1■rsi,r2tr.故有（ri,r)一1，r4=i.再设g-r 由引理3知， 2)-z()()r), (42) (8)=()()r(z). (43) 由以上两式可，（41)式的和式中不为零的项必须满足条件 (,)=1,42()=1, (44) 而当(，4)1时，由YX2?一Xx2X双及引理1知 Gxtx(m)-Gx,xx (m)=X(k)X(k)Cx(m)Gxx(m)(45) 由(42)一(45)及引理6即得 F(,名，m)-ix()x,(rr(i1ΦGz(m)川 ∑ 京() Cx(m)I. (46) ·。由(46)式容易看出，当(r3,rir)>1时恒有 F(X,X2,m)=0. 所以只要考虑 ,-(9-1 的情形.首先，我们来讨论Gxx(m).由于r,t2不一定互素，所 以不能直接利用引理1，由特征的分解知，可设 X1=XDX12 X:=x2x2 其中X1,X:分别为模ri,2的原特征，，均为模的原特 征。这样就有 XiXzXx2Xix2x3xixi 其中X一2井不一定是模的原特征，而乘积X则是模 r2的原特征.由于(rs,r)一1，故利用理1及(32)式得 Gxx,(m)=Gxix (m)=Xa(rir)xixi(r3)Gx,(m)Gxix;(m) X3(riri)xix2(r)Xix2(m)Gx,(m)(xixi). ·(47) ·29· 透
故进一步需要讨论G%(m).设X;mod r3←→学modr,由引理 5,6可推得 1oam1≤((a (48) 所以当(rs,ir)=1时，由(47)，(48)式得到 1cm1≤物代别 Nrit2 zir2 √r3/m,) @-)',卫(-” /,r (riri)y Ⅱ(- p (m.Ts ×L（1-月. (49) 最后，我们来讨论(46)右边的和式，由(47)式知当(m,) =(m,r/3)>1时恒有 F(,2,m)0. 所以我们只要考虑(m,r/r3)=1的情形。这时由引理2知 1c1-夏+8别 中2() -品0+。20+，亡） -(+o己+，以w) 综合以上的讨论，由(46)，(47)，(49)及(50)式可得到下面两个 结论： ()当(，>1，(9-0，(m,>1三个条件中 只要有一个成立时，就一定有 ·30
F(化1，X2,m)=0. (51) @)当(，9-1(+0及(m,9-1放立时，必 有 F(化，，m)≤i 中(i)V 亚(4-) plo可 (52) 用粗略的估计，可以算出上式右边m/中(m)前的系数不会超过 32.这就证明了我们的引理. 对于引理7需要指出的一点是，当模r1,2中有一个或全都等 于1时，引理仍然成立.（参看§1附注）. ·31=
第二章特征和估计与大筛法 本章主要是讨论下列三种型式的特征和估计： M+N x(n),xx (1) 界=M十1 到，氢xo (2) 以及 盒01三，9≥1， 其中求和号∑表示对模4的所有原特征求和，(1)式是最简单 的特征和估计，(2)式是对一个模9的经典的特征和估计，而(3) 式是所谓大筛法型的特征和估计，它首先是由Bombierit)所引进 的，为了估计这一类新的特征和，就需要利用大筛法一这是本章 53的内容.本茸还要讨论相应于(2)、(3)式的一些混合型的特 征和均值估计、本章的内容在本书大多数章节中都要用到，是十 分重要的. 51.最简单的特征和估计 设X为模4的非主特征，由特征的性质立即推出，对任意的 M,N有估计式 三，≤号 成立。但这结果是十分粗糙的，进一步我们要证明下面的定理。 定理1设Y为模9的非主特征，则对任意的整数M及N ≥1，有 ·32·
|罗xo≤2Vas9. (4) #✉u+1 证显然无妨一般，可设N<9,首先讨论x为原特征的情 形.由第一章(32)及(40)式知 w-会( 以及 三-会三( g9 √方》， (5) 由于 血≥名（≤》 所以，当4为奇数时 宽，蓉 (6) 当g为偶数时， 器，xo厅层+a -1 (7) 利用不等式 去≤治片 五≥1， 可得 9-1 ⊥≤1og9, g为奇数； 君<wg-6如-安8 ·33◆