4.3 拉氏变换的基本性质 (一)线性特性： LI()]=F(s),L (]=E(s) L[af (t)+bf (t)]=aF(s)+bF(s) a,b为常数. 例求f(t)=sin(@o)的拉氏变换F(s). 解 f0)=sin(o,1)=,(e-e) L[e0v]= -j@o Lle]=1 s+j@o 00 s2+00 风比得，小a以=同送可得：小o-
4.3 拉氏变换的基本性质 ( 一) 线性特性： L[ ( )] ( ) ,L[ ( )] ( ) 1 1 2 2 若 f t = F s f t = F s L[ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 2 1 2 则 af t +bf t = aF s +bF s a,b为常数. 例 求f(t)=sin( ω 0t)的拉氏变换F(s). ( ) 2 1 ( ) sin( ) 0 0 0 j t j t e e j f t t ω ω ω − = = − 0 1 [ ] 0 ω ω s j L e j t + = − 0 1 [ ] 0 ω ω s j L e j t − = 解 2 0 2 0 0 0 0 ) 1 1 ( 2 1 [sin( )] ω ω ω ω ω + = + − − = j s j s j s L t 2 0 2 0 0 [sin( )] ω ω ω + = s 因此得： L t 2 0 0 2 [cos( )] ω ω + = s s 同法可得： L t
(二)时域的微分性 若1U0=则11=-0) 证明：斯巴1-斯A2。h-e水 =[ef()]6-(-s)ef(t)d =-f(0_)+s f(t)e-"dt =sF(s)-f(0_) 推论 f01=sFs)-sf0.）-sf0)--0) 时域微分性可将f)微分方程化为复频域Fs)的代数方程，而且 自动引入初始状态，因而通过复频域分析法可求得系统的全响应。 例如：已知电感的电流为i(t),且拉氏变换为I(s),那么电感的 电压v(t)的拉氏变换为： V(S)=Ls(s)-i(0-)=Lsl(S)-Li(0-)
推论 (二) 时域的微分性 ] ( ) (0 ) ( ) L[ ( )] ( ), L[ = = − − sF s f dt df t 若 f t F s 则 ∫ ∫ ∞ − − ∞ − − = = 0 0 ( ) ( ) ] ( ) [ e dt e df t dt df t dt df t L st st ] ( ) (0 ) (0 ) (0 ) ( ) [ 1 2 ( 1) − − − − − − = − − ′ − − n n n n n n s F s s f s f f dt d f t L L 证明: ∫∞ − ∞ − − − = − − 0 0 [e f (t)] ( s)e f (t)dt st st (0 ) ( ) ( ) (0 ) 0 − ∞ − = − − + = − ∫ − f s f t e dt sF s f st 例如:已知电感的电流为iL(t),且拉氏变换为IL(s),那么电感的 电压vL(t)的拉氏变换为： VL(s)=L[sIL(s)-iL(0-)]= LsIL(s)-LiL(0-) 时域微分性可将f(t)微分方程化为复频域F(s)的代数方程，而且 自动引入初始状态，因而通过复频域分析法可求得系统的全响应
米， 例题：系统微分方程r"(t)+3r'(t)+2r(t)=e(t) 若激励信号和起始状态为：e()=u(),r(0-)=1,r'(0-)=2, 试分别求它们的零输入，零状态响应及完全响应 解：对方程两端分别取拉氏变换得： sRs-0)-r0)+3LsRs)-0]+2Rs=1 整理得：(s2+3s+2)Rs)-s0)-r(0)-3(0)= 1/s+s0)+r(0)+30) 即：RS)=?+3s+2 s2+3s+2 02的 r(t)=0.5+3et-2.5e2 13
13 例题：系统微分方程 ， 若激励信号和起始状态为:e(t)=u(t),r(0-)=1,r′(0-)=2， 试分别求它们的零输入，零状态响应及完全响应. r ′′(t) + 3r′(t) + 2r(t) = e(t) s s R s sr r sR s r R s 1 ( ) (0 ) (0 ) 3[ ( ) (0 )] 2 ( ) 2 − − − ′ − + − − + = 解：对方程两端分别取拉氏变换得： 整理得： 3 2 (0 ) (0 ) 3 (0 ) 3 2 1/ ( ) 1 ( 3 2) ( ) (0 ) (0 ) 3 (0 ) 2 2 2 + + + ′ + + + + = + + − − ′ − = − − − − − − s s sr r r s s s R s s s s R s sr r r 即： ] 23 14 ] [ 2 0.5 1 0.5 1 [ 3 2 5 3 2 1/ ( ) 2 2 +− + + + + + +− = + + + + + + + = s s s s s s s s s ss R s t t r t e e 2 ( ) 0.5 3 2.5 − − = + −
(三)时域的积分性 若Lf)]=F(s)则 L(dF(s)+() 证明： 4可a-4otr+a上eNr+=rso 例如：已知电容的电流为ic(t),且拉氏变换为Ic(s),那么电容 的电压Vc(t)的拉氏变换为： =Ll之，o-@4@ sC
(三) 时域的积分性 若 L[f(t)]= F(s)则 s f F s s F s s f s L f L f f t t (0 ) ( ) 1 ( ) 1 ( )d 1 [ ( )d ] [ ( )d ( )d ] ( 1) 0 0- 0 − − − = + = + = + ∫−∞ ∫−∞ ∫ − ∫−∞ τ τ τ τ τ τ τ τ s f F s s L f t (0) ( ) 1 [ ( )d ] (−1) = + ∫−∞ τ τ 例如:已知电容的电流为iC(t),且拉氏变换为IC(s),那么电容 的电压vC(t)的拉氏变换为： s u sC I s s i s I s C i d C V s LT c t C c c ( ) (0 ) ] ( ) (0 ) [ 1 ( ) ] 1 ( ) [ ( 1) − − − −∞ = = + = + ∫ τ τ 证明：
(四)时移特性 若L[f(t)]=F(s)则L[f(t-to】=eF(s),>0 注意：因果信号f(t)u(t)延时t。后所得信号为 f(t-to)u(t-to)而非f(t-to)u(t) 证明： LIf (t-tou(-t]=f(t-t)u(t-to)e di =广ft-6edh =1-to f(te "e"dr=e m F(s),1o>0
( ) ( ) ( ), 0 L[ ( )u(t-t )] ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = − = − = > − = − − − − − ∞ − ∞ − ∞ ∫ ∫ ∫ f t t e dt t t f e e d e F s t f t t f t t u t t e dt st st s st t st τ τ τ 令 τ 注意： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 f t t u t t f t t u t f t u t t − − 而非 − 因果信号 延时 后所得信号为 若 L[f (t)]= F (s) (四) 时移特性 证明: L[ ( 0)] ( ), 0 0 0 − = > − f t t e F s t 则 st