22第一部分概率与统计基础 China-sub con function,CDF),定义如下 F)=P保K≤X) 其中,P继≤X)表示随机变量ⅹ取小于或等于x的概率。(当然,对于连续型随机变量取某一特定 值的概率为0)。因此,P≤2)表示变量X取小于或等于2的概率 例213 抛币4次,求随机变量(正面朝上的次数)的概率密度函数和累积分布函数 PDF CDF 正面朝上的次数() f(x)(PDF) f(x)(CDF 1/16 X≤0 2≤X<3 6/16 X≤2 l1/16 15/16 4≤X<5 1/16 X≤4 根据累积分布函数的定义,累积分布函数仅仅是当X的值小于或等于某一给定x时的概率 密度函数的“累积”或简单求和。即 F(x)=∑ Q-11) 其中,∑f(X)表示对x的值小于或等于给定的x的所有概率密度函数求和。因此,在本例中 X取小于2的概率为5/16,但X取小于3的概率为11/16。当然,X取小于4的概率为1。0什么?) 11/16 5/16 正面朝上的次数 图2-3离散型随机变量的累积分布函数(例2.13) 图2-4连续型随机变量的累积分布函数
f u n c t i o n，C D F)，定义如下： F(X)= P(X≤X) (2 - 1 0) 其中，P(X≤X )表示随机变量X取小于或等于x的概率。(当然，对于连续型随机变量取某一特定 值的概率为0)。因此，P(X≤ 2)表示变量X 取小于或等于2的概率。 根据累积分布函数的定义，累积分布函数仅仅是当 X的值小于或等于某一给定 x 时的概率 密度函数的“累积”或简单求和。即， (2 - 11) 其中， 表示对X的值小于或等于给定的x的所有概率密度函数求和。因此，在本例中， X取小于2的概率为5 / 1 6，但X 取小于3的概率为11 / 1 6。当然，X取小于4的概率为1。(为什么？) f(X ) x å F(X) = f (X ) x å 22部分第一部分 概率与统计基础 下载 抛币4次，求随机变量(正面朝上的次数)的概率密度函数和累积分布函数。 P D F C D F 正面朝上的次数(X) X值 f (x) (PDF) X值 f (x) (CDF) 0 0≤X < 1 1 / 1 6 X≤0 1 / 1 6 1 1≤X < 2 4 / 1 6 X≤1 5 / 1 6 2 2≤X < 3 6 / 1 6 X≤2 11 / 1 6 3 3≤X < 4 4 / 1 6 X≤3 1 5 / 1 6 4 4≤X < 5 1 / 1 6 X≤4 1 例2.13 正面朝上的次数 图2-3 离散型随机变量的累积分布函数 (例2 . 1 3 ) 图2-4 连续型随机变量的累积分布函数
China-6、con 下载 第2章基本统计概念的回顾23 图2-3给出了例213的累积分布函数。因为例2.13中的随机变量是离散型的,故其累积分布 函数也是非连续的,称之为分段函数( step function)。如果随机变量是连续型的,则其累积分布 函数是一条连续的曲线,如图2-4所示 2.6多元随机变量的概率密度函数 到目前为止,我们一直关注的是单变量或一元随机变量的概率密度函数。例2.12和2.13都 是单变量概率密度函数,因为在那里仅仅考虑一个随机变量,比如说“抛两枚硬币正面朝上的 次数”或“抛币四次正面朝上的次数”。但是我们不必仅限于此,我们可以用不止一个的随机 变量来描述一个试验的结果,在此情况下,求得的概率密度称为多元(多维概率密度 ( multivariable probability distributions)。最简单的多元概率密度函数是双变量概率密度函数。 我们用一个具体例子来说明。 例214 表2-2给出了50支债券的债券等级(及收益率(Y)数据,其中X有三个不同水平: =1(Bb),￥=2(Bb),X=3(B)。根据标准普尔债券等级评定,Bbb,Bb,B都是中等信 用的债券:Bb的信用略高于B,而Bbb又略高于Bb。即字母越少,股票的风险越大 表22双变量的频数分布:债券等级(X与债券收益(Y 等级(X 收益(Y)(% 13 5 合计 表2-3双变量概率密度 等级(X) 收益(Y)(%) 0.26 0.28 17.5 0.02 在这个例子中,有两个随机变量X债券等级)和Y偾券收益)。从上表可知有13种债券等级 为1即3个B),其收益率为8.5%。与此类似,有14种债券等级为2他即2个B),其收益率为 11.5%,等等。换句话说,表2-2给出了两个变量X和Y的频数分布 我们把表2-2中的每一个数值都除以50,将频数转化为相对频率,即概率(了简单起见, 假设总体或样本空间仅由50种债券组成)。其结果见表2-3。 表2-3提供了一个双变量或联合概率密度函数( bivariate or joint probability density function or joint PDF)。表中每一值均为联合概率( joint probability)-—即变量X取一给定值例如取2)与 变量}取一给定值例如取115%)时的概率。通常用∫(X,Y表示联合概率密度函数。因为在本例 中X,Y仅取离散值,故这是一个离散型联合概率密度函数。 更正规的,令X、Y是两个离散型随机变量,那么函数 f(, y=P(=x, Y=y 0当X≠x,Y≠y时
第2章 基本统计概念的回顾介绍23 图2 - 3给出了例2 . 1 3的累积分布函数。因为例 2 . 1 3中的随机变量是离散型的，故其累积分布 函数也是非连续的，称之为分段函数(step function)。如果随机变量是连续型的，则其累积分布 函数是一条连续的曲线，如图 2 - 4所示。 2.6 多元随机变量的概率密度函数 到目前为止，我们一直关注的是单变量或一元随机变量的概率密度函数。例 2 . 1 2和2 . 1 3都 是单变量概率密度函数，因为在那里仅仅考虑一个随机变量，比如说“抛两枚硬币正面朝上的 次数”或“抛币四次正面朝上的次数”。但是我们不必仅限于此，我们可以用不止一个的随机 变量来描述一个试验的结果，在此情况下，求得的概率密度称为 多元(多维)概率密度 (multivariable probability distributions)。最简单的多元概率密度函数是双变量概率密度函数。 我们用一个具体例子来说明。 表2-2 双变量的频数分布：债券等级 (X)与债券收益(Y) 等级(X) 1 2 3 收益(Y) (%) ( B b b ) ( B b ) ( B ) 总计 8 . 5 1 3 5 0 1 8 11 . 5 2 1 4 2 1 8 1 7 . 5 0 1 1 3 1 4 合计 1 5 2 0 1 5 5 0 表2-3 双变量概率密度 等级(X) 1 2 3 收益(Y) (%) ( B b b ) ( B b ) ( B ) 总计 8 . 5 0 . 2 6 0 . 1 0 0 . 0 0 0 . 3 6 11 . 5 0 . 0 4 0 . 2 8 0 . 0 4 0 . 3 6 1 7 . 5 0 . 0 0 0 . 0 2 0 . 2 6 0 . 2 8 合计 0 . 3 0 0 . 4 0 0 . 3 0 1 . 0 0 在这个例子中，有两个随机变量 X(债券等级)和Y(债券收益)。从上表可知有 1 3种债券等级 为1(也即3个B)，其收益率为 8 . 5%。与此类似，有 1 4种债券等级为 2(也即2个B)，其收益率为 11 . 5%，等等。换句话说，表2 - 2给出了两个变量X和Y的频数分布。 我们把表2 - 2中的每一个数值都除以 5 0，将频数转化为相对频率，即概率(为了简单起见， 假设总体或样本空间仅由5 0种债券组成)。其结果见表 2 - 3。 表2 - 3提供了一个双变量或联合概率密度函数 (bivariate or joint probability density function, or joint PDF)。表中每一值均为联合概率(joint probability)—即变量X取一给定值(例如取2)与 变量Y取一给定值(例如取11 . 5%)时的概率。通常用f (X, Y)表示联合概率密度函数。因为在本例 中X，Y 仅取离散值，故这是一个离散型联合概率密度函数。 更正规的，令X、Y是两个离散型随机变量，那么函数： f (X, Y) = P (X = x, Y = y) ( 2 - 1 2 ) = 0 当X ≠ x ,Y ≠ y 时 下载 表2 - 2给出了5 0支债券的债券等级(X)及收益率(Y)数据，其中X有三个不同水平： X= 1 ( B b b )，X=2(Bb), X= 3 ( B )。根据标准普尔债券等级评定， B b b , B b , B都是中等信 用的债券；B b的信用略高于B，而B b b又略高于B b。即字母越少，股票的风险越大。 例2.14
24第一部分概率与统计基础 China-ub.com 称为离散型联合概率密度函数。它给出了当X取x,且Y取y的概率,其中x、y为给定的某一具 体值。因此,在上例中,当X取3且Y取175%时的联合)概率为026。用同样的方法可以得知其 他的联合概率 两个连续型随机变量的联合概率可类似地定义,只是数学表达式比较复杂,有兴趣的读者 可阅读有关的参考书 2.6.1边缘概率密度函数 我们已经学习了单变量的概率密度函数,例如∫(X),f(Y),以及双变量的或联合概率密度 函数,f,Y)。它们之间有联系吗?是的,的确有 与联合概率密度函数f,Y)相对应,∫(),∫(Y)称为单变量,非条件或边缘概率密度函数 ( univariate, unconditional, individual, or marginal PDFs)。当X取一给定值例如取2)而无论Y取值如 何时的概率称为的边缘概率,其概率密度称为X的边缘概率密度函数。如何计算边缘概率密度 呢?很容易。我们看表2-3的总计这一行,X取1的概率为0.30,不管Y取值如何:X取2的概率 为040,不管Y取值如何:X取3的概率为0.30,不管Y值如何。因此,X的边缘概率见表2-4。同样 也给出了Y的边缘概率。需要指出的是:f(M或f(Y)的概率密度函数之和为1。伪为什么?) 表24X与Y的边缘概率分布 (债券等级) fx Y(债券收益%) 0.30 0.36 11. 17.5 0.28 读者很容易注意到:求X的边缘概率仅需将X相对应的联合概率相加。即把表2-3中的各列 相加。同样的方法,把表2-3中的各行相加我们可以得到Y的边缘概率。一旦计算出边缘概率 那么可以直接地求出边缘概率密度函数 2.6.2条件概率密度函数 继续我们的债券等级一收益一例,现在假设我们想知道在债券等级为1的条件下,收益为 8.5%的概率是多少?换句话说,在给定X=1的条件下,Y=8.5%的概率是多少?这就是我们所说 条件概率( conditional probability)回忆一下我们先前有关事件的条件概率的讨论)。我们可从 下面定义的条件概率密度函数( conditional probability density function)中得此概率。 f(rI X)=P(Y=yIX=x (2-13) 其中,f(YX)代表Y的条件概率密度函数;它给出了在给定=x例如取1)条件下Y取y值 例如,8.5%)的概率。类似地,给出X的条件概率密度函数: f(rIr)=P(X=xIY=y 注意:上面的两个条件概率密度函数都是对离散型随机变量而言的。因此,称之为离散型 条件概率密度函数。连续型条件概率密度函数可类似定义,只不过其数学表达式有些复杂 下面讨论计算条件概率密度函数的一种简单方法: f(XIr) f(r, y (2-15) X与Y的联合概率 Y的边缘概率 f(|x) f(x,1) (2-16) X与Y的联合概率 X的边缘概率
24部分第一部分 概率与统计基础 称为离散型联合概率密度函数。它给出了当 X取x，且Y取y的概率，其中 x、 y为给定的某一具 体值。因此，在上例中，当 X取3且Y取1 7 . 5%时的(联合)概率为0 . 2 6。用同样的方法可以得知其 他的联合概率。 两个连续型随机变量的联合概率可类似地定义，只是数学表达式比较复杂，有兴趣的读者 可阅读有关的参考书。 2.6.1 边缘概率密度函数 我们已经学习了单变量的概率密度函数，例如 f (X) , f (Y)，以及双变量的或联合概率密度 函数，f(X，Y)。它们之间有联系吗？是的，的确有。 与联合概率密度函数f(X，Y)相对应，f (X)，f (Y)称为单变量，非条件或边缘概率密度函数 (univariate, unconditional, individual, or marginal PDFs)。当X 取一给定值(例如取2)而无论Y 取值如 何时的概率称为X的边缘概率，其概率密度称为X的边缘概率密度函数。如何计算边缘概率密度 函数呢？很容易。我们看表2 - 3的总计这一行，X取1的概率为0 . 3 0，不管Y取值如何；X取2的概率 为0 . 4 0，不管Y取值如何；X取3的概率为0 . 3 0，不管Y值如何。因此，X的边缘概率见表2 - 4。同样， 也给出了Y 的边缘概率。需要指出的是：f (X) [或 f (Y ) ]的概率密度函数之和为1。(为什么？) 表2-4 X与Y的边缘概率分布 X(债券等级) f(X) Y(债券收益%) f(Y) 1 0 . 3 0 8 . 5 0 . 3 6 2 0 . 4 0 11 . 5 0 . 3 6 3 0 . 3 0 1 7 . 5 0 . 2 8 总计 1 . 0 0 总计 1 . 0 0 读者很容易注意到：求 X的边缘概率仅需将 X相对应的联合概率相加。即把表 2 - 3中的各列 相加。同样的方法，把表 2 - 3中的各行相加我们可以得到 Y的边缘概率。一旦计算出边缘概率， 那么可以直接地求出边缘概率密度函数。 2.6.2 条件概率密度函数 继续我们的债券等级－收益一例，现在假设我们想知道在债券等级为 1的条件下，收益为 8 . 5%的概率是多少？换句话说，在给定 X= 1的条件下，Y= 8 . 5%的概率是多少？这就是我们所说 的条件概率(conditional probability)(回忆一下我们先前有关事件的条件概率的讨论)。我们可从 下面定义的条件概率密度函数(conditional probability density function)中得此概率。 f ( Y｜X ) = P ( Y = y｜X = x) ( 2 - 1 3 ) 其中，f ( Y｜X )代表Y的条件概率密度函数；它给出了在给定 X=x(例如取1)条件下 Y取y 值 (例如，8 . 5%)的概率。类似地，给出X的条件概率密度函数： f ( X｜Y ) = P ( X = x｜Y = y ) ( 2 - 1 4 ) 注意：上面的两个条件概率密度函数都是对离散型随机变量而言的。因此，称之为离散型 条件概率密度函数。连续型条件概率密度函数可类似定义，只不过其数学表达式有些复杂。 下面讨论计算条件概率密度函数的一种简单方法： f ( X｜Y ) = ( 2 - 1 5 ) = f (Y | X ) = ( 2 - 1 6 ) = X与Y的联合概率 X的边缘概率 f (X,Y) f (X) X与Y的联合概率 Y的边缘概率 f (X,Y) f (Y) 下载
China-ub.com 下载 第2章基本统计概念的回顾25 用语言描述就是,在给定另一变量取值条件下某变量的条件概率密度函数等于这两个变量的联 合概率与另一变量的边缘或非条件概率密度函数之比。[与在事件B发生条件下事件A的条件概 率,即P(X|Y),相比较。] 来看我们的这个例子,现欲求f(Y=8.5|X=1),则有 f(Y=851X=1) =0.26/0.30 (从表2-3得知) 0.8667 从表2-3中可知y取8.5%的非条件概率是0.36,但在债券等级为1的条件下,Y取8.5%的概率增 加到0.87近似值)。 在第5章中将会看到,在回归分析中,我们关注的是研究一个变量在给定另一个域更多个) 变量取值条件下的行为。因此,条件概率密度函数的知识对于建立回归分析非常重要。 2.63统计独立性 在回归分析的研究中,另一个非常重要的概念是独立随机变量 Independent random variables),它与前面讨论过的事件的独立性有关。我们用一个具体的例子解释这个概念。 例215 一个袋子中放着分别写有1,2,3的三个球。现从袋子中有放回地随机抽取两球 (即每次抽取一个,然后放回再抽取一个)。令变量表示第一次抽取球的数字,Y代表 第二次抽取球的数字。表2-5给出这两个变量的联合概率密度函数和边缘概率密度函数。 现考虑概率f(X=1,Y=1),f(X=1),f(Y=1)。由表2-5得知其概率值分别为1/9,1/ 和1/3。其中,第一个为联合概率,而剩下的两个为边缘概率。但是,此例中的联合概率等于 两个边缘概率之积。在这种情况下,我们称这两个变量具有统计独立性( statistically independence)。更一般地,两个变量X和Y称为统计独立的,当且仅当它们的联合概率密度函 数可以表示成为其边缘概率密度函数之积。用符号表示为: f(x, y)=f(rf(r) 读者容易验证:在表2-5给出的其他任意X和Y值的组合,其联合概率密度函数都等于各自 的边缘概率密度函数之积:即这两个变量是统计独立的。需要牢记的是:对于所有的X和Y值 组合式2-17)均成立 表25两随机变量的统计独立性 3/9 f(X 例216 在例214中的债券等级与债券收益是独立随机变量吗?让我们用式(2-17)给出的 独立变量的定义来检验。令X=1(Bb,￥=8.5%。从表2-3可知,f(X=1,Y=85)=0.26 f(X=1)=0.30,f(Y=8.5)=0.36。显然,在此情况下,0.26≠0.30)×(0.36)。因此, 债券等级与债券收益不是独立的随机变量,这也并不让人感到惊奇。(为什么?)
第2章 基本统计概念的回顾介绍25 用语言描述就是，在给定另一变量取值条件下某变量的条件概率密度函数等于这两个变量的联 合概率与另一变量的边缘或非条件概率密度函数之比。 [与在事件B发生条件下事件 A的条件概 率，即P ( X｜Y )，相比较。] 来看我们的这个例子，现欲求 f (Y= 8 . 5｜X= 1 ) ,则有： f ( Y = 8 . 5｜X=1) ＝ ＝0.26/0.30 (从表2 - 3得知) ≈0 . 8 6 6 7 从表2 - 3中可知Y 取8 . 5%的非条件概率是0 . 3 6，但在债券等级为 1的条件下，Y 取8 . 5%的概率增 加到0 . 8 7(近似值)。 在第5章中将会看到，在回归分析中，我们关注的是研究一个变量在给定另一个(或更多个) 变量取值条件下的行为。因此，条件概率密度函数的知识对于建立回归分析非常重要。 2.6.3 统计独立性 在回归分析的研究中，另一个非常重要的概念是 独立随机变量 (independent random v a r i a b l e s)，它与前面讨论过的事件的独立性有关。我们用一个具体的例子解释这个概念。 现考虑概率f (X = 1, Y = 1 ) , f ( X = 1 ) , f ( Y = 1 )。由表2 - 5得知其概率值分别为1 / 9，1 / 3 和1 / 3。其中，第一个为联合概率，而剩下的两个为边缘概率。但是，此例中的联合概率等于 两个边缘概率之积。在这种情况下，我们称这两个变量具有 统计独立性 ( s t a t i s t i c a l l y i n d e p e n d e n c e )。更一般地，两个变量 X和Y称为统计独立的，当且仅当它们的联合概率密度函 数可以表示成为其边缘概率密度函数之积。用符号表示为： f ( X , Y ) = f ( X ) f ( Y ) (2 - 1 7) 读者容易验证：在表 2 - 5给出的其他任意X和Y值的组合，其联合概率密度函数都等于各自 的边缘概率密度函数之积；即这两个变量是统计独立的。需要牢记的是：对于所有的 X和Y值 组合式(2 - 1 7)均成立。 表2-5 两随机变量的统计独立性 X f ( Y ) 1 2 3 1 1 / 9 1 / 9 1 / 9 3 / 9 Y 2 1 / 9 1 / 9 1 / 9 3 / 9 3 1 / 9 1 / 9 1 / 9 3 / 9 f (X) 3 / 9 3 / 9 3 / 9 1 f (Y=8.5,X=1) f (X=1) 下载 一个袋子中放着分别写有1，2，3的三个球。现从袋子中有放回地随机抽取两球 (即每次抽取一个，然后放回再抽取一个)。令变量X表示第一次抽取球的数字，Y代表 第二次抽取球的数字。表2 - 5给出这两个变量的联合概率密度函数和边缘概率密度函数。 例2.15 在例2 . 1 4中的债券等级与债券收益是独立随机变量吗？让我们用式( 2 - 1 7 )给出的 独立变量的定义来检验。令X= 1 ( B b b )，Y= 8 . 5%。从表2 - 3可知，f ( X =1 ,Y = 8 . 5 ) = 0 . 2 6 ; f ( X =1 ) = 0.30 , f ( Y =8.5 ) = 0.36。显然，在此情况下，0 . 2 6≠ ( 0 . 3 0 )×( 0 . 3 6 )。因此， 债券等级与债券收益不是独立的随机变量，这也并不让人感到惊奇。(为什么？) 例2.16
26第一部分概率与统计基础 China-sub con 2.7概率密度的特征 虽然概率密度函数给出了随机变量的取值及其相应概率,但是通常我们并不对整个概率密 度函数感兴趣。因此,在例2.12中,我们或许不想知道“没有正面朝上”,“一次正面朝上”或 是“两次正面朝上”的概率,我们关注的是抛币若干次“正面朝上”的平均次数。换句话说 我们感兴趣的是一些综合指标,更专业地说,是概率密度的矩血 om en ts)。两个最常用的综合 指标國矩)是期望值穊率密度的一阶矩)和方差穊率分布的二阶矩)。 2.7.1期望值:集中趋势的度量 离散型随机变量的期望值( expected value)用符号E(1表示续作X的期望值),其定义为: E(x=∑(x) 其中f(X)是X的概率密度函数,∑表示对所有X求和。1 用文字描述即为随机变量的期望值是其各可能取值的加权平均,与各可能取值对应的概率 为权重。或者说,随机变量的期望值就是该变量的可能取值与其概率之积的累加。随机变量的 期望值也称为均值,更准确地应称为总体均值( population mean value)。(随后会讨论其中原 217 掷一个骰子若干次。求每个数字出现的期望值?参见前面讨论过的例2.6。结 果见表2-6。 运用式Q2-18)的期望值定义求出期 表2-6随机变量征面朝上数字)的期望值 望值为3.5。这样的结果奇怪吗?因为一正面朝上的数字(1) 概率(2)数字×概率(3) 这是一个离散型随机变量,仅能在 X f(n 2,3,4,5,6中取一个值。在本例中 期望值或均值为3.5,表示如果掷骰子 若干次,平均而言,得到的数为3.5价介 于3~4之间) 5 2-5表示了上例中期望值。 6 E(X)=21/6=3.5 图25离散型随机变量(例2.17)的期望值,E(X) 1连续型随机变量的期望可类似定义,所不同的是求和符号“∑”换成积分符号“∫
2.7 概率密度的特征 虽然概率密度函数给出了随机变量的取值及其相应概率，但是通常我们并不对整个概率密 度函数感兴趣。因此，在例 2 . 1 2中，我们或许不想知道“没有正面朝上”，“一次正面朝上”或 是“两次正面朝上”的概率，我们关注的是抛币若干次“正面朝上”的平均次数。换句话说， 我们感兴趣的是一些综合指标，更专业地说，是概率密度的矩( m o m e n t s )。两个最常用的综合 指标(或矩)是期望值(概率密度的一阶矩)和方差(概率分布的二阶矩)。 2.7.1 期望值：集中趋势的度量 离散型随机变量的期望值(expected value)用符号E(X)表示(读作X的期望值)，其定义为： (2 - 1 8) 其中f ( X )是X的概率密度函数， 表示对所有X求和。1 用文字描述即为随机变量的期望值是其各可能取值的加权平均，与各可能取值对应的概率 为权重。或者说，随机变量的期望值就是该变量的可能取值与其概率之积的累加。随机变量的 期望值也称为均值，更准确地应称为总体均值 (population mean value)。(随后会讨论其中原 因。) 运用式( 2 - 1 8)的期望值定义求出期 望值为3 . 5。这样的结果奇怪吗？因为 这是一个离散型随机变量，仅能在 1， 2，3，4，5，6中取一个值。在本例中， 期望值或均值为 3 . 5，表示如果掷骰子 若干次，平均而言，得到的数为 3 . 5(介 于3～4之间)。 图2 - 5表示了上例中期望值。 X å E(X) = Xf (X ) X å 26部分第一部分 概率与统计基础 下载 掷一个骰子若干次。求每个数字出现的期望值？参见前面讨论过的例 2 . 6。结 果见表2 - 6。 例2.17 表2-6 随机变量(正面朝上数字)的期望值 正面朝上的数字( 1 ) 概率( 2 ) 数字×概率( 3 ) X f (X) X f (X) 1 1 / 6 1 / 6 2 1 / 6 2 / 6 3 1 / 6 3 / 6 4 1 / 6 4 / 6 5 1 / 6 5 / 6 6 1 / 6 6 / 6 E ( X ) = 2 1 / 6 = 3 . 5 1 / 6 图2-5 离散型随机变量(例2 . 1 7 )的期望值，E(X) 1 连续型随机变量的期望可类似定义，所不同的是求和符号“ å”换成积分符号“ò