科学出版社：《自动控制理论》课程教材（第四版）教学资源（PPT讲课件稿）第三章 线性系统的时域分析法

第三章线性系统的时域分析法 35线性系统的稳定性分析 线性系统稳定的定义及充分必要条件 定义:若线性控制系统在初始扰动δ()的作用下,其输出 k(t)随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零,则该系 统为渐近稳定,简称稳定;反之,称该系统不稳定 上述定义可用数学语言表示为:imnk"(t)=0(n=01,2,…) t→)0 M(S) 吗0DO币h6+(+250+ M(S) I(+:)(+5+10-2)s+5a-1o√1-52)

第三章 线性系统的时域分析法 3-5 线性系统的稳定性分析 一﹑ 线性系统稳定的定义及充分必要条件 定义: 若线性控制系统在初始扰动  (t) 的作用下, 其输出 k(t) 随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零, 则该系 统为渐近稳定, 简称稳定; 反之, 称该系统不稳定. 上述定义可用数学语言表示为: lim ( ) 0 ( 0,1,2, ) ( ) = =  → k t n n t     = = = = + + + − + − − = + + +  = = q j r i j i i i i i i i i q j r i j i i i s s s j s j M s s s s s M s D s M s s 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( 1 )( 1 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )        

上式中,S为特征方程D)=0的实数根,-5m±0y1-5 为特征方程D(s)=0的共轭复数根,q+2r=nm为特征多项 式D(s)中S的最高次方,即系统的阶数将系统的传递函数 dp(s)进行部分分式,得: d(s)=∑—+∑ S+s, i=Is+50 +1-5-+2+50-104 上式中 M(S) (S+s,) ′D(s) M(S ai D(s) (S+5o+jovI M(S) (s+5a1-jo√1 D(S) s=-501+j;√1-5

上式中,− sj 为特征方程 D(s) = 0 的实数根, 2 1 i i i i −  j − 为特征方程 D(s) = 0 的共轭复数根, q + 2r = n, n 为特征多项 式 D(s) 中S的最高次方, 即系统的阶数. 将系统的传递函数 (s) 进行部分分式, 得:    = = = + − − + + + − + +  = r i r i i i i i i i i i i i q j j j s s s j s j A s 1 1 2 2 1 1 1 ( )         上式中 2 2 1 2 1 2 ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i j s j i i i i i s j i i i i i s s j j s j D s M s s j D s M s s s D s M s A                 =− + − =− − − =− = + − − = + + − = +

因为S为复数所以C1与1也是复数又因为S为共轭复数 所以a1与O,也是共轭复数,把上式中后两项合并,得: 0()=4+(+)+(a+a)kp=-=am j=1 StS, i +250,s+O 令B=a+a,C1=(x1+a)50-1(01-a,)O√1-2均为实数,则 Bs+c Φ(s)=∑ +∑ ∑ B(s+50)+C-B50 =s+s, s+25@ S+Of =s+s (S+50)+O (1-5) =1S+S B(s+5o) C1-B5 1(s+c0,)+ 2(+50)2+0(1-52)

因为 s 为复数,所以  i 与 i 也是复数,又因为 s 为共轭复数, 所以  i 与 i 也是共轭复数, 把上式中后两项合并, 得:   = = + + + + + − − − + +  = r i i i i i i i i i i i i i i q j j j s s s j s s A s 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 ( )            令 2 , ( ) ( ) 1 i i i i i i i i i i i i B = + C =  +  − j  −  − 均为实数,则       = = = = = =         + + − − − − + + + − + + + = + + − + + − + + = + + + + +  = r i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i q j j j r i i i i i i i i i i i i q j j j r i i i i i i q j j j s C B s B s s s A s B s C B s s A s s B s C s s A s 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 ( ) (1 ) 1 ( ) (1 ) 1 ( ) ( ) (1 ) ( ) 2 ( )                   

因为系统的单位脉冲响应函数k()=C[(s),故对上式进 行拉氏反变换得: k()=∑Ae +∑e( Bcoso√1-221+ C-Bsa 2 系统稳定的充分必要条件是:系统特征方程的所有根都 具有负实部,或者说,系统传递函数的极点均在根平面的左 半S复数开平面上(不包括虚轴 需指出的是,系统的稳定与否,仅与系统本身的结构和 参数有关,而与输入信号的形式和大小无关 线性系统稳定性的初步签定

因为系统的单位脉冲响应函数 ( )  ( ) ,故对上式进 1 k t = L  s − 行拉氏反变换得:   = − = − − − − + − + = r i i i i i i i i i i i i t q j s t i t C B e B t k t Ae i i j 1 2 2 2 1 sin 1 ) 1 ( cos 1 ( )          系统稳定的充分必要条件是: 系统特征方程的所有根都 具有负实部, 或者说, 系统传递函数的极点均在根平面的左 半 S 复数开平面上(不包括虚轴). 需指出的是, 系统的稳定与否, 仅与系统本身的结构和 参数有关, 而与输入信号的形式和大小无关. 二﹑ 线性系统稳定性的初步签定

线性系统特征方程的一般形式可表为: D(s)=a0"+a1"+…+an1S+a 0(s+s1)(s+S2)…(S+S)…(S+sn1)(S+Sn)=0 由上两式可见,只有当 0.Vi.i=1.2. 即所有极点P==S均在极点平面的左半平面上,将上面 第二个等式展开后,第一个等式S各次方前的系数必都为 大于零的正数.由此可得系统稳定的必要条件为:系统特 征多项式D()所有系数ao2…,a2…an均大于零. 必要条件只起否定作用,也即只要不满足必要条件,系 统必不稳定,必要条件不起保证作用,也即满足必要条件, 系统不一定稳定. 赫尔维茨稳定判据 m阶系统的特征方程为 D(s=dos"+a,"+.+a,s+a,=0

线性系统特征方程的一般形式可表为: 由上两式可见, 只有当 ( )( ) ( ) ( )( ) 0 ( ) 0 1 2 1 1 1 0 1 = + + + + + = = + + + + − − − i n n n n n n a s s s s s s s s s s D s a s a s a s a    si  0, i, i =1,2,  ,n 即所有极点 pi = −si 均在极点平面的左半平面上, 将上面 第二个等式展开后, 第一个等式S各次方前的系数必都为 大于零的正数. 由此可得系统稳定的必要条件为: 系统特 征多项式 D(s) 的所有系数 a  ai a n , , , 0 均大于零. 必要条件只起否定作用, 也即只要不满足必要条件, 系 统必不稳定, 必要条件不起保证作用, 也即满足必要条件, 系统不一定稳定. 三﹑ 赫尔维茨稳定判据 n阶系统的特征方程为: ( ) 1 0 1 = 0 + 1 + + − + = − n n n n D s a s a s  a s a