复旦大学：《数学分析》第四章 微分（4.4）复合函数求导法则及其应用

习题4.4复合函数求导法则及其应用 求下列函数的导数 (3)y= √1+x3 (4) y=sinx; cos√x (7)y=√x+1-lhn(x+√x+1); y=arcsin(e-x): aD y=1+In2 x √1+cscx2 2 1√3x3+1 解(1)y2=2(2x2-x+1)(2x2-x+1y=2(2x2-x+1)(4x-1)。 (2)y=e2(sin 3x)+(e2)'sin 3x=e2(3 cos 3x+2sin 3x) (1+x3)2(1+x3)y=-5x2(1+x3) (4)y In 1-In (5)y=cosx(x)=3x cosx (6)y=-smx(xy=-出x。 70

70 习 题 4.4 复合函数求导法则及其应用 ⒈ 求下列函数的导数： ⑴ y xx = −+ ( ) 2 1 2 2 ； ⑵ y x x = e sin 2 3 ； ⑶ y x = + 1 1 3 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x = sin 3； ⑹ y x = cos ； ⑺ yx xx = +− + + 1 1 ln( )； ⑻ y x = − arcsin (e ) 2 ； ⑼ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 2 1 ln x y x ； ⑽ y x x = + 1 2 2 2 ( sin ) ； ⑾ y x x x = + − 1 1 2 2 ln ； ⑿ y x x = 1+ 2 csc ； ⒀ y x x = − + + 2 2 1 3 3 1 3 2 4 3 ； ⒁ y x = − e sin2 ； ⒂ y xa x x a x = −+ − 2 2 2 2 . 解 （1） ' 2(2 1)(2 1)' 2(2 1)(4 1) 2 2 2 y = x − x + x − x + = x − x + x − 。 （2） ' (sin 3 )' ( )'sin 3 (3cos3 2sin 3 ) 2 2 2 y e x e x e x x x x x = + = + 。 （3） 2 3 2 3 2 3 3 3 (1 ) 2 3 (1 ) (1 )' 2 1 ' − − y = − + x + x = − x + x 。 （4） 2 1 2 ' 2 1 2 ln ln 1 ln 2 ln 1 ' ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ − ⎛ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x x x x x x x x y 。 （5） 3 3 2 3 y'= cos x (x )'= 3x cos x 。 （6） x x y x x 2 sin '= −sin ( )'= −

(x+1)”( +1 2√x+1x+√x+12√ 2√1+x( x 9)y'=[n(x4-1)-ln(x2 2x4+2 (10)y=(2 -2(2x+sin x) 4x+ cos x) 2x2+sin x)(2x2+sin x)' (1+ln2x) (1+ln2xx√1-x2) x2(1-x2) 2(1-x2)lnx-(1+ln2x)(1-2x2) (12) x'√l+cscx2-x(√1+csx2) (cot x csc x).(2x) 1+cscx2+x csc x cot x2 (+cscw (13) )+( =2(-)(2x2-1)(4x)+3(--)3x3+1)(9x 8 2x2 27 (14)y=esin(-sin?x)'=-sin 2xe-in

71 （7） 1 ( 1)' ( 1)' ' 2 1 1 x xx y x xx + ++ =⋅ − + ++ = 1 1 21 2 1 21 ( 1 ) x x xx x + + − + + ++ = 1 1 21 ( 1 ) x x x x x −− + + + + 。 （8） 2 2 2 2 2 2 (e )' 2 e ' 1 (e ) 1 e x x x x x y − − − − − = = − − = 1 2 2 2 − − x e x 。 （9） 4 4 2 4 ( 1)' 1 ' [ln( 1) ln( ]' 2 1 x yx x x x − = −− = − − = 4 4 2 2 ( 1) x x x + − 。 （10） 2 2 3 2(2 sin )' ' (2 sin ) x x y x x − + = + = 2 3 (2 sin ) 2(4 cos ) x x x x + − + 。 （11） 2 22 2 2 2 (1 ln ) ' 1 (1 ln )( 1 )' ' (1 ) x x x xx x y x x + − −+ − = − = 2 3 2 2 2 2 2 (1 ) 2(1 )ln (1 ln )(1 2 ) x x x x x x − − − + − 。 （12） 2 2 2 ' 1 csc ( 1 csc )' ' 1 csc x xx x y x + −+ = + 2 2 2 2 2 1 ( cot csc ) (2 ) 1 csc 2 1 csc 1 csc x x x x x x x − ⋅ + −⋅⋅ + = + 22 2 2 3 2 2 1 csc csc cot (1 csc ) x xxx x + + = + 。 （13） 3 2 3 4 2 3 ' ( )' ( )' 21 31 y x x = + − + 4 5 2 32 3 4 1 1 2( )(2 1) (4 ) 3( )(3 1) (9 ) 3 4 x x xx − − = − − +− + 4 5 2 23 3 4 8 27 (2 1) (3 1) 3 4 xx x x − − =− − − + 。 （14） 2 sin 2 ' e ( sin )' x y x − = − 2 sin sin 2 x x e− =− ⋅

(a2-x2+1)·(-÷)(-2x) (15)y'=( G23y=2 (√a2-x2)3 2.求下列函数的导数 (1)y=Isin x (2)y=In(csc x-cot x); 3)y t a arcsin (4)y=ln(x+√x2+a2); 解( In x sInx (2) (csc x-cot x) -cot xcscx-(CSc- x) CSC x o cscx-cot x cscx-cot x (3)y20I'va2-x+x(a-x)'+a(arcsin a>0 a2-x2+x() ,a<0 2 (4)y'= x (5)y=tx2-a+x2-ay-a2(+=a)y 3.设f(x)可导,求下列函数的导数:

72 （15） 2 2 2 2 ( ) ' ( )' x ax x y a x − + = − 2 2 2 2 2 2 2 23 1 ( 1) ( ) ( 2 ) 3 1 2 ( ) x ax x a x ax ax − + ⋅− ⋅− − + = + − − 4 22 4 2 3 2 2 2 2 3 ( ) x ax a a a x − ++ = − 。 ⒉ 求下列函数的导数： ⑴ y x = ln sin ； ⑵ y = ln(csc x − cot x)； ⑶ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + a x y x a x a arcsin 2 1 2 2 2 ； ⑷ y x xa =++ ln( ) 2 2 ； ⑸ y xx a a x x a = −− + − 1 2 22 2 22 ( ln( ) . 解 （1） 1 ' (sin ) ' cot sin y xx x = = 。 （2） (csc cot ) ' ' csc cot x x y x x − = = − 2 cot csc ( csc ) csc csc cot xx x x x x − −− = − 。 （3） 1 22 22 2 ' ' ( )' (arcsin )' 2 x y xa x xa x a a ⎛ ⎞ = −+ − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 22 2 22 2 1 1 1 (2) ( ) 2 2 1 x a axx a a x x a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − = −+ + − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2 , 0, , 0. ax a x a a x ⎧ − > ⎪ = ⎨ ⎪− < ⎩ − 。 （4） 2 2 2 2 ( )' ' x x a y x x a + + = + + 2 2 2 2 2 1 2 x x a x x a + + = + + 2 2 1 x a = + 。 （5） 2 2 22 22 2 2 2 1 ( )' ' [ ' ( )' ] 2 x xa y xx a xx a a x xa + − = −+ − − + − 2 2 22 2 22 22 1 1 2 x x x a xa x a x a x xa ⎡ ⎤ + ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ − = − + −⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − +− ⎣ ⎦ = 2 2 x − a 。 ⒊ 设 f x( )可导，求下列函数的导数：

(1)f(yx2); In x (3)√f(x); (4)arc tanf(x) (5)f(f(ex2) (6)sin(f(sin x)) f(x) f(() 解(1)f(√x2)=f(x2x2)=2x5f(x3) (2)1)=1)(1)=1 lnx八Ir Inx (3)I(x)= [f(x) ∫(x) f(x) 2√f(x) (4)[arctan f(x) 1+[f(x)2 (x)y=./(x) 1+f(x (5)[f(f(e)=f(f(e2)Lf(e)=ff(e2)/(e)(e) =2xef(e)f(f(e2)。 (6)sin(f(sin x)I'=cos(f(sin x))((sin x)'=cos(f(sin x))/'(sin x)(sin x) cos(f(sin x))f(sin x )cosx (7) f(x) f(x)八f(x)f2(x)(f( (8) f∫(f(x) fU(x)) 2((x) [f(x)= f'f(x))f(x) ((x) 4.用对数求导法求下列函数的导数: (1)y=x (x'+sin xiF

73 ⑴ f x ( ) 3 2 ； ⑵ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x f ln 1 ； ⑶ f x( ) ； ⑷ arc tan f (x) ； ⑸ f fex ( ( )) 2 ； ⑹ sin ( (sin )) f x ； ⑺ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ( ) 1 f x f ； ⑻ 1 f fx ( ( )) . 解 （1） 3 33 2 22 f ( )' '( )( )' x fx x = = '( ) 3 2 3 2 3 1 x f x − 。 （2） 1 11 ' ln ln ln f f x x x ′ ′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = ) ln 1 '( ln 1 2 x f x x − 。 （3） 1 [ ( )]' [ ( )]' 2 () f x fx f x = = 2 ( ) '( ) f x f x 。 （4） 2 1 [arctan ( )]' [ ( )]' 1 [ ( )] f x fx f x = + = 1 ( ) '( ) 2 f x f x + 。 （5） 2 22 [ ( ( ))]' '( ( ))[ ( )]' x xx f fe f fe fe = 2 22 '( ( )) '( )( )' x xx = f fe f e e =2 '( ) '( ( )) 2 2 2 x x x xe f e f f e 。 （6）[sin ( (sin ))]' cos( (sin ))( (sin )) ' f x f xf x = = cos( (sin )) '(sin )(sin ) ' f xf x x =cos( f (sin x)) f '(sin x)cos x。 （7） 1 11 ' () () () f f f x fx fx ′ ′ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ( ) 1 ' ( ) '( ) 2 f x f f x f x 。 （8） 2 1 '( ( )) [ ( )]' ( ( )) ( ( )) f fx f x f fx f fx ′ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ = ( )2 ( ( )) '( ( )) '( ) f f x f f x f x − 。 ⒋ 用对数求导法求下列函数的导数： ⑴ y x x = ； ⑵ y ( ) x x x 1 3 = + sin ； ⑶ y x x = cos ； ⑷ y x x = ln ( ) 2 1 + ；

y=∏I(x-x); (7)y=sin x 解由于(ny)=y,所以y=yny)。 (1) Iny=xIn x, y'=y(In y)'=y[x'Inx+x(Inx)=(1+Inx)x (2) Iny=-In(x'+sinx) y=y(ny)=yll- In(x'+sinx)+[in(x+sinx) x +sinx 1[ 3x2+cos x_(x'+sin x)I x(x +sin x) (3) In y=xIn cosx y'=y(xIn cos x)'=ylx'ln cos x+x(In cos x)]=(In cos x-x tan x)cosx (4) In y=x InIn(2 y=ylx'In In(2x+1+xInIn(2x+D)] InIn(2x+1)+ ln2(2x+1) (2x+1)ln(2x+1) (5) In y=Inx+=In(1-x2)--In(1+x) y'=ynx)+(n(1-x2)-(n(1+x) 3: (6) In v=>In(x-x

74 ⑸ y x x x = − + 1 1 2 3 ； ⑹ y xxi i n = − = ∏( ) 1 ； ⑺ y x x = sin . 解 由于 ' (ln )' y y y = ，所以 yyy ' (ln )' = 。 （1）ln ln yxx = , ' (ln )' [ 'ln (ln )'] (1 ln ) x y y y yx x x x xx = = + =+ 。 （2） ( ) 1 3 ln ln sin y xx x = + ， ( ) ( ) 1 1 3 3 yyy y x x x x ' (ln )' ln sin ln sin ' x x ⎡ ⎤ ′ ⎛⎞ ⎛⎞ = = ++ + ⎢ ⎥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎣ ⎦ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + + 2 3 3 2 1 3 ln( sin ) ( sin ) 3 cos ( sin ) x x x x x x x x x x x 。 （3）ln ln cos yx x = ， y yx x yx x x x ' ( ln cos ) ' [ 'ln cos (ln cos )'] = =+ =( x x x) x x ln cos − tan cos 。 （4）ln ln ln(2 1) yx x = + ， y yx x x x ' [ 'ln ln(2 1) (ln ln(2 1)) '] = ++ + = ln (2 1) (2 1)ln(2 1) 2 lnln(2 1) + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + x x x x x x 。 （5） 1 1 2 3 ln ln ln(1 ) ln(1 ) 2 2 yx x x = + −− + ， 1 1 2 3 ' [(ln )' (ln(1 ))' (ln(1 ))'] 2 2 yy x x x = + −− + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − − + − 2(1 ) 3 1 1 1 1 3 2 2 3 2 x x x x x x x x 。 （6） 1 ln ln( ) n i i y xx = = − ∑