科学出版社：《自动控制理论》课程教材（第四版）教学资源（PPT讲课件稿）第七章 线性离散系统的分析与校正

图中绿色虚线表示的复原后连续信号比采样前的连续信号在时间 上滞后了T/2.经上分析,可得零阶保持器的传递函数为: en(t)=∑e(n7)(t-n7)-[t-(n+1)r] E,(s)=Le, (t]=>e(nT )e-nTs( e )=E(S) G,(S)= E2(s)1-e E(S) 其频率特性表达式为G01- e-aT Sle/2 isin O T JO OT 其频率特性曲线请见书上P285图7-18,可见零阶保持器是一相位 滞后的低通滤波器,高频分量尚不能完全滤尽,因此它只能近似 地复原连续信号.DA转换器就具有零阶保持器的作用,步近电 机也具有零阶保持器的作用.零阶保持器还可用阻容网络实现

图中绿色虚线表示的复原后连续信号比采样前的连续信号在时间 上滞后了T/2. 经上分析, 可得零阶保持器的传递函数为:      s e E s E s G s s e E s s e E s L e t e nT e e t e nT t nT t n T Ts h h Ts n Ts nTs h h n h                         1 ( ) ( ) ( ) 1 ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) 1( ) 1 ( 1) * * 0 0  其频率特性表达式为 s j s s s T j j T h e e T T T j e G j                      sin 2 2 2 sin 1 ( ) 2 其频率特性曲线请见书上P.285图7-18, 可见零阶保持器是一相位 滞后的低通滤波器, 高频分量尚不能完全滤尽, 因此它只能近似 地复原连续信号. D/A转换器就具有零阶保持器的作用, 步近电 机也具有零阶保持器的作用. 零阶保持器还可用阻容网络实现

73Z变换理论 73.1Z变换定义和求法 由离散信号的拉氏变换式E(s)=∑e(n)e"可见其含有em 的超越函数,这给对离散系统的分析和计算带来很大困难,而应 用Z变换可解决这一难题.为此在上式中,令z=e”,则定义 E(=)=∑e(m7)2为e()的Z变换,并以 E()=ze()=z(n)=∑e(n)=() 表示有时为书写方便,也将ze(O)写成z() 下面举例说明求一些简单离散函数的Z变换 幂级数法 例1:求单位阶越函数的Z变换 解:少O=∑m)=1+2+2+z3+z+

7.3 Z变换理论 7.3.1 Z变换定义和求法 由离散信号的拉氏变换式      0 * ( ) ( ) n nTs E s e nT e 可见,其含有 nTs e  的超越函数, 这给对离散系统的分析和计算带来很大困难, 而应 用Z变换可解决这一难题. 为此在上式中, 令 Ts z  e , 则定义      0 ( ) ( ) n n E z e nT z 为 ( ) * e t 的Z变换, 并以 ( )  ( )  ( ) ( ) (1) 0 *        n n E z Z e t Z e nT e nT z 下面举例说明求一些简单离散函数的Z变换. 1. 幂级数法 例1: 求单位阶越函数的Z变换. 表示.有时为书写方便, 也将  ( ) * Z e t 写成 Ze(t) 解:   1 1 1 1( ) 1( ) 1 1 0 1 2 3 4                     z z z Z t nT z z z z z n n 

由z[()]=1+z1+x2+x3+x++…与1()=18(1)+16(t-7)+16(t-27)+ 比较可知,z(i=0,1,2,…,n…)表示相对时刻滞后个采样周期, 或称滞后i拍,而z前的系数表示第个采样时刻的采样值.这 结论具有普遍性 例2:求e的Z变换,其中C是常量 解:z[e]=∑ T +ez+e 2at T 2.部分分式法 若e(t)由其拉氏变换式E(s给出,且E(s)是s的有理函数并其分 母多项式便于分解因式时,可将E(s)展开成部分分式,即: E(S)=∑式中,P是E(s)各不相同的单极点a是 =1S+ 的留数,而—所对应的时间函数为 P

由 的Z变换, 其中 t e   例2: 求  是常量.   T T T T n t nT n z e z e z Z e e z e z e z                             1 1 2 2 0 1 1 解: 1  Z1(t)1 z 1  z 2  z 3  z 4 与 1 * (t) 1 (t) 1 (t  T ) 1 (t  2T )  比较可知, z (i 0,1,2,, n,) i   表示相对时刻0滞后i个采样周期, 或称滞后i拍, 而 i z  前的系数表示第i个采样时刻的采样值. 这一 结论具有普遍性. 2. 部分分式法 若e(t)由其拉氏变换式E(s)给出, 且E(s)是s的有理函数并其分 母多项式便于分解因式时, 可将E(s)展开成部分分式, 即:    n i i i s p a E S 1 ( ) 式中, i  p 是E(s)各不相同的单极点, i a 是 i  p 的留数, 而 i i s p a  所对应的时间函数为 p t i i a e 

由例2,上式的Z变换式是: e P,Tg 因此,相应于E(s)的像原 函数e(的Z变换为E(=)=ze()=∑ epil ∑ e pil 例3:求E(S) 的Z变换式 s(S+a 解: P2=-0a1 E(s)=∑ st p sS+ C.2 E(z)=∑ P T -aT 1=12-已 2-e (z-1)(z-e 3.留数法 若e(t)由其拉氏变换式E(s)给出,且E(S)是s的有理函数并其所 有极点能较方便地求出,则还可根据拉氏变换中的s域卷积定理 和复变函数中的留数定理求其Z变换。设 E(S) Q(s (2) (s+n2)(s+p2)"…(s+p,)…(s+p,)

由例2, 上式的Z变换式是: i p iT , 因此, 相应于E(s)的像原 z e a z   函数e(t)的Z变换为               n i n i p T i p T i e z a z e a z E z Z e t i i 1 1 1 1 ( ) ( ) 例3: 求 ( ) ( )     s s E s 的Z变换式. 解: ( 1)( ) (1 ) 1 ( ) 1 1 0, 1, 1 ( ) 2 1 2 1 1 2 1 2 T T T i p T i i i i z z e z e z e z z z z e a z E z s p s s a p p a a E s i                                          3. 留数法 若e(t)由其拉氏变换式E(s)给出, 且E(s)是s的有理函数并其所 有极点能较方便地求出, 则还可根据拉氏变换中的s域卷积定理 和复变函数中的留数定理求其Z变换. 设 (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 i mr r m i m m s p s p s p s p Q s E S       

式(2)中:-P1(=12,3,…,r)表示m阶重极点,且n=∑m表示 F、s)的阶数 E(s)=L[(t)]=Le()(o)] E(S) E(p) dp I-es 2njc1-e'itp E()=∑ResB,1 P ∑R p=- pi R为在极点-P上的留数,当-P为单极点时,留数为 R=lim(S+ PE(s)

式(2)中:  pi (i  1,2,3,,r) 表示mi阶重极点, 且   r i mi n 1 表示 E(s) 的阶数.                               r i i p p r i pT sT C s p T T R e z E z s E p dp e E p e j E s E s L e t L e t t i 1 1 1 ( ) * * * 1 1 ( ) Re ( ) 1 ( ) 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    R i为在极点 i  p上的留数, 当 i  p 为单极点时,留数为            i sT s p i z e z R s p E s i lim ( ) ( )