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《时间序列模型》课程教材讲义（ARIMA）第3讲回归与 ARMA 组合模型

已经学习回归模型和时间序列模型，如果把这两种分析方法结合在一起，有时会得到比其中任何一种方法都好的预测结果。

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第3讲回归与ARMA组合模型已经学习回归模型和时间序列模型,如果把这两种分析方法结合在一起,有时会得到比其中任何一种方法都好的预测结果。例如有如下回归模型 =Bo+Bi 其中x是解释变量,y是被解释变量,ψ是随机误差项。上述模型的估计式是 Bo+B,xr+u 令=0,用上式可预测y的值。L,是一个平稳的、非自相关的残差序列。当,存在自相关时,时间序列分析的一个有效应用是对残差序列l,建立ARMA模型。然后将上式中的残差项用ARMA模型替换。在利用上述模型预测y时,可以利用ARMA模型先预测出的值有时,这会使y的预测值更准确这种回归与时间序列相结合的模型形式是 y-Bo+B,x+a-(L)O(L)vr (2) 其中1=(LO(L)v,或写成中(L)1=已(Lvov是服从正态分布的、非自相关的误差项。v的方差一般与,不一样。这种回归与时间序列相组合的模型称作转(变)换函数模型 ( transfer function model),多元(变量)自回归移动平均模型( multivariate autoregressive moving average model),简称 MARMA模型,或回归与时间序列组合模型( combined regression-time series model 假设(1)式中的t是一个ARMA(1,1)过程,则估计(1)式的 EViews估计命令是 ⅹAR(1)MA(1) 注意 (1)如果(1)式中的t是一个AR(1)过程,则回归与ARMA组合模型表达的就是误差项为一阶自相关的经典回归模型 (2)以(2)式为例,按wold分解定理,也可以对转换函数模型作如下理解。y-B x=表示在y中剔除了确定性影响角+Bx后所得序列是一个不含任何确定性成分的平稳的随机序列。用山建立时间序列模型。回归与ARMA组合模型也可以由被解释变量及其滞后项、一个或多个解释变量及其滞后项、和描述随机误差序列的时间系列模型3部分组成只含有一个解释变量的组合模型可写为, A(D)y=yo+rd+B(L)x,+e() vi (3) 其中=φ(L)θ(Lv。)表示常数(漂移项)。d表示y的线性确定性成分,如周期性成分、时间t的多项式和指数形式,虚拟变量等,可以直接用t预测。通过对特征多项式A(L) B(L)、Φ(L)、O(L)的约束可以得到组合模型的不同特殊形式。整理如表1。站在回归模型基础上看组合模型(3),是通过把模型误差项拟合成ARMA形式从而提高回归系数a,房的有效性。站在时间序列模型基础上看组合模型(3),是把解释变量B(Lx;看作υ中的确定性成分, 通过回归,把这些确定性成分从y中减掉,从而对一个平稳误差序列建立ARMA模型。通过对组合模型的施加约束条件可以得到各种形式的模型

1 第 3 讲回归与 ARMA 组合模型已经学习回归模型和时间序列模型，如果把这两种分析方法结合在一起，有时会得到比其中任何一种方法都好的预测结果。例如有如下回归模型 yt = 0 + 1 xt + ut （1）其中 xt是解释变量，yt是被解释变量，ut是随机误差项。上述模型的估计式是 yt = 0ˆ + 1ˆ xt + t uˆ 令 t uˆ = 0，用上式可预测 yt的值。 t uˆ 是一个平稳的、非自相关的残差序列。当 t uˆ 存在自相关时，时间序列分析的一个有效应用是对残差序列 t uˆ 建立 ARMA 模型。然后将上式中的残差项用 ARMA 模型替换。在利用上述模型预测 yt时，可以利用 ARMA 模型先预测出 t uˆ 的值。有时，这会使 yt的预测值更准确。这种回归与时间序列相结合的模型形式是 yt = 0ˆ + 1ˆ xt + -1(L)  (L) vt （2）其中 t uˆ =  -1(L)  (L) vt，或写成 (L) t uˆ =  (L) vt。vt 是服从正态分布的、非自相关的误差项。vt的方差一般与 t uˆ 不一样。这种回归与时间序列相组合的模型称作转（变）换函数模型（transfer function model），多元（变量）自回归移动平均模型（multivariate autoregressive -moving average model），简称 MARMA 模型，或回归与时间序列组合模型（combined regression-time series model）。假设（1）式中的 ut是一个 ARMA(1, 1)过程，则估计（1）式的 EViews 估计命令是 Y c X AR(1) MA(1) 注意：（1）如果（1）式中的 ut是一个 AR(1) 过程，则回归与 ARMA 组合模型表达的就是误差项为一阶自相关的经典回归模型。（2）以（2）式为例，按 Wold 分解定理，也可以对转换函数模型作如下理解。yt - 0 - 1 xt = ut 表示在 yt 中剔除了确定性影响0 +1 xt 后所得序列 ut 是一个不含任何确定性成分的平稳的随机序列。用 ut建立时间序列模型。回归与 ARMA 组合模型也可以由被解释变量及其滞后项、一个或多个解释变量及其滞后项、和描述随机误差序列的时间系列模型 3 部分组成。只含有一个解释变量的组合模型可写为， A(L) yt = 0 + dt +B(L) xt + ( ) ( ) L L   vt (3) 其中 ut =-1(L)  (L) vt。0 表示常数（漂移项）。dt 表示 yt的线性确定性成分，如周期性成分、时间 t 的多项式和指数形式，虚拟变量等，可以直接用 t 预测。通过对特征多项式 A(L)、 B(L)、 (L)、 (L)的约束可以得到组合模型的不同特殊形式。整理如表 1。站在回归模型基础上看组合模型（3），是通过把模型误差项拟合成 ARMA 形式从而提高回归系数j，j的有效性。站在时间序列模型基础上看组合模型（3），是把解释变量 B(L)xt看作 yt中的确定性成分，通过回归，把这些确定性成分从 yt中减掉，从而对一个平稳误差序列建立 ARMA 模型。通过对组合模型的施加约束条件可以得到各种形式的模型

2 表 1 组合模型及其各种特殊形式名称模型形式约束条件组合模型（一般形式） A(L) yt = 0 +dt + B(L) xt + ( ) ( ) L L   vt 无分布滞后模型 yt = 0 +dt +B(L) xt + vt A(L) =  (L) =  (L) = 1 动态分布滞后模型 A(L) yt = 0 +B(L) xt + vt  (L) =  (L) = 1，=0 自回归（AR）模型 A(L) yt = 0 +vt B(L) =0， (L) =  (L) = 1，=0 移动平均（MA）模型 yt = 0 +(L) vt A(L) =1，B(L)=0， (L) = 1，=0 自回归移动平均（ARMA）模型 A(L) yt = 0 +(L) vt B(L)=0， (L) = 1，=0 ARMA 误差项的分布滞后模型 yt =0 +B(L) xt + ( ) ( ) L L   vt A(L) =1，=0 线性回归模型 yt = 0 +dt +0 xt + vt A(L) = B(L) =  (L) =  (L) = 1 注：0 表示常数（截距项）。dt 表示 yt 的线性确定性成分，如周期性成分、时间 t 的多项式和指数形式，虚拟变量等，可以直接用时间 t 预测。A(L)、B(L)、 (L)、 (L)是特征多项式，B(L)的第 1 项是0，不必为 1。回归模型和 ARMA 模型都包括在组合模型之中。他们只不过是组合模型的一个特殊形式。进一步分析发现，回归与 ARMA 组合模型实际上是动态分布滞后模型的一种表现形式。假定有如下组合模型， yt = 0 + 1 xt + ut (1) ut = 1ut-1 + vt (2) vt  IN(0,  2) 用滞后算子形式改写（2）式， (1-1L) ut = vt ut = 1 1L 1  vt 把上式代入（1）式， yt = 0 + 1 xt + 1 1L 1  vt (3) 上式两侧同乘(1-1L)，得 (1-1L) yt = (1-1L) 0 + 1 (1-1L) xt +vt yt = 1 yt-1 + (1-1) 0 + 1 xt -11 xt-1 +vt 可见如果回归模型误差项是 1 阶自回归形式。实际上 yt 是一个一阶自回归分布滞后模型，只不过对 xt-1的系数多加了一个约束条件。若 xt-1的系数用2表示，则约束条件是， 2 = -11 以组合模型一般形式 A(L) yt = 0 + dt +B(L) xt + ( ) ( ) L L   vt

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