”: 把以上二式分别代入(6)和()式，就得 L∑，x(a)≤√a1ogg,3 为原特征。 (8) 现在来讨论X为非主非原特征的情形。设X,←→X*,由第一章 51性质11知 X,(n)=X誉*(n)X(n). 其中2mg/g,9由第一章(7)式确定.所以 罗 M4N x(n)= x*(m)=∑x*(n)∑u(d) w=M+1 2(x" 2 X*(n) 由此及(8)式就得 l,x<Vgeg是laea1 ≤2"9)√g*1ogg*. (9) 其中(g2)表92的不同的素因子的个数，当(g2)≥2时，显然 有 9≥2X3×50-≥6X22-, 所以 2w≤√5V<2√a 6 由此及(9)式就得，当X为非主非原特征时（4)式成立，定理证 毕. §2.经典的特征和均值估计 定理2设：m为任意复数，则对任意的整数M及N≥1，我 们有 三f≤0+，，三，a.(o) =M+】 34•
·心 证 先假定N≤9，我们有 ，- M+N 342x)x） 1=M+1n2=M+1 M+N φ(g) (11) #*M+1 (m,4)=1 这就证明了当N≤g时定理成立，当N>4时，我们可把特征和 M+N anx(n) M+1 分为1+[心，个长度不超过9的特征和之和，再利用hwan 不等式，从(11)式立即推得(10)式，证毕. 在进一步讨论经典的混合型（连续的和离散的）特征和均值估 计之前，我们要证明二个属于gallagher3划的引理，由于有了这两 个引理，使得混合型均值估计和大筛法有了个十分简单和巧妙 的形式与证明.首先，我们引进“生位组”的定义. 定义1设8是任一大于零的正数，若实数列x,(0≤≤) 满足条件 动<<<<盟-c-)≥0，(12） 则称数列x:(0≤i≤)是一个6佳位组， 引理1设(x)为区间[，】上的复的连续可微函数，数 列x,(0≤≤)是一个8佳位组，则有 t 会e≤i4: +2itea)1fe1a✉)'a3) 证·令 国--人n80,0≤i≤t-l, 其中 E={化：t6:0≤i≤t-I 10,其它。 ·35·
这样就有 g.e(eIPz=geli(ePl 一_】12E,()dx xitl-xi)xt -Ker--ors, 由于g:(x)≤1及x+:一x:≥6，从上式即得 l*≤812+2f1fe. 上式二边对求和，并利用Scbwarz不等式就推得 会1≤1eiz+21r1✉ ≤6-1o3 +2(01✉)0Fo1a), 这就是(13)式，证毕. 这引理给出了用函数本身及其导数的积分来估计离散和的一 种方法，也是大筛法的基础。 引理2设统为一可数的实数集合，c()为实变量“的复 值函数，且满足条件 会l(a<+0, 再设 s()=∑c(a)e(a), (14) 则有 ,1≤27Clc(ea,7>0, (15) 其中 C ()) 1-< ·36
证令 Fx()- ≥ (16) 则有 c()=∑c(Fr(x-. 2T Cr(x)的Fourier变换为” C(A)=]-C:()e(x)dx -是ae(mrs-o(a0r ()e(a)Ce( s0,, (17) 其中P(z)为Fr(x)的Fourier变换，由(16)式可求得 πt Br(t) sin 2T g 27 所以当≤T时有 i,01≥子 (18) 应用熟知的Fourier变换理论的Plancherel定理，并利用(l7), (18)式可推得 C.1c(e)Iax=二1cxI2a -50,01a 1)不难验证，积分Cr():(x绝对收敏，以及(17)中的积分号与求和号是 可以交换的。 ◆37·
≥仁100流 由此即得(15)式，证毕. 理2使得形如(14)式的广义三角和的模的平方积分可以利 用它的系数来估计，这是混合型均值估计的基础。把定理2与这 2个引理结合起来，就可证明关于经典的混合型特征和均值估计 的三个定理 设有限Dirichlet级数 H(s,)= anx(n)n~, (19) 其中M≥0及N≥1为整数，X为模9的特征，s一0+t.不 难看出，它是形如(14)式的广义三角和，只要取 a=-1 logn,c(a)=anx(n)n-, 2x M+1≤n≤M+N. 定理3设H(s,x)由(19)式给出，则对任意的T≥1有 21,01Pa《@2芝gr+1h.e0 的± 证对H(s,X)应用引理2得 a,x1a≤j3xa)a-a, 其中一示.上式二边对x求和，并交换积分号与求和号，应用 定理2可得 会，，0sr八到waa 038▣