自由空间高斯波包的扩散由im(x"_mK(x",t,x'to)=expV2元ih(t-to)2h(t-to)和exp(- x"Y(x,0) = e'pox/h(d)可得: Y(x,t)= [K(x,t,x,0)P(x',0)dx2 exp[-(x- Pgt / m) (1-iht / md.int=[元/2(d。 +2d.(1+h't / m'd。)md2m<(△x) >1/2= d /21/2, <(Ap)2 >1/2= h /(21/2 d.)d = do(1+h*t? / m’d.*)1/2
自由空间高斯波包的扩散 ◼ 由 和 可得： 2 0 0 0 ( " ') ( ", ; ' ) exp 2 ( ) 2 ( ) − = − − m im x x K x t x t i t t t t 2 1/ 4 0 2 0 2 '/ ( ) ) 2 ' exp( ( ' ,0) 0 d d x x e i p x − = 4 1/ 2 0 2 2 2 0 0 2 1/ 2 1/ 2 2 1/ 2 1/ 2 (1 / ) ( ) / 2 , ( ) /(2 ) d d t m d x d p d = + = = )] 2 ]exp[ ( 2 (1 / ) ( / ) (1 / ) [ ( )] exp[ ( , ) ( , ; ',0) ( ',0) ' 0 0 4 0 2 2 2 2 0 2 0 2 1/ 2 0 0 0 1/ 2 m p t x ip d t m d x p t m i t m d m d i t d x t K x t x x dx − + − − − = + = −
2.谐振子的传播子1momo-mo波函数为 u,(x)e-E,g/hHexp2hh2% Jn!元himomo其传播子为 K(x"t;x't。)=V2元in sin [o(t - t)]2hsin o(t -to)(x"2 +x"2)cos[o(t - t。)}2x"x') )该式的直接证明非常复杂，需利用特殊函数的性质-(92 +2-29n)2=p[-(+)()(9)H,()exlV1-52(1-5)?也可通过a和at算符方法最方便的是利用即将描述的路径积分方法。由于传播子是以w为角频率的时间周期函数，位于x的粒2n元子将在 t=回到原位置。0
2. 谐振子 的传播子 ◼ 波函数为 ◼ 其传播子为 ◼ 该式的直接证明非常复杂，需利用特殊函数的性质 ◼ 也可通过a和a +算符方法 ◼ 最方便的是利用即将描述的路径积分方法。 ◼ 由于传播子是以ω为角频率的时间周期函数，位于x’的粒 子将在 回到原位置。 ( ) 1 2 2 1 4 / 2 2 1 exp 2 2 ! n i n t iE t n n n m m x m u x e H x e n − + − − = ( ) ( ) (x" x' )cos (t t ) 2x"x' * 2 sin t t im exp 2 i sin t t m K(x"t; x't ) 0 2 2 0 0 0 + − − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 1 2 exp exp 1 1 2 ! n n n n n H H n = − + − = − + − − = 2n t