第七章线性离散系统的分析与校正 71离散系统的基本概念 目前,随着计算机性能和可靠性的不断提高,计算机越来越 多地参与系统的控制.而计算机所能接收和输出的信号只能是数 字信号,数字信号是关于时间t的离散信号.简单来说这种系统叫 采样离散控制系统,其一般结构可由下图简单表示: r(t) G(s) b( H(S) 图中,S是采样开关,它以周期T开闭一次,当连续信号e(1)经过 采样开关S后,得到一时间t的离散信号e().上图中的其它信号 都是时间t的连续信号.于是定义:在系统中只要有一处的信号是 时间t的离散信号,即为时间t的断续函数时,此系统就叫采样离 散系统,简称离散系统. 由于离散系统比连续系统多了采样开关,在系统中出现了离 散信号等特点,给对系统的研究带来一些新问题.下面先从研究
第七章 线性离散系统的分析与校正 7.1 离散系统的基本概念 目前, 随着计算机性能和可靠性的不断提高, 计算机越来越 多地参与系统的控制. 而计算机所能接收和输出的信号只能是数 字信号, 数字信号是关于时间t的离散信号. 简单来说这种系统叫 采样离散控制系统, 其一般结构可由下图简单表示: r(t) G(s) y(t) H (s) ( ) * e(t) e t b(t) S 图中, S是采样开关, 它以周期T开闭一次. 当连续信号e(t)经过 采样开关S后, 得到一时间t的离散信号 ( ) * e t . 上图中的其它信号 都是时间t的连续信号. 于是定义:在系统中只要有一处的信号是 时间t的离散信号, 即为时间t的断续函数时, 此系统就叫采样离 散系统, 简称离散系统. 由于离散系统比连续系统多了采样开关, 在系统中出现了离 散信号等特点, 给对系统的研究带来一些新问题. 下面先从研究
离散系统中的采样开关和离散信号的特点入手,逐一介绍离散 系统的一些基本概念,所采用的数学工具及分析和设计离散系统 的思路与方法 72信号的采样与保持 721采样过程和离散信号的数学表达式 假设采样开关在闭合的瞬间立刻打开,即闭合的时间等于零 且闭合时的接通电阻为零,打开时的断开电阻无穷大,则称其为 理想采样开关.如果采样周期为T的理想采样开关S的输入为单 位阶跃信号,则其输出为一单位脉冲序列δ(),见下图: 0 上图中 2T 6()=0(1)+6(t-m)+(t-27)+…+(t-nm)+…=∑o6(t-n)
离散系统中的采样开关和离散信号的特点入手, 逐一介绍离散 系统的一些基本概念, 所采用的数学工具及分析和设计离散系统 的思路与方法. 7.2 信号的采样与保持 7.2.1采样过程和离散信号的数学表达式 假设采样开关在闭合的瞬间立刻打开, 即闭合的时间等于零 且闭合时的接通电阻为零, 打开时的断开电阻无穷大, 则称其为 理想采样开关. 如果采样周期为T的理想采样开关S的输入为单 位阶跃信号, 则其输出为一单位脉冲序列 (t) T , 见下图: 1 0 t e(t) (t) T t 0 1 T 2 T nT T S 上图中 0 ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) n T t t t T t T t nT t nT
如理想采样开关的输入为任一连续信号e(t),且当←<0时,e(t)=0, 则理想采样开关的输出如下图所示: e( e(O)4 S 0 2T T 上图中 e(t)=e()6()=e(0)6(1)+e()6(t-T)+e(27)6(t-27)+…e(n1)6(t-nT)+ ∑e(n)o(t-n7) e(t)叫调幅脉冲序列,其拉氏变换式为: E()=le(o)=L(0)()+()(t-7)+…+tn)(-m)+ e(0)+e()e+…+e(n1)e"+…=∑e(nD)em(2)
如理想采样开关的输入为任一连续信号e(t), 且当t<0时, e(t)=0, 则理想采样开关的输出如下图所示: T S 0 t e(t) ( ) * e t t 0 e(0) T 2 T nT e(T) e(2T) e(nT) 上图中 ( ) ( ) (1) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) (2 ) ( 2 ) ( ) ( ) 0 * n T e nT t nT e t e t t e t e T t T e T t T e nT t nT ( ) * e t 叫调幅脉冲序列, 其拉氏变换式为: 0 * * (0) ( ) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n Ts nTs nTs e e T e e nT e e nT e E s Le t Le t e T t T e nT t nT
对离散信号也可进行频谱分析,由付立叶级数的定义,周期性的 单位脉冲序列可展开成下面级数: 6(1)=∑(t-nT)=∑C,e Most Most (3) n=-00 n三-00 式(3)中:O=2m=2/7叫采样角频率,=1T叫采样频率.将式 (3代入式(1)得: e(t)=∑e(mn7)(t-nT)=∑e()6(t-n7)=n∑e()em(4) n=-00 n=-00 对式(4)进行拉氏变换: L[e()=E(s)∴E'(s)=∑E(s-mo,) n=-00 令式(5)中的=0得e(t)的频谱表达式 E(10)=∑E(a-no, 式(2)和式(5是e(t)的两种不同形式的拉氏变换表达式
对离散信号也可进行频谱分析, 由付立叶级数的定义, 周期性的 单位脉冲序列可展开成下面级数: (3) 1 ( ) ( ) n jn t n jn t n n T s s e T t t nT C e 式(3)中: s 2 f s 2 T 叫采样角频率, f s 1T 叫采样频率. 将式 (3)代入式(1)得: ( ) (4) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 * n jn t n n s e t e T e t e nT t nT e t t nT 对式(4)进行拉氏变换: n s E s jn T L e t E s E s ( ) (5) 1 ( ) ( ) ( ) * 令式(5)中的 s j得 n s E j n T E j ( ) (6) 1 ( ) * ( ) * e t 的频谱表达式: 式(2)和式(5)是 ( ) * e t 的两种不同形式的拉氏变换表达式
式(2)中的E(s)与e(中的e(mT)建立了联系,而式5变成式(6 后式(6中的E'(j0)是e'(1)的频谱,并可证明E'(jo)是O,的 周期函数前已交代过采样前的连续信号e(t)的拉氏变换式为E(s) 其频谱表达式为E(1D),因此式6)中的E'(j)与采样前的连续信 号的频谱建立了联系.由于E'(jo)是o的周期函数,所以离散信 号频谱中每隔O重复出现采样前的连续信号的频谱,即连续信号 经过采样后的离散信号多出了许多高频分量,且离散信号频谱的 幅值是采样前的连续信号频谱幅值的1/.因此式(2)和式(6)各有 各的使用场合.式(2)和式(5)虽都是无穷级数,但通常可将式(2) 写成闭合形式,而却不能将式5)写成闭合形式,下面举例说明 例:设e()=1(1),求e'(t)的拉氏变换式 解:先用式(2)求 ∵n≥0e(nT)≡1 E'(s)=∑e(mT)em=1+e+e21+…=1
式(2)中的 E * (s)与 ( ) * e t 中的e(nT )建立了联系, 而式(5)变成式(6) 后,式(6)中的 ( ) * E j 是 ( ) * e t 的频谱, 并可证明 ( ) * E j 是 s 的 周期函数. 前已交代过,采样前的连续信号e (t )的拉氏变换式为 E(s) 其频谱表达式为 E( j),因此式(6)中的 ( ) * E j 与采样前的连续信 号的频谱建立了联系. 由于 ( ) * E j 是 s的周期函数, 所以离散信 号频谱中每隔 s重复出现采样前的连续信号的频谱,即连续信号 经过采样后的离散信号多出了许多高频分量, 且离散信号频谱的 幅值是采样前的连续信号频谱幅值的1/T. 因此式(2)和式(6)各有 各的使用场合. 式(2)和式(5)虽都是无穷级数, 但通常可将式(2) 写成闭合形式, 而却不能将式(5)写成闭合形式, 下面举例说明 例: 设 e(t) 1(t), 求 ( ) * e t 的拉氏变换式. 解: 先用式(2)求. Ts Ts Ts n nTs e E s e nT e e e n e nT 1 1 ( ) ( ) 1 0 ( ) 1 2 0 *