前面的准备，我们现在可以将上述随机积分的定义 扩展到更一般的可测适应随机过程类 定义8.2.2设{X(t),t≥0}是随机过程，{F,t≥ 0是σ代数流，如果对t,X(t)是F可测的，则称{X(t)}是{F} 适应的 记 15/47 V={h,h是定义在0，o∞)上的可测的适应过程，满足E[0h2(s)ds<∞} GoBack FullScreen Close Quit
15/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit k c°Oß·Çy3å±Ú˛„ëÅ»©½¬ *–çòÑåˇ·AëÅLßa. ½¬ 8.2.2 {X(t), t ≥ 0}¥ëÅLßß{Ft, t ≥ 0}¥σìÍ6ßXJÈ ∀t, X(t)¥FtåˇßK°{X(t)}¥{Ft} ·A P V = n h, h¥½¬3[0, ∞)˛åˇ·ALßߘvE[ R T 0 h 2 (s)ds] < ∞ o
我们将随机积分的定义按下述步骤扩展到： 花 首先，令h∈V有界，并且对每个w∈2，h(,w)连续.则 存在简单过程{中n},其中 pn=h(t,ω)·16，+(t)∈V 使得当n→∞时，对每个w∈2， 16/47 (h-n)2at→0 因此由有界收敛定理得EL(h-pn)dt→0. GoBack FullScreen Close Quit
16/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ·ÇÚëÅ»©½¬Ue„⁄½*–V: ƒkß-h ∈ Vk.ßøÖÈzáω ∈ Ω, h(·, ω)ÎY.K 3{¸Lß{φn}ߟ• φn = X j h(tj, ω) · 1[tj,tj+1)(t) ∈ V ¶n → ∞ûßÈzáω ∈ Ωß Z T 0 (h − φn) 2 dt → 0 œddk.¬Ò½nE[ R T 0 (h − φn) 2dt] → 0