【例】 已知fd)=t(-1)求F(s) 解卷F(G)=L(-1】=L-1)(-1)+d-1】 位+ 【例4】 已知/0-2cosi+牙a),求F(s 解拳 f0-v5cos1cs子V2sn1sn子cos1-sin1 4 F)中31+ -1 1 1+s2 16
16 ( ) 22 2 1 1 11 1 s s F s s s s− =−= + + + ( ) π ( ) 2 cos , ( ) 4 f t t ut Fs ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ 已知 ＝ 求 。 【例】 已知 【例4】 ( ) π π 2 cos cos 2 sin sin cos sin 4 4 f t t t tt = − =− 2 1 1 e s s s ⎛ ⎞ − = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ F() ( ) s = L[ ] tu t − 1 = L[ ] ( )( ) ( ) t − 1 u t − 1 + u t − 1 f () ( ) () t = tu t − 1 ,求F s
(五)S域平移特性 若L[f()]=F(S) 则L[f(t)e“]=F(s+a) 证明：L[f(t)e]=f)e"e"dh =f(t)e(adi=F(s+)） 例：求eat sin(ot)和ea cos(or) 的拉氏变换. 解： Msim(or】=g+o2' Lcos(or】=g+0 S Hesin)(s 0 Le "cos)(s+ s+a
(五) S域平移特性 若 L[f (t)]= F (s) L[ ( )e ] ( ) - t α α 则 f t = F s + 证明: L[ ( )e ] -αt f t 例:求 e sin( )和e cos( ) -at -at ωt ωt 的拉氏变换. 解: 2 2 2 2 [sin( )] , [cos( )] ω ω ω ω ω + = + = s s L t s L t 2 2 2 2 ( ) , [ cos( )] ( ) [ sin( )] ω ω ω ω ω + + + = + + = − − s as a Le t s a Le t at at f t e e dt t −st ∞ − ∫ = 0 ( ) α f t e dt s t ∫∞ − + = 0 ( ) ( ) α = F(s +α)
(六)尺度变换特性 若Lf()]=F(S), 则L[f(at)】=F(之)，a>0 证明：Lf(am=f(at)y"dt令r=afee'rdr r.a>0 例：求LIf(at-b)u(at-b)] 解： LIf(at-bpu(at-b=Lif(a(-)u(a(-
(六) 尺度变换特性 若L[f (t)]= F (s), 证明: f t f at e dt −st ∞∫ = 0 L[ (a )] ( ) 例:求L[f(at-b)u(at-b)] 解: L[f (at −b)u(at−b)] 令τ = at τ τ τ f e d a a s ( ) 0 ( ) 1 ∞ − ∫ ), a 0 a s( 1 = F > a ( ), 0 1 L[ ( )] = a > a s F a 则 f at L[ (a( )) ( ( ))] a b u a t a b = f t − − a b s e a s F a − = ( ) 1
(七) 初值定理 f(0)=lim f(t)=limsF(s) t0+ 5→0 证明：1架-- -0H2e0 u1-s-0, =e"f)胜（-s)fe"di -0,-的2 =9a小-0w-0 f(0)=limsF(s)
( 七) 初值定理 ( 0 ) lim ( ) lim ( ) 0 f f t sF s t→ + s → ∞ + = = 证明: e dt dt df t dt df t −st ∞ ∫ − = 0 ( ) ] ( ) L[ e dt dt df t e dt dt df t st −st ∞ − ∫ ∫ + + − = + 0 0 0 ( ) ( ) e d t dt df t f f −st ∞ + − ∫ + = − + 0 ( ) (0 ) (0 ) e dt dt df t sF s f −st ∞ + ∫ + = + 0 ( ) ( ) ( 0 ) [lim ] 0 ( ) ( ) lim 0 0 = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ∞ → ∞ − ∞ → ∞ ∫ ∫ + + e dt dt df t e dt dt df t st s st s f ( 0 ) limsF( s ) s →∞ + = ] ( ) ( 0 ) ( ) L[ = − − sF s f dt df t e f t s f t e dt e df t st st st − + + − − − ∫ ∫ − + − = − − = 0 0 0 0 0 0 ( )| ( ) ( ) ( )
注：初值定理应用的条件是F(s)是真分式，若不是，则在仁0处有 冲激及其导数产生。Fs)可写成多项式和真分式之和。 F(s)=P(s)+F(s) f(0.)=limsF(s) S→00 例 已知：F(s)=-,求f(0)=? 解：f(0,)=limf(t)=limsF(s)=1即单位阶跃信号的初始值为1。 t→0 例F(s)=2s,求0，)=？ s+1 解：因为F= =- 2s 22 S+1 s+1 -2 =lim -2 S→0 所以f(0,)=-2 S
注：初值定理应用的条件是 F( s )是真分式，若不是，则在 t=0处有 冲激及其导数产生 。 F( s )可写成多项式和真分式之和。 ( ) ( ) ( ) 0 F s = P s + F s ( 0 ) lim ( ) 0 f sF s s → ∞ + = , ( 0 ) ? 1 : ( ) = f + = s 例 已知 F s 求 ( 0 ) lim ( ) lim ( ) 1 0 = = = → → ∞ + + f f t sF s t s 解： 即单位阶跃信号的初始值为 1 。 , ( 0 ) ? 1 2 ( ) = + = + f s s 例 F s 求 ( ) 2 1 2 1 2 + + = − + = s s s 解：因为 F s ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + == − → ∞ + 1 2 ( 0 ) lim s f s s 2 1 1 2 lim = − + − = → ∞ s s 所以 f ( 0 + ) = − 2