例1.19设x0,x1,.,xn为n+1个互异的节点，l,(x)(i=0,1,.,n)为关于 x;(=0,1,n)的拉格朗日基函数，证明： ()x(x)=大，k=0,1,n (2)(x,-x),(x)=0,k=1,2,.,n 证(1)设f(x)=x,则f(x)=x(i=0,1,.,n)。取(x,f(x)=(x,x) (i=0,1,.,n)构造插值多项式p(x)。 R-=-多4e-动 k=0,1,.,六+()=0，得 ≠房e)=0 即关于x0,x1,·,x节点的插值就是本身。所以有 之x,(x)=,k=0,1,n 其实由插值多项式的惟一性，直接可得此结果。 a空a-4u)-22a-4te =之C(-1)之x(x) =会(-00 =之(-1)-Cx =0 =22(-10*G=0 i■0 即 2(x-%()=0,k=1,2.n 例1.20若f(x）=a0x”+a1x”-1+.+an-1x+an有n个互异的零点x1, 工2.，xn,则有 0, 0≤kn-2 ()= ao' k=n-1 证设x1,x2,.,xn是f(x)的n个互异的零点，则 f(x)=a(x-x1(x-2).(x-x)=aoΠ(x-z) 16*
f(x)=ao(x-x)+(x-x)+.+(x-x) *2 f()aoIl(-x.) 记g(x）=,则 15 ga(z;) i(5,-)ao片i(3,-,) 注意到 [x1x】=之，8） (x,-x） 含高al 1 =5-”() ao(n-1)0 0,0≤k≤n-2 =1 (a0 k=n-1 由插值多项式又得到有关多项式的性质。 例1.21证明：若f八x)=u(x)(x),则 fxo,1]=u[xolv[zo,]+u[xo,z]v[x1] l=）l-）-(n x1-x0 x1-x0 (zv()-u(o)()+u(to)v()-u(xo)v(to) TI-To -u-(x)+）-m(n） x1-x0 r1-x0 u[x,xolv[z]+u[zolv[xo,] 用数学归纳法，可将上列一阶差商的性质推广到n阶差商，有· ol=会]，1】 例1.2：设)。之且a,互不相刷，肉造✉)关于0 ·17·
x,.,x的n次牛顿插值多项式。 解先用数学归纳法证明： 1 f[x0,x1,.,x]= II(a-x;) 当k=1时， 0=）-fo x1-x0 1/1 1 x1-xoa-tia-tol 1 =(a-xn)(a-z 设当k=m时，有 f[x0,x1,.,xm]= (a-x) 那么，对k=m+1,按差商定义 20,1,nl=12-fm, Im+1-I0 1 1 =1-olf(a-x)自(a-) 1(a-xo)-(a-xm+i） 工m+1-x0 H(a-x) 1 i(a-) 放。的牛顿指值多项式为 Nn(x）=f(xo)+(x-xo)f[x0,x1]+.+(x-x0).(x-xa-1)f[x0,x1,.,xn] 1 z-J0 （-x0(x-x1小.（x-xa-） =。-0+(a-a-xn+.+(a-oa(a-a- 同时可以得到牛顿插值误差表达式： 。-zN,(x)=f01,xz](x-(红-) (x-x0)(x-x1).(（x-工n） =(a-x)(a-x).(a-x)(a-x） ·18
例1.23·设Po.1(x)是由点(x0,f(xo),(x1,f(x1)构造的拉格朗日插值多项 式，设P1,2(x)是由点(x1,f(x1),(x2,f(x2)构造的拉格朗日插值多项式，则 Pa)-Pa）二红P是由点(X:=0l,2将造的= x2-x0 次拉格朗日插值多项式。 证Po1(,P2(x)分别为x0和1x构造的线性插值函数，故Po1(x), P1.2(x)为一次多项式，于是Po.12为二次插值多项式 Po.()=-0)P2(t)-(r2)Po.() x2-x0 则有 pa(o）=o}p10=fn） x2-x0 Po.l2)=-oP1(x)-(1-2)Po1x x2-0 ()()-(2)f(=) x2-x0 B22)=-nP_（-nr-j》 20 r2- 由插值多项式的惟一性，Po.1,2(x)是由xo,x1,x2构造的二次插值多项式。 更一般地，若P-(x)是由点z0,1， 工。-构造的”一1次拉格朗日插值多 项式，若P1.2,m(x)是由点x1,x2,xn构造的n-1次拉格朗日插值多项式，则 Po1.,n(x)是由点xo,x1,.,xn构造的n次拉格朗日插值多项式： P.(x)=-o}B2(x）-（x-a)Po.4 x.-x0 注：按递推生成拉格朗日多项式的方法称Neville方法。 例1.24设x0,x1,互不相等，P01-1+1.k（x)是由点x0,x1,. 工-1，西+1，.，x构造的一1次f的插值多项式，设 P(r）=（r-)Poi1.=A(x)-(x-)Po(x） x:-x; 证明：P(x)是f在x,(i=0,1,.,k)的k次插值多项式。 证记 L(x）=P0.1.i-1+l.,k(x) (x)=P01,i-1i+1.k（x） 则P(x)=红-L)-红-)确为不高于次多项式。 设0，.可 P(a)=(()-(() xi-ti 19
=）-))-fx) P-L）4Z= -西 类似地，P(x,)=f(x)。 由插值多项式的惟一性，结论正确 例1.25给出如下离散数表和端点条件m0=6.25,m3=18.25,用m关系式作出 三次样条插值S(x)并计算S(1.72)。 1.5 1.6 2.0 2.5 () 2.825 3.496 7.2 14.575 解构造m关系式，由 h,=x41-xi, (h0,h1,h2)=(0.1,0.4,0.5) 入，=h:th,-l (a1,A2)=(4/5,5/9) =1- (1,42)=(1/5,4/9) G,=3(入y[x-1,x]+:y[x,x+1]), (c1,c2)=(21.66,35.1) 解方程组： -g网 (m1,m2）=(7.18,11.5) 由(1.13)式： S(x)=S1(x) -+20620w+c-1.6(60m ++262000m+-20(6 S(1.72)=4.42845 1.3程序示例 程序1给定插值点序列(x,f(x),i=0,1,.,n,构造牛顿插值多项式N(u)。 输人要计算的函数点x,并计算Nn(x)的值。 算法描述 stepl:输人n值，及(x,f(x),i=0,l,.,n;要计算的函数点x。 20