China-ub.com 第2章基本统计概念的回顾17 下载 我们称变量“正面朝上个数”为一随机变量6 tochastic or random variable,用符号rv表示) 更一般地,把取值由试验结果决定的变量称为随机变量。在上例中,随机变量rv可取3个不同 的值—0,1,2。在例23中,随机变量获胜的次数),同样可取3个不同值—0,1,2。 习惯上,通常用大写字母X,Y,Z或,X,X等表示随机变量 随机变量可能是连续的,也可能是离散的。离散型随机变量( discrete random variable)只能 取到有限多个國是可列有限多个)数值。抛两枚硬币正面朝上的次数仅能取0,1,2,所以它是 个离散型随机变量。与此类似,获胜的次数也是一个离散型随机变量,因为它仅能取0,1 2三个值。另一方面,连续型随机变量( continuous random variable)可以取某一区间范围内的任 意值。例如,人的身高就是一个连续型随机变量,它可以取在60~72英寸范围内的任一值。类 以的,体重、降雨量、温度等都可看做是连续型随机变量 24概率 定义了试验、样本空间、样本点、事件和随机变量之后,现在我们来看另一重要概念一一 概率。首先我们定义事件的概率,然后扩展到随机变量的概率 241事件的概率:古典定义或先验定义 如果一随机试验的n个结果互斥且每个结果等可能发生,并且事件A含有m个基本结果,则 事件A的发生的概率( probability)即P(A)就是 有利于事件A的基本结果的个数 所有基本结果总数 这个定义有两个特征: (1)试验的结果必须互斥—即它们不能同时发生 (2)试验的每个结果等可能发生——例如,掷一颗骰子出现任何一个数字的机会均等 掷一颗骰子,有六种可能的结果:1,2,3,4,5,6。这些结果互斥,因为 不可能同时出现两个或更多个数字同时朝上的结果。而且,这六种结果等可能发 生。因而,根据古典概率的定义,任何一个数字朝上的概率为16—因为共有六 种可能结果,每种结果等可能发生,这里,m=1,n=6 类似地,抛一枚硬币,正面朝上的概率为1/2。因为共有两种可能的结果,H和T,而且每 种结果等可能发生。同样,在一副有52张的扑克中,抽取任意一张的概率为1/52。(为什 么?)抽取一张是黑桃的概率为13/52。为什么?) 上述例子说明为什么概率的古典定义又称为先验定义( priori definition)。因为这些概率来 自于纯粹的演绎推理。我们没有必要抛一枚硬币来证明正面朝上的概率为1/2,因为它们是合 乎逻辑的仅有的结果 但是古典定义有其缺陷。如果试验的结果不是有限的或不是等可能发生的,又会怎样呢?举个 例子,次年国民生产总值的概率为多少呢?或次年经济衰退的概率有多大?古典定义无法回答类似 这样的问题。一个更为广泛运用的定义——概率的频率定义,能够解决诸如此类的问题, 还有一种概率的定义,称为主观概率,它是贝叶斯统计的基础。在这种主观的或“信仰程度”概率定义 下,我们可问这样的问题:伊拉克将建立民主政府的概率有多大?美国在三年一次的划艇世界锦标赛上 获得冠军的概率有多大?股票市场在2000年崩溃的概率是多少?
第2章 基本统计概念的回顾介绍17 我们称变量“正面朝上个数”为一随机变量(stochastic or random variable，用符号r. v表示)。 更一般地，把取值由试验结果决定的变量称为随机变量。在上例中，随机变量 r. v可取3个不同 的值—0，1，2 。在例2 . 3中，随机变量(获胜的次数)，同样可取 3个不同值—0，1，2。 习惯上，通常用大写字母 X，Y，Z或X1，X2，X3等表示随机变量。 随机变量可能是连续的，也可能是离散的。离散型随机变量(discrete random variable)只能 取到有限多个(或是可列有限多个)数值。抛两枚硬币正面朝上的次数仅能取 0，1，2，所以它是 一个离散型随机变量。与此类似，获胜的次数也是一个离散型随机变量，因为它仅能取 0，1， 2三个值。另一方面，连续型随机变量(continuous random variable)可以取某一区间范围内的任 意值。例如，人的身高就是一个连续型随机变量，它可以取在 6 0～7 2英寸范围内的任一值。类 似的，体重、降雨量、温度等都可看做是连续型随机变量。 2.4 概率 定义了试验、样本空间、样本点、事件和随机变量之后，现在我们来看另一重要概念— 概率。首先我们定义事件的概率，然后扩展到随机变量的概率。 2.4.1 事件的概率：古典定义或先验定义 如果一随机试验的n个结果互斥且每个结果等可能发生，并且事件 A含有m个基本结果，则 事件A的发生的概率( p r o b a b i l i t y )即P(A)就是： ( 2 - 1 ) 这个定义有两个特征： (1) 试验的结果必须互斥—即它们不能同时发生。 (2) 试验的每个结果等可能发生—例如，掷一颗骰子出现任何一个数字的机会均等。 类似地，抛一枚硬币，正面朝上的概率为 1 / 2。因为共有两种可能的结果， H和T，而且每 一种结果等可能发生。同样，在一副有 5 2张的扑克中，抽取任意一张的概率为 1 / 5 2。(为什 么？)抽取一张是黑桃的概率为 1 3 / 5 2。(为什么？) 上述例子说明为什么概率的古典定义又称为先验定义(priori definition)。因为这些概率来 自于纯粹的演绎推理。我们没有必要抛一枚硬币来证明正面朝上的概率为 1 / 2，因为它们是合 乎逻辑的仅有的结果。 但是古典定义有其缺陷。如果试验的结果不是有限的或不是等可能发生的，又会怎样呢？举个 例子，次年国民生产总值的概率为多少呢？或次年经济衰退的概率有多大？古典定义无法回答类似 这样的问题。一个更为广泛运用的定义—概率的频率定义，1能够解决诸如此类的问题。 P(A)= m_ n = 有利于事件A的基本结果的个数 所有基本结果总数 下载 掷一颗骰子，有六种可能的结果： 1，2，3，4，5，6。这些结果互斥，因为 不可能同时出现两个或更多个数字同时朝上的结果。而且，这六种结果等可能发 生。因而，根据古典概率的定义，任何一个数字朝上的概率为 1 / 6—因为共有六 种可能结果，每种结果等可能发生，这里， m= 1，n= 6。 例2.6 1 还有一种概率的定义，称为主观概率，它是贝叶斯统计的基础。在这种主观的或“信仰程度”概率定义 下，我们可问这样的问题：伊拉克将建立民主政府的概率有多大？美国在三年一次的划艇世界锦标赛上 获得冠军的概率有多大？股票市场在 2 0 0 0年崩溃的概率是多少？
18第一部分概率与统计基础 China-sub con 2.42概率的频率定义或经验定义 为了介绍这个概念,我们先来看下面这个例子 例27 表2-1给出了200个学生微观经济学的考试成绩的分布,表2-1就是一个频率分 布( frequency distribution)的例子,在这个例子中,表示了考试分数的分布。表中 第3列的数字称为频数( absolute frequencies),第4列的数字称为频率( relative frequencies),即频数除以出现的总数(在本例中为200)。因此,分数位于70~79之 间的频数为45,但频率为0.225,即用45除以200得到 表2-1200个学生微观经济学考试分数的分布 区间均值点 频数 (2) (3) (4)=(3)/200 10~19 0 45 0.100 0.175 60~69 0.250 80~89 0.150 95 我们能把频率当作概率吗?直观地看,如果观察次数足够多,则把频率视为概率是合理的。 这正是概率的经验域频率)定义的本质所在。 更正规的,如果在n次试验域n个观察值冲中,m次有利于事件A,假定试验的次数n足够多 吱术上讲,是有限的),那么,事件A的概率P()就简单地等于m/n频率),需要注意的是 与概率的古典定义不同,我们无须要求试验的结果互斥,也不要求每种结果等可能发生 简言之,如果试验的次数足够多,频率就很好地测度了(事件发生的)真实概率。因此,在 表2-1中,我们把第4列中的频率看做概率。 概率的性质 事件的概率有如下一些重要性质 (1)事件的概率在0~1之间。因而,事件A的概率满足: 0≤P()≤1 若P(A)=0,即事件A不会发生:若P(A)=1,则事件A必定发生。一般概率值介于0~1之间, 如表2-1中的概率值。 (2)若事件A,B,C,…为互斥事件,则事件和的概率等于事件概率之和,用符号表示为 P+B+C+…)=P)+PB)+PC)+ 3.若事件A,B,C,…为互斥事件,且为一完备事件组,则事件和的概率为1。用符号 表示为 1究竟多少算是足够多,需要依据问题的具体情况而定。有时30次就认为相当多了。在总统竞选的民意调查中 对最终结果的预测需要800个样本(次)可认为是相当精确的了,虽然实际上投票的人数超过数百万
2.4.2 概率的频率定义或经验定义 为了介绍这个概念，我们先来看下面这个例子。 表2-1 200个学生微观经济学考试分数的分布 分 数 区间均值点 频数 频率 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) = ( 3 ) / 2 0 0 0～9 5 0 0 1 0～1 9 1 5 0 0 2 0～2 9 2 5 0 0 3 0～3 9 3 5 1 0 0 . 0 5 0 4 0～4 9 4 5 2 0 0 . 1 0 0 5 0～5 9 5 5 3 5 0 . 1 7 5 6 0～6 9 6 5 5 0 0 . 2 5 0 7 0～7 9 7 5 4 5 0 . 2 2 5 8 0～8 9 8 5 3 0 0 . 1 5 0 9 0～9 9 _ 95 _1 0 _0 . 0 5 0 _ _ _ 总计：2 0 0 1 . 0 我们能把频率当作概率吗？直观地看，如果观察次数足够多，则把频率视为概率是合理的。 这正是概率的经验(或频率)定义的本质所在。 更正规的，如果在 n次试验(或n个观察值)中， m次有利于事件 A，假定试验的次数 n足够多 (技术上讲，是有限的)，那么，事件 A的概率P(A)就简单地等于 m/n (即频率)，1需要注意的是， 与概率的古典定义不同，我们无须要求试验的结果互斥，也不要求每种结果等可能发生。 简言之，如果试验的次数足够多，频率就很好地测度了(事件发生的)真实概率。因此，在 表2 - 1中，我们把第4列中的频率看做概率。 概率的性质 事件的概率有如下一些重要性质： (1) 事件的概率在0～1之间。因而，事件A的概率满足： 0≤P(A)≤1 (2 - 2) 若P(A)= 0，即事件A不会发生；若P(A)= 1，则事件A必定发生。一般概率值介于 0～1之间， 如表2 - 1中的概率值。 (2) 若事件A，B，C，…为互斥事件，则事件和的概率等于事件概率之和，用符号表示为： P(A + B + C +…)= P(A)+ P(B)+ P(C)+… (2 - 3) 3. 若事件A，B，C，…为互斥事件，且为一完备事件组，则事件和的概率为 1。用符号 表示为： 18部分第一部分 概率与统计基础 下载 表2-1 给出了2 0 0个学生微观经济学的考试成绩的分布，表 2 - 1就是一个频率分 布(frequency distribution)的例子，在这个例子中，表示了考试分数的分布。表中 第3列的数字称为频数 (absolute frequencies) ，第 4列的数字称为频率 ( r e l a t i v e f r e q u e n c i e s )，即频数除以出现的总数 (在本例中为2 0 0 )。因此，分数位于7 0～7 9之 间的频数为4 5，但频率为0.225, 即用4 5除以2 0 0得到。 例2.7 1 究竟多少算是足够多，需要依据问题的具体情况而定。有时3 0次就认为相当多了。在总统竞选的民意调查中， 对最终结果的预测需要8 0 0个样本(人次)就可认为是相当精确的了，虽然实际上投票的人数超过数百万
China-ub.com 下载 第2章基本统计概念的回顾19 P(+B+C+…)=P(A)+P(B)+PC)+…=1 2-4) 例28 在例26中,我们知道任一数字朝上的概率均为1/6,因为共有六种等可能发生 结果。由于1,2,3,4,5,6组成一完备事件组,则P(1+2+3+4+5+6)=1。因为 P(1+2+3+4+5+6)=P(1)+P(2)+…+P(6=1/6+1/6+16+1/6+1/6+1/6=1。 还有一些常用的性质: (1)事件A,B,C,…称为相互独立的事件,如果事件积的概率等于事件概率的积,用符 号表示 PABC…)=PA)P的B)PC)… 其中,P(BC…)表示事件A,B,C,…同时发生或联合发生,因此,P(BC…)称为联合概率 Goint probability)b。与联合概率相对应,P(),P(B),PC,…称为非条件概率( unconditional) 或边缘概率( margina)或单独概率( individual)。在2-6节中将详细讨论。 例29 假设同时抛两枚硬币。那么两枚均正面朝上的概率是多少?令事件A表示第 枚正面朝上,事件B表示第二枚正面朝上,因此现在要求概率P(AB)。一般地认为 第一枚正面朝上的概率独立于第二枚正面朝上的概率,因而有 P(AB)=P(A)P(B)=(1/2)(1/2)=1/4,这里抛币一次正面朝上的概率为1/2。 (2)如果事件A,B,C,…不是互斥事件,则式(2-5)需要重新定义。若事件A,B不是互斥 事件,则有 P(+B)=P(4)+P(B)-PB) 其中,P(AB)为事件A,B同时发生的联合概率。当然,如果A,B互斥,则P(B)=0什么?)即 为式Q-3)。式Q-6)很容易推广到两个以上事件的情况 例210 从一副扑克中抽取一张,则是红心或是皇后的概率是多少?很显然,抽红心 和抽皇后不是互斥事件,因为4张皇后中有一张是红心。因而有 P(或是红心或是皇后)P(红心)+P(皇后)一P(既是红心又是皇后) =13/52+4/52-1/52 =4/13 若有事件A,B。现在我们想求在事件B发生的情况下,事件A发生的概率。这种概率称为 在事件B发生条件下事件A的条件概率 (conditional probability.)。用符号P4|B)表示,我们用下 面的公式来计算 PAB) PlAB Q-7) 即给定事件B事件A发生的条件概率等于事件A、B的联合概率与事件B的边缘概率之比。 P(AF PA
第2章 基本统计概念的回顾介绍19 P(A + B + C +…)= P(A)+ P(B)+ P(C)+…=1 (2 - 4) 还有一些常用的性质： (1) 事件A，B，C，…称为相互独立的事件，如果事件积的概率等于事件概率的积，用符 号表示： P(A B C…)= P(A)P(B)P(C)… (2 - 5) 其中，P(A B C…)表示事件 A，B，C，…同时发生或联合发生，因此， P(A B C…)称为联合概率 (joint probability)。与联合概率相对应， P(A)，P(B)，P(C)，…称为非条件概率( u n c o n d i t i o n a l )， 或边缘概率( m a rg i n a l )或单独概率( i n d i v i d u a l )。在2 - 6节中将详细讨论。 (2) 如果事件A，B，C，…不是互斥事件，则式( 2 - 5)需要重新定义。若事件 A，B不是互斥 事件，则有： P(A + B)= P(A)+ P(B)－P(A B) (2 - 6) 其中，P(A B)为事件A，B同时发生的联合概率。当然，如果 A，B互斥，则P(A B)= 0(为什么？)即 为式(2 - 3)。式(2 - 6)很容易推广到两个以上事件的情况。 若有事件A，B。现在我们想求在事件 B发生的情况下，事件 A发生的概率。这种概率称为 在事件B发生条件下事件A的条件概率( conditional probability)。用符号P(A｜B)表示，我们用下 面的公式来计算： P(A｜B)= (2 - 7) 即给定事件 B事件A发生的条件概率等于事件 A、B的联合概率与事件 B的边缘概率之比。 即， P(B｜A)= (2 - 8) P(AB) P(A) P(AB) P(B) 下载 在例2 . 6中，我们知道任一数字朝上的概率均为 1 / 6，因为共有六种等可能发生 结果。由于 1，2，3，4，5，6组成一完备事件组，则 P( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) = 1。因为 P( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) =P( 1 ) +P( 2 ) +…+P( 6 ) = 1 / 6 + 1 / 6 + 1 / 6 + 1 / 6 + 1 / 6 + 1 / 6 = 1。 例2.8 假设同时抛两枚硬币。那么两枚均正面朝上的概率是多少？令事件 A表示第一 枚正面朝上，事件 B表示第二枚正面朝上，因此现在要求概率 P(A B)。一般地认为 第 一 枚 正 面 朝 上 的 概 率 独 立 于 第 二 枚 正 面 朝 上 的 概 率 ， 因 而 有 ， P(A B)= P(A)P(B)=( 1 / 2 ) ( 1 / 2 )=1 / 4，这里抛币一次正面朝上的概率为 1 / 2。 例2.9 从一副扑克中抽取一张，则是红心或是皇后的概率是多少？很显然，抽红心 和抽皇后不是互斥事件，因为 4张皇后中有一张是红心。因而有： P(或是红心或是皇后)= P(红心) +P(皇后)－P(既是红心又是皇后) = 13/52 + 4/52-1 / 5 2 = 4/13 例2.10
20第一部分概率与统计基础 China-sub con 例211 会计入门班有500个学生,其中男生300人,女生200人。在这些学生中,100 个男生和60个女生计划主修会计学。现在,随机抽取一人,发现这个学生计划主 修会计学。那么,这个学生是男生的概率是多少? 令事件A代表学生是男生,事件B代表主修会计学的学生。因此,我们要求概率PA|B) 从条件概率的公式得 PAIB (160/500) 从给出的数据我们很容易得到P()=300/500=0.6,即抽取一人是男生的非条件概率为0.6,显然 与上面求得的0.625不同。 这个例子告诉我们一个非常重要的结论:一般条件概率不等于非条件概率 2.4.3随机变量的概率 我们给出了样本结果或样本空间中事件的概率,同样也可给出随机变量的概率。因为随机 变量只不过是样本空间基本结果的数字表示,比如例2.5。在本书中,我们关注的主要是随机 变量,比如GNP、货币供给、价格、工资等,因此,需要知道如何给出随机变量的概率。下面 们就来讨论随机变量的概率分布 2.5随机变量与概率密度函数 根据随机变量X的概率分布函数或概率密度函数(PDF),可以知道随机变量的取值及与之相 对应的概率。为了便于理解,我们首先看离散型随机变量的概率密度函数,然后再考虑连续型 随机变量的情形。 2.5.1离散型随机变量的概率密度函数 前面讲过,离散型随机变量仅可取有限个域有限可列个)数值。为了理解离散型随机变量 的概率密度函数(PDF),再看例25 例212 随机变量X代表抛两枚硬币正面朝上的次数,现考虑下表 在这个例子中,随机变量x取3个不同值0,1,2。—正面朝上的次数PDF X取0值的概率为1/4(即抛两枚硬币没有一次正面朝上),x 因为共有4种可能结果,只有1个有利于结果T7。同样0 的,在四种可能结果中,只有一个有利于“两枚均正2 面朝上”,因而,其概率也为1/4。另一方面,两种结果 HT、TH有利于事件“有一枚正面朝上”,因而,其概 率为2/4=12。注意:这里我们是用概率的古典定义给出这些概率值 1但是需要指出的是:如果事件AB相互独立,即汽AB=PA,PB,则PAB=B=P(4,P( BP(B)=P(A 也就是说,如果两事件是相互独立的,则事件A在给定条件B下的条件概率等于其非条件概率
令事件A代表学生是男生，事件 B代表主修会计学的学生。因此，我们要求概率 P(A｜B)。 从条件概率的公式得： P(A｜B)= = =0 . 6 2 5 从给出的数据我们很容易得到 P(A)= 3 0 0 / 5 0 0 = 0 . 6，即抽取一人是男生的非条件概率为 0 . 6，显然 与上面求得的0 . 6 2 5不同。 这个例子告诉我们一个非常重要的结论：一般条件概率不等于非条件概率。 1 2.4.3 随机变量的概率 我们给出了样本结果或样本空间中事件的概率，同样也可给出随机变量的概率。因为随机 变量只不过是样本空间基本结果的数字表示，比如例 2 . 5。在本书中，我们关注的主要是随机 变量，比如G N P、货币供给、价格、工资等，因此，需要知道如何给出随机变量的概率。下面， 我们就来讨论随机变量的概率分布。 2.5 随机变量与概率密度函数 根据随机变量X的概率分布函数或概率密度函数( P D F)，可以知道随机变量的取值及与之相 对应的概率。为了便于理解，我们首先看离散型随机变量的概率密度函数，然后再考虑连续型 随机变量的情形。 2.5.1 离散型随机变量的概率密度函数 前面讲过，离散型随机变量仅可取有限个(或有限可列个)数值。为了理解离散型随机变量 的概率密度函数( P D F )，再看例2 . 5。 (100/500) (160/500) P(AB) P(B) 20部分第一部分 概率与统计基础 下载 会计入门班有5 0 0个学生，其中男生 3 0 0人，女生2 0 0人。在这些学生中， 1 0 0 个男生和6 0个女生计划主修会计学。现在，随机抽取一人，发现这个学生计划主 修会计学。那么，这个学生是男生的概率是多少？ 例2.11 随机变量X代表抛两枚硬币正面朝上的次数，现考虑下表： 在这个例子中，随机变量 X取3个不同值0，1，2。 X取0值的概率为1 / 4 (即抛两枚硬币没有一次正面朝上 )， 因为共有 4种可能结果，只有 1个有利于结果 T T。同样 的，在四种可能结果中，只有一个有利于“两枚均正 面朝上”，因而，其概率也为1 / 4。另一方面，两种结果 H T、T H有利于事件“有一枚正面朝上”，因而，其概 率为2 / 4 = 1 / 2。注意：这里我们是用概率的古典定义给出这些概率值。 例2.12 正面朝上的次数 P D F X f(X) 0 1 / 4 1 1 / 2 2 1 / 4 _ _ _ _ _ _ _ 1 . 0 0 1 但是需要指出的是：如果事件A,B相互独立，即P(A B) =P(A)·P(B)，则P(A|B) = =P(A)·P(B) /P(B) =P(A)。 也就是说，如果两事件是相互独立的，则事件 A在给定条件B下的条件概率等于其非条件概率。 P(AB) P(B)
China-ub.com 下载 第2章基本统计概念的回顾21 上表给出了变量X的可能值以及与之相对应的概率值。我们用函数f(X)表示概率分布或概 率密度函数( probability distribution or probability density function,PDF)它给出了变量X取 不同值时的概率。由于在上面这个例子中,变量X是离散型随机变量,所以,上表中的PDF称 为离散型随机变量的概率密度函数( PDF of a discrete random variable)。附带地提醒一句,上表 中的概率和为1,因为这三种结果完全包括了所有的可能情况。(回顾24节性质3)。 更正规的,函数 f)j=PX=x)当=1,2,3…n 0 当X≠ 称为离散型随机变量的概率密度函数。其中,P(X=x)表示离散型随机变量x取x时的概 率值。因此,在上例中,P(X=2)表示随机变量“正面朝上的次数”为2时的概率。图2-1给出离 散型概率密度函数的几何图形 fx) 概率密度 正面朝上的次数 图2-1“抛两枚硬币正面朝上”的概率密度函数(例212) 2.52连续型随机变量的概率密度函数 连续型随机变量的概率密度函数 PDF of a continuous random variable)的概念与离散型随 机变量的相类似,所不同的是,现在我们度量的是随机变量在某一特定范围或区间内的概率 令代表一连续型随机变量一身高,用英寸来度量,假设我们欲求“人的身高”在某一区间 内此比如说60~68英寸)的概率,进一步假定随机变量“身高”的概率密度函数见图2-2 图2-2中的阴影部分给出了(X 身高在60~68英寸的概率。(实 身高在60~68英寸的概率 践中,我们如何度量这个概率 呢?在第3章中给予讨论)。有 率 点需要指出:连续型随机变量密 某一特定值仳如取值63英寸)度 的概率为0。我们总是在一个区 间内度量连续型随机变量的概 率,比如说,在区间625~63.5 身高寸 英寸内。 图2-2连续型随机变量的概率密度函数 2.5.3累积分布函数 与随机变量X的概率密度函数相对应,F()称为累积分布函数 (cumulative distribution 1在第3章中将会看到,图示的概率密度函数是著名的正态概率分布
第2章 基本统计概念的回顾介绍21 上表给出了变量 X的可能值以及与之相对应的概率值。我们用函数 f(X)表示概率分布或概 率密度函数(probability distribution or probability density function，P D F )—它给出了变量X取 不同值时的概率。由于在上面这个例子中，变量 X是离散型随机变量，所以，上表中的 P D F称 为离散型随机变量的概率密度函数 (PDF of a discrete random variable)。附带地提醒一句，上表 中的概率和为1，因为这三种结果完全包括了所有的可能情况。 (回顾2 . 4节性质3 )。 更正规的，函数 f(X) 当 i = 1,2,3…,n 当 X ≠ x i (2 - 9) 称为离散型随机变量的概率密度函数。其中， P (X = x i )表示离散型随机变量 X取x i时的概 率值。因此，在上例中， P(X= 2)表示随机变量“正面朝上的次数”为 2时的概率。图2 - 1给出离 散型概率密度函数的几何图形。 图2-1 “抛两枚硬币正面朝上”的概率密度函数 (例2 . 1 2 ) 2.5.2 连续型随机变量的概率密度函数 连续型随机变量的概率密度函数(PDF of a continuous random variable)的概念与离散型随 机变量的相类似，所不同的是，现在我们度量的是随机变量在某一特定范围或区间内的概率。 令X代表一连续型随机变量—身高，用英寸来度量，假设我们欲求“人的身高”在某一区间 内(比如说6 0～6 8英寸)的概率，进一步假定随机变量“身高”的概率密度函数见图 2 - 2。1 图2 - 2中的阴影部分给出了 身高在 6 0～6 8英寸的概率。(实 践中，我们如何度量这个概率 呢？在第3章中给予讨论)。有一 点需要指出：连续型随机变量 取某一特定值(比如取值 6 3英寸) 的概率为 0。我们总是在一个区 间内度量连续型随机变量的概 率，比如说，在区间 6 2 . 5～6 3 . 5 英寸内。 2.5.3 累积分布函数 与随机变量 X的概率密度函数相对应， F(X)称为累积分布函数(cumulative distribution = P(X = xi ) 0 ì í î 下载 概 率 密 度 正面朝上的次数 身高在6 0～6 8英寸的概率 身高(英寸) 概 率 密 度 图2-2 连续型随机变量的概率密度函数 1 在第3章中将会看到，图示的概率密度函数是著名的正态概率分布