第五章线性系统的频域分析法 5-2频率特性 以如下R-C线性电路为例,说明线性系统或环节的 频率特性定义和频率特性表达式的求法 R 设输入电压1= A sin ot,由电工基础 C+中分析正弦电路的结论可知,稳态时 输出un仍为同频率的正弦电压,只是 幅值和初相位与4不同,l可表示为l=Asn(ot+g) 利用电工基础中分析正弦电路的矢量分析法可得: 1/jOC R+1 √m, C u 1+RCO I+iTa 上式表明,与之比是输入正弦电压的频率O的 函数,用G(o)表示,则:
第五章 线性系统的频域分析法 5-2 频率特性 以如下R-C线性电路为例, 说明线性系统或环节的 频率特性定义和频率特性表达式的求法. C R i u o u 设输入电压 u A t i = i sin , 由电工基础 中分析正弦电路的结论可知, 稳态时 输出 o u 仍为同频率的正弦电压, 只是 幅值和初相位与 ui 不同, o u 可表示为 sin( ) u0 = A o t + 利用电工基础中分析正弦电路的矢量分析法可得: u jRC jT u u R j C j C u i o o i + = + = + = 1 1 1 1 , 1/ 1/ 上式表明, o u 与 i u 之比是输入正弦电压 i u 的频率 的 函数, 用 G( j) 表示, 则:
G(o) 4, 1+10 由此可得频率特性定义如下:频率特性是指线性系统或 环节在正弦信号作用下,稳态输出与输入之比对频率的 关系特性 G(jO)是关于jc的复变函数,可用指数形式也称极坐标 形式表示,即G(O)=4(O)e(),式中 A()=(G(jo),对于上例的RC电路,A(O)=1/1+(To) 是关于O的实函数,称A(O)为RC电路的幅频特性,表示 稳态输出的正弦信号的幅值与输入正弦信号的幅值之比随 O而变化的特性9()∠((m),对于上例的RC电路, q(O)=-g7o是关于的实函数称()为RC电路的 相频特性,表示稳态输出的正弦信号的初相位与输入正弦 信号的初相位之差随频率而变化的特性
环节在正弦信号作用下, 稳态输出与输入之比对频率的 关系特性. 由此可得频率特性定义如下: 频率特性是指线性系统或 u jT u G j i o + = = 1 1 ( ) G( j) 是关于 j 的复变函数, 可用指数形式也称极坐标 形式表示, 即 ( ) ( ) ( ) j G j = A e , 式中 A() = G( j) , 对于上例的R—C电路, 2 A() =1/ 1+ (T) 是关于 的实函数, 称 A() 为R—C电路的幅频特性, 表示 稳态输出的正弦信号的幅值与输入正弦信号的幅值之比随 而变化的特性. () = G( j) , 对于上例的R—C电路, tg T 1 ( ) − = − 是关于 的实函数, 称 () 为R—C电路的 相频特性, 表示稳态输出的正弦信号的初相位与输入正弦 信号的初相位之差随频率而变化的特性
而G(o)这一表达式,既包含了稳态输出的正弦信号的幅 值与输入正弦信号的幅值比,也包含了稳态输出的正弦信 号与输入正弦信号的相位差,故称其为幅相频率特性表达 式.下面的问题是如何求取一般线性系统或环节的频率特 性表达式?先考察上例的R_C电路. R 用算子阻抗法可得此RC电路的传递 .函数为G(s) U,(s) 1+RCs 1+Ts 将上式与RC电路的频率特性表达式G(0)=1+m 相比较,即可知,对于RC电路G()=G(s) 上述结论具有一般性,可证明如下
而 G( j) 这一表达式, 既包含了稳态输出的正弦信号的幅 值与输入正弦信号的幅值比, 也包含了稳态输出的正弦信 号与输入正弦信号的相位差, 故称其为幅相频率特性表达 式. 下面的问题是如何求取一般线性系统或环节的频率特 性表达式? 先考察上例的R—C电路. C R i u o u 用算子阻抗法可得此R—C电路的传递 U s RCs T s U s G s i + = + = = 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 函数为 0 : 将上式与R—C电路的频率特性表达式 u jT u G j i o + = = 1 1 ( ) 相比较, 即可知, 对于R—C电路 s j G j G s = ( ) = ( ) 上述结论具有一般性, 可证明如下
设某一线性系统或环节的如下图所示: R(s)-[()C(s R 设r(t)= Rsin ot,R(s) s-+ C(s)=G(S)O(s) O(S) R(s) P(s)(S+P(s+p,).(S+P) 并设系统稳定,为讨论问题方便起见,设系统的所有极点 均为实数极点且各不相同,即一P1<0,=1,2,…,n,则有 C(s) O(s) R (S+n1)(S+P2)…(S+pn)s2+ b StO S-a c(t)=ae on +aero+bel c(t)=ae on +aelor
设某一线性系统或环节的如下图所示: 设 R(s) G(s) C(s) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin , ( ) 1 2 2 2 pn s p s p s Q s P s Q s G s R s C s s R r t R t R s + + + = = = + = = 并设系统稳定, 为讨论问题方便起见, 设系统的所有极点 均为实数极点且各不相同, 即− pi 0,i =1,2, ,n , 则有 j t j t s s n i p t i j t j t n i i i n c t a e a e be c t a e a e s p b s j a s j a s R s p s p s p Q s C s i = + + = + + + − + + = + + + + = − = − − = ( ) , ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2
上式中:a=G(s) Ro RGGjo) RG(o) S+10 S+O Ro G( (s-jO REGo) s+a S=0 2 所以c(t) RGGo-jiot RG(o)iot e+ e 2 由于G()与G(j)为共轭复数,所以它们的模4(O) 相等而相角()相差一个负号,即 G(o=A(@)e9(), G(o)=A( ojo(o) 从而cn() R4(O) jo(o) R4() e p(o) iot+o(o) o-jot+p(o)] e RA(a RA(@)sin[ot+P(o)] sin lat +o(o
上式中: 所以 j R G j s j s R a G s j R G j j R G j s j s R a G s s j s j 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 − = + = = − − + = − + = = =− j t j t s s e j RG j e j RG j c t 2 ( ) 2 ( ) ( ) = − + − 由于 G( j) 与 G( j) 为共轭复数, 所以它们的模 A() 相等而相角 () 相差一个负号, 即 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) j j G j A e G j A e − = = 从而 sin ( ) ( )sin ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + − = = − + − + − − C t R A t j e e R A e e j R A e e j R A c t j t j t j j t j j t s s