第6章离散信号与系统的频域分析DFS的输入是一个数列，而不是时间连续函数。数列通常是以周期T秒等间隔、周期地对连续信号采样而产生。如果在周期函数(t)的一个周期中采集N个样点，则有T=NT(T为采样间隔)。这样就得到一个数据序列(kT)，可以简记为(k)。数据的顺序k确定了采样时刻，而采样间隔T隐含在(k)中。为了计算数据序列(k)的傅里叶级数系数，我们对式(6.1－4)的符号作如下的演变：N-1°→T= NT,t→kT,dt→ T于是得到k=02元2元N-1N-11k-TN1-jnkNTNZf(k)eZf(k)eNFThNTnNk=0k=0(6.1-6)
第6章 离散信号与系统的频域分析 DFS的输入是一个数列，而不是时间连续函数。数列通常 是以周期TN秒等间隔、周期地对连续信号采样而产生。如果 在周期函数f(t)的一个周期中采集N个样点，则有T=NTN (TN为 采样间隔)。这样就得到一个数据序列f(kTN)，可以简记为f(k)。 数据的顺序k确定了采样时刻，而采样间隔TN隐含在f(k)中。为 了计算数据序列f(k)的傅里叶级数系数，我们对式(6.1 - 4)的符 号作如下的演变： − = = → → → 1 0 0 , , , , N k T N N dt TN T NT t k T 于是得到 − = − − = − = = 1 0 1 2 0 2 ( ) 1 ( ) 1 N k kn N j N k N k T NT j n N n f k e N f k e T NT F N N (6.1-6)
第6章离散信号与系统的频域分析由上式可知，周期序列(k)的傅里叶级数仍为一数据序列F,，其基频f隐含在序数n中。由式(6.1一3)可知Fn+rN=Fn，即F,也是一个周期序列，于是式(6.1一6)可写为2元1Zf(k)eF(6.1-7)nNk=<N>式中，k=《N》表示k只要从某一个整数开始，取足N个相继的整数值即可。例如，k可以由0取到N-1.也可以由2取到N+1，等等
第6章 离散信号与系统的频域分析 = − = k N kn N j n f k e N F 2 ( ) 1 (6.1-7) 由上式可知，周期序列f(k)的傅里叶级数仍为一数据序 列Fn，其基频f1隐含在序数n中。由式(6.1－3)可知Fn+rN =Fn， 即Fn也是一个周期序列，于是式(6.1－6)可写为 式中，k=〈N〉表示k只要从某一个整数开始，取足N个 相继的整数值即可。例如，k可以由0取到N-1,也可以由2取到 N+1，等等
第6章离散信号与系统的频域分析依据类似的分析思想，可由式(6.1一5)得到2元元knZNF.ef(k)=(6.1-8)nn=<N>式(6.1一7)与式(6.1一8)构成离散信号DFS变换对。式(6.1一7)称为DFS正变换，式(6.1一8)称为DFS反变换。与连续时间信号傅里叶级数的情况一样，F称为离散傅里叶级数的系数，也称为(k)的频谱系数。通常F,是一个关于n的复函数。采用与连续时间傅里叶级数中同样的方法，可以证明当(K)是实周期信号时，其离散傅里叶级数的系数满足F*= F(6.1-9)n-n
第6章 离散信号与系统的频域分析 式(6.1－7)与式(6.1－8)构成离散信号DFS变换对。式(6.1 －7)称为DFS正变换，式(6.1－8)称为DFS反变换。 与连续时间信号傅里叶级数的情况一样，Fn称为离散傅里 叶级数的系数，也称为f(k)的频谱系数。通常Fn是一个关于n的 复函数。采用与连续时间傅里叶级数中同样的方法，可以证明 当f(k)是实周期信号时，其离散傅里叶级数的系数满足 Fn = F−n * = = n N kn N j n f k F e 2 ( ) 依据类似的分析思想，可由式(6.1－5)得到 (6.1-8) (6.1-9)
第6章 离散信号与系统的频域分析6.1.2离散时间周期信号的频谱kN-N-N0N图6.1-1周期性矩形脉冲序列
第6章 离散信号与系统的频域分析 6.1.2 离散时间周期信号的频谱 图 6.1-1 周期性矩形脉冲序列
第6章离散信号与系统的频域分析K≤N,1(6.1-10)f(k) =N102应用式(6.1－7)可求其傅里叶级数。不过，直接利用式(6.17)从0到N-1来计算并不方便，因为这个序列是对k=0对称的，因此，宜选择一个对称区间，于是(K)的离散时间傅里叶级数系数为
第6章 离散信号与系统的频域分析 = 0 1 f (k) 2 1 1 N N k k N 应用式(6.1 - 7)可求其傅里叶级数。不过，直接利用式(6.1 - 7)从0到N-1来计算并不方便，因为这个序列是对k=0对称的， 因此，宜选择一个对称区间，于是f(k)的离散时间傅里叶级 数系数为 (6.1-10)