第四章线性系统的根轨迹法 4-1根轨迹法的基本概念 先通过一个简单的例子,了解一下根轨迹的本质是什么 设有二阶代数方程+3+2+K=0,由韦达定理,可求出其二个根 为:S2=-1.5±√025-K,由于代数方程是二阶的,求其根很方便 即便如此,当可变参数K从0连续变化到正无穷大时,计算这两个 根的所有值是相当麻烦的.那么能否在根平面即S平面上画出这 两个根随K从0连续变化到正无穷大时的变化轨迹呢?下面从两 个根的表达式着手来画. (1)K=0,则S1=-1,2=-2,在S平面上的位置如下图所示:
第四章 线性系统的根轨迹法 4-1 根轨迹法的基本概念 先通过一个简单的例子, 了解一下根轨迹的本质是什么. 设有二阶代数方程 3 2 0 2 s + s + + K = , 由韦达定理, 可求出其二个根 为: s1,2 = −1.5 0.25 − K , 由于代数方程是二阶的, 求其根很方便 即便如此, 当可变参数K从0连续变化到正无穷大时, 计算这两个 根的所有值是相当麻烦的. 那么能否在根平面即S平面上画出这 两个根随K从0连续变化到正无穷大时的变化轨迹呢? 下面从两 个根的表达式着手来画. (1)K=0, 则 1, 2 s1 = − s2 = − , 在S平面上的位置如下图所示: -2 -1 0 jω σ
(2)当0<K<=0.25时,一个根的绝对值随K的增大而增大,另 个根的绝对值随K的增大而减小,两根的变化轨迹如下图所示: 1.5 当K=025时,两根相等,均为-15 (3)025<K<+∞时,两根为共軛复根,且其实部均为15,而 虚部的绝对值随K的增大而增大,两根的变化轨迹如下图所示 1.5
(2) 当0<K<=0.25时, 一个根的绝对值随K的增大而增大, 另 一个根的绝对值随K的增大而减小, 两根的变化轨迹如下图所示: -2 -1 0 jω σ -1.5 当K=0.25时, 两根相等, 均为-1.5 (3) 0.25<K<+∞ 时, 两根为共軛复根, 且其实部均为-1.5 , 而 虚部的绝对值随K的增大而增大, 两根的变化轨迹如下图所示: 0 -2 -1 jω σ -1.5
由例可见,代数方程的根随方程中某一个参数的变化而在根 平面上的轨迹可用图形表示出来.由于上例中代数方程简单,是 阶的,其两个根关于参变量K的表达式可求,且简单,故画 图也方便.当代数方程为高阶时,画图就没那么方便.但从上例 中至少可得到根轨迹图的以下几个特点: 1)因例中代数方程为二阶,所以根轨迹图中有两条根轨 迹分支; (2)若把代数方程3+3+2+K=0写成如下形式,即: K K 1+ 1+ 0 +3s+2 S+1)(s 并令:G(s)= k 则左式分母(+1s+2)=0 (S+1)(s+2) 的根为1和-2,恰为当K=0时,代数方程+3+2+K=0的两个根, 也即两条根轨迹分支的起点 (3)两条根轨迹分支离开实轴,进入复平面后,在复平面上 的根轨迹关于实轴成镜向对称
由例可见, 代数方程的根随方程中某一个参数的变化而在根 平面上的轨迹可用图形表示出来. 由于上例中代数方程简单, 是 二阶的, 其两个根关于参变量K的表达式可求, 且简单, 故画 图也方便. 当代数方程为高阶时, 画图就没那么方便. 但从上例 中至少可得到根轨迹图的以下几个特点: (1) 因例中代数方程为二阶, 所以根轨迹图中有两条根轨 迹分支; (2) 若把代数方程 3 2 0 2 s + s + + K = 写成如下形式, 即: 0 ( 1)( 2) 1 3 2 1 2 = + + = + + + + s s K s s K 并令: ( 1)( 2) ( ) + + = s s K G s 则左式分母 (s +1)(s + 2) = 0 的根为-1和-2, 恰为当K=0时, 代数方程 3 2 0 2 s + s + + K = 的两个根, 也即两条根轨迹分支的起点. (3) 两条根轨迹分支离开实轴, 进入复平面后, 在复平面上 的根轨迹关于实轴成镜向对称
实际控制系统往往是高阶的,即其闭环特征方程是S的高阶 代数方程.当系统中某环节的某个参数发生变化,或为改善系统 的控制性能而改变系统中某环节的某个参数时,系统的闭环极点 也即闭环特征方程的根也发生相应的变化.而闭环系统的控制性 能与闭环极点在极点平面上的位置有密切的联系.这就需要事先 从理论上分析闭环极点随某个参数变化时在极点平面上的变化趋 势从而得出某个参数的变化对系统性能的影响程度,作出理论上 的指导.而上例的方法正好可引入到对控制系统的分析和设计上 来 1.根轨迹定义 定义:当系统中某个(或几个)参数从0到+∞连续变化时,系 统闭环特征方程的根(即闭环极点)在根平面(S平面)上连续移动而 形成的轨迹.称为系统的根轨迹
实际控制系统往往是高阶的, 即其闭环特征方程是S的高阶 代数方程. 当系统中某环节的某个参数发生变化, 或为改善系统 的控制性能而改变系统中某环节的某个参数时, 系统的闭环极点 也即闭环特征方程的根也发生相应的变化. 而闭环系统的控制性 能与闭环极点在极点平面上的位置有密切的联系. 这就需要事先 从理论上分析闭环极点随某个参数变化时在极点平面上的变化趋 势从而得出某个参数的变化对系统性能的影响程度, 作出理论上 的指导. 而上例的方法正好可引入到对控制系统的分析和设计上 来. 1. 根轨迹定义 定义: 当系统中某个(或几个)参数从0到+∞连续变化时, 系 统闭环特征方程的根(即闭环极点)在根平面(S平面)上连续移动而 形成的轨迹. 称为系统的根轨迹
2.根轨迹方程 闭环控制系统的一般结构图如下所示: R(SI GI(s) G2S Y(S) H(S) 其开环传递函数G(s)=G(s)G2(S)H(s),开环传递函数是各 个环节传递函数的乘积形式由于系统中各个环节一般为典型环 节,而典型环节的传递函数一般不超过二阶,其分子和分母的S 多项式极易因式分解,从而开环传递函数的零极点也容易获得 因此,闭环系统的开环传递函数可表为 K∏I(s+1)KI(-=,) sI(zS+1)s∏I(s-p,)
2. 根轨迹方程 闭环控制系统的一般结构图如下所示: H(S) R(S) G1(S) G2(S) Y(S) 其开环传递函数 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 G s = G s G s H s , 开环传递函数是各 个环节传递函数的乘积形式. 由于系统中各个环节一般为典型环 节, 而典型环节的传递函数一般不超过二阶, 其分子和分母的S 多项式极易因式分解, 从而开环传递函数的零极点也容易获得. 因此, 闭环系统的开环传递函数可表为: (1) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) 1 1 ' 1 1 0 = = = = − − = + + = r j j N m i i r j j N m i i s s p K s z s s K Ts G s