等价命题 公理系统∑：∑+P→P2, 且∑+P2→P 与第五公设等价的命题 (1)三角形内角和等于1800. (2)平面上一直线的斜线与垂线相交 (3)三角形三高共点， (4)三角形全等. (⑤)勾股定理 (6)存在相似三角形 ■口■口口日日口口可■ 16
公理系统∑：∑+ P1P2，且∑+ P2P1
Playfair((1748-1819)命题 过已知直线外一点有且只有一条直线平行 与已知直线平行 与第五公设等价，而且简洁直观，故称平行公理 (注意：存在性可以证明) 17
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勒丝德的遗憾 勒让德 A.Legendre 1752-1833 18
ELEMENTS 《几何学基础》 (1794) DE GEOMETRIE, 《几何原本》（法文， AVEC DES NOTES: 第12版，1813) PAR A.M LEGENDRE. k特无不B是上'开行iTTE下nLLe深w3器 附录：关于平行公设的证明 QUATOR么ME EDITION. 再版12次，每次都因 “证明”中的纰漏而不 A PARIS, 得不修改。 CHKZ FIRMIN DIDOT FRERES, 1NA1知Es,n行有1AO0E,y”S6.01 ,846 19
勒业德的重要结果 若有一个三角形的内角和是平角，则一切的 三角形的内角和都是平角；若有一个三角 形的内角和小于平角，则一切三角形的内 角和都小于平角 若假定相似三角形存在，则可以证明第五公 设。 20