(3)在G中，顶点和边都与某个给定区域关联的子图，称 为该面的边界。某面f的边界中含有的边数（割边计算2次） 称为该面f的次数，记为dg(f)。 平面图G 在上图中，红色边在G中的导出子图为面f的边界。 deg()=1 deg(,)=3 deg(3)=6 deg(f)=6 1、平面图的次数公式
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 11 (3) 在G中，顶点和边都与某个给定区域关联的子图，称 为该面的边界。某面f 的边界中含有的边数(割边计算2次) 称为该面 f 的次数, 记为deg ( f )。 平面图G f1 f3 f2 f4 在上图中，红色边在G中的导出子图为面 f3 的边界。 deg( ) 1 1 f = deg( ) 3 2 f = deg( ) 6 3 f = deg( ) 6 4 f = 1、平面图的次数公式
定理1设G=(n,m)是平面图，则： deg(f)=2m f∈d 证明：对G的任意一条边e,如果e是某面割边，那么由面 的次数定义，该边给G的总次数贡献2次；如果e不是割边， 那么，它必然是两个面的公共边，因此，由面的次数定义， 它也给总次数贡献2次。于是有： deg(f)=2m 2、平面图的欧拉公式 12
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 12 定理1 设G=(n, m)是平面图，则： deg( ) 2 f f m = 证明：对G的任意一条边e, 如果e是某面割边，那么由面 的次数定义，该边给G的总次数贡献2次；如果e不是割边， 那么，它必然是两个面的公共边，因此，由面的次数定义， 它也给总次数贡献2次。于是有： deg( ) 2 f f m = 2、平面图的欧拉公式