父 或表示为 X(t)=colo(t)+>c() (8.2.1) i=0 于是，可定义其积分为 XdBe)-∑eis(-B】 n-1 (8.2.2) 2=0 7/47 由Brown运动的独立增量性可知，公式(8.2.2)所定义的积 分是Gauss分布的随机变量，其均值为0，方差为 GoBack FullScreen Close Quit
7/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½L´è X(t) = c0I0(t) +X n−1 i=0 ciI(ti,ti+1](t) (8.2.1) u¥ß彬Ÿ»©è Z T 0 X(t)dB(t) = X n−1 i=0 ci[B(ti+1) − B(ti)] (8.2.2) dBrown$ƒ’·O˛5åß˙™(8.2.2)§½¬» ©¥Gauss©ŸëÅC˛ßŸ˛äè0ßê è
花 Var(xdB)-E n-l aud-8e i=0 n-1 m-1 -E 》∑ccB(t+1)-B(tB(t+1)-B(t川 j=0 n-1 cCE[(B(t+1)-B(t)(B(t+1）-B(t)川 8/47 =0 n-1 c(t+1-t) =0 GoBack FullScreen Close Quit
8/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit V ar( Z XdB) = E "X n−1 i=0 ci(B(ti+1) − B(ti))#2 = E X n−1 i=0 X n−1 j=0 cicj[B(ti+1) − B(ti)][B(tj+1) − B(tj)] = X n−1 i=0 X n−1 j=0 cicjE[(B(ti+1) − B(ti))(B(tj+1) − B(tj))] = X n−1 i=0 c 2 i (ti+1 − ti)
用取极限的方法可以将这一定义推广到一般的非随机函 数X().但是我们要定义的是随机过程的积分，因此将简单 函数中的常数c:用随机变量：来代替，并要求ξ：是F,可测的， 这里F:=o{B(w),0≤u≤t}.于是，由Brown运动的鞅性 质得 E[(B(t+1）-B(t)儿F]=ξE[B(t+1）-B(t)川F]=0 9/47 因此 E[5(B(t+1)-B(t)]=0. GoBack FullScreen Close Quit
9/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ^4Åê{å±Ú˘ò½¬Ì2òÑöëź ÍX(t).¥·ÇὬ¥ëÅLß»©ßœdÚ{¸ ºÍ•~Íci^ëÅC˛ξi5ìOßøá¶ξi¥Ftiåˇ. ˘pFt = σ{B(u), 0 ≤ u ≤ t}.u¥,dBrown$ƒ5 ü E[ξi(B(ti+1) − B(ti))|Fti ] = ξiE[B(ti+1) − B(ti)|Fti ] = 0 œd E[ξi(B(ti+1) − B(ti))] = 0.
数 定义8.2.1设{X(t),0≤t≤T是一个简单随机过 程，即存在0，T的分割0=to<t1<·<tn=T,随机 变量-1,0，…，n-1使得-1是常数，依赖于B(t),t≤t, 但不依赖于B(t),t>t,i=0,1,·,n-1,并且 m-1 X()=专-1lo(t)+》∑ξL6,(t) (8.2.3) 2=0 10/47 此时，Ito积分XdB定义为 X(d)B(0=∑s(B6+)-BU》 n-1 (8.2.4) i=0 GoBack FullScreen Close Quit
10/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½¬ 8.2.1 {X(t), 0 ≤ t ≤ T}¥òá{¸ëÅL ßß =3[0, T]©0 = t0 < t1 < · · · < tn = TßëÅ C˛ξ−1, ξ0, · · · , ξn−1¶ ξ−1¥~Íßξiù6uB(t), t ≤ tiß ÿù6uB(t), t > ti, i = 0, 1, · · · , n − 1ßøÖ X(t) = ξ−1I0(t) +X n−1 i=0 ξiI(ti,ti+1](t) (8.2.3) dûßItˆo»©R T 0 XdB½¬è Z T 0 X(t)dB(t) = X n−1 i=0 ξi(B(ti+1) − B(ti)) (8.2.4)
简单过程的积分是一个随机变量，满足下述性质. 花 (1)线性 如果X(t),Y(t)是简单过程，则 ax间+sye)aao=eXeaee+s Y(t)dB(t) 这里a,B是常数 (2) 11/47 Id.b(t)dB(t)=B(bAT)-B(a VO) 其中Ia,b(t)是区间[a,b)的示性函数， (3)零均值性 如果E[]<∞，(i=0,1,·,n-1), 则 lx(0 GoBack FullScreen Close Quit
11/47 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit {¸Lß»©¥òáëÅC˛ß˜ve„5ü. (1) Ç5 XJX(t), Y (t)¥{¸LßßK Z T 0 (αX(t)+βY (t))dB(t) = α Z T 0 X(t)dB(t)+β Z T 0 Y (t)dB(t) ˘pα, β¥~Í. (2) Z T 0 I[a,b](t)dB(t) = B(b ∧ T) − B(a ∨ 0) Ÿ•I[a,b](t)¥´m[a, b]´5ºÍ. (3) "˛ä5 XJE[ξ 2 i ] < ∞, (i = 0, 1, · · · , n − 1)ß K E[ Z T 0 X(t)dB(t)] = 0