ZQ系列二级圆柱齿轮减速器齿轮啮合参数的优化设计

D01I:10.13374/i.issn1001053x.1981.04.018 ZQ系列二级圆柱齿轮减速器齿轮啮合参数的优化设计 机械设计教研室 陈立周陈道南盛汉中温友淦臭清一 摘 要 本文研究了ZQ系列二级圆柱齿轮减速器齿轮啮合参数的优化设计问题。着重 讨论了在生产条件、工艺条件、材料以及其他一些技术条件不变的前提下，用优化 设计方法，改变原齿轮啮合参数，使其承载能力得到进一步的提高。计算结果表 明，新的啮合参数方案与原方案相比。其接触强度承载能力约增加16%，弯曲强度 :·其小齿轮提高18%以上，若改变变位系数的分配，可以提高30%左右。这是很有实 际意义的。 在文中，还叙述了优化设计数学模型的建立，约束随机向量优化方法的基本思 想与样細的程序框图，并对72种减速器的计算结果进行数据处理，得出最优的齿轮 啮合参数方案，且对它的技术经济效果进行了初步分析。 一、引 言 ZQ型系列减速器是起重机各机构中最常用的一种卧式减速器。它的传动性能、承载能 力、使用寿命等，对起重运输机械的工作质量及其可靠性都有一定的影响。为了进一步挖掘 渐开线齿轮传动的潜在能力，我们对该系列减速器的齿轮啦合参数，采用优化设计的方法， 提出一个新的方案，以期在技术条件不作很大变动的前提下，使其承载能力得到进一步提 高，或者说，在相同的正常的使用条件下，延长它的寿命。 本文主要阐明ZQ系列减速器齿轮啮合参数的优化设计方法及其结果，以期为提高设计 水平、改进机械工业的产品质量作出一点贡献。 本课题曾得到一机部矿山及重型机械局技术处以及有关科研单位和工厂的大力支持，特 此表示谢意。 二、齿轮啮合参数优化设计方法与程序设计 ·优化设计是一种模式设计。为了使用这种设计方法，首先必须根据设计问题，建立一个 数学模型。 1,,齿轮啮合参数优化设计的数学模型 齿轮啮合参数优化设计的目的可以根据要求来确定。这次对ZQ系列减速器的齿轮啮合 参数的优化设计，是在不改变原箱体、轴与轴承结构条件下，通过优选啮合参数，使各级的 承载能力都达到最大值，并使高速级与低速级达到等强度条件。 161

系列二级圆柱齿轮减速器齿轮啮合参数的优化设计 机 械 设 计教研 室 陈立 周 陈道南 盛汉 中 沮友 渔 兵清 摘 要 本文研 究 了 系列二 级 圆柱 齿轮 减速 器 齿 轮 啮合参数的 优化 设 计 问题 。 若重 讨论 了在 生产 条件 、 工 艺条件 、 材 料 以及 其他一 些技 术条件不 变的前提 下 ， 用 优化 设 计方法 ， 改变原 齿 轮啮合 参 数 ， 使 其承载 能力 得 到 进 一 步的提高 。 计算 结果 表 明 ， 新 的啮合 参数方 案与原 方 案相 比 。 其接 触强度 承 载 能力 约增加 ， 弯 曲强度 其小 齿轮提 高 以上 ， 若 改变变位 系数 的分 配 ， 可 以提 高 。 左 右 。 这 是 很 有实 际意义 的 。 在文 中 ， 还 叙述 了 优化 设 计数 学模型 的建 立 ， 约束随机 向量 优化 方 法 的墓 本思 想 与样细 的程序 框 图 ， 并对 种减速器 的计算结果 进行 数据处理 ， 得 出最 优 的齿轮 啮合参数方 案 ， 且 对 它 的技 术 经 济效 果进行 了初 步分析 。 引 言 型 系列减速 器是 起重机 各机 构 中最 常用 的一种 卧式减速 器 。 它 的传动 性能 、 承载能 力 、 使用寿 命等 ， 对 起重运输机械的工 作质 量 及 其 可靠 性都有一定 的影响 。 为 了进一 步挖掘 渐 开线齿轮传 动 的 潜在 能 力 ， 我们 对 该 系列减速器 的齿轮啮 合 参数 ， 采 用 优 化设计 的方 法 ， 提出一 个新 的方 案 ， 以 期在 技术 条件 不 作很大 变 动 的 前提下 ， 使其承 载能力得到 进一 步提 高 ， 或者说 ， 在 相 同 的正常 的使用 条件下 ， 延 长 它 的寿 命 。 本文 主要 阐明 系列 减速器齿轮啮合参数的 优化设计方 法 及其结 果 ， 以 期为提高设计 水平 、 改进机械工业 的 产品质 量 作 出一点贡 献 。 本课题 曾得到一机部矿 山 及重型 机械局 技术处以 及有关科研单位 和工 厂 的大力 支持 ， 特 此 表示谢意 。 二 、 齿轮啮合参 数优 化设 计方 法 与程 序设 计 、 优化设计是 一种模 式设计 。 为了使用 这种设 计方 法 ， 首 先 必须 根 据设 计 问 题 ， 建立一个 数学模型 。 卜 齿轮 啮合参教优 化设 计 的教学摸皿 齿松啮 合 参数优 化设 计 的 目的可 以 根 据要求 来 确定 。 这 次对 系列 减速 器 的 齿轮啮 合 今数的优化设计 ， 是在 不 改变原箱体 、 轴 与轴承结 构条件下 ， 通过优选啮 合 参数 ， 使 各级的 承载能力都达到 最大值 ， 并 使 高速级 与 低速级 达 到 等强 度 条件 。 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1981．04．018

按照ISO的渐开线齿轮传动承载能力计算方法，一对变位齿轮传动按接触强度的允许圆 周力可以表示为【引 F,=C·p(x) (1) 式中C为一个与齿轮材质、齿轮布置型式、工作状况有关的系数，当这些条件相同时，C值 是一个常数。 仰（又）为反映接触强度承载能力大小的系数，其值为 K,·a+…coaa' p(8)=0:2a.i cos28 (2) 式中a为实际中心距，i为传动比，i=Z2/Z1多B为分度圆螺旋角，a:为端面压力角，a,' 为端面啮合角，K,为动载荷系数，其值为 K,=1+0.0m品 (3) 由(1)和(2)式可见齿轮的接触强度承载能力与传动比、分度圆螺旋角、端面啮合角或 关，其中端面啮合角的大小又决定于中心距的分离系数y:,在一定的实际中心距和模数的 条件下，它将由这级齿轮的齿数和（Z。=Z:+Z2)多少而定。 设计变量的确定为了提高减速器的接触强度承载能力，将影响承载能力系数（区）的 因素列为设计变量。为此取 11 X2 & X= (4) y:2 式中y:1和y,2分别表示高速级与低速级中心距的分离系数。 目标函数的确定在许多可行设计方案中，用来判断设计方案好坏标准的函数，称为优 化设计的目标函数或评价函数，它是设计变量的实值函数 F(X)=F(x1,x2,…,xn) (5) 当要求同时优化几项设计指标时，可以用线性组合的方法，即 p F()= w,f,() (6) j=1 式中f,(区)(j=1,2,…,p)为p项设计指标。 w,为加权参数，它由各项设计指标的重要程度、它们的量级与量纲不同而定。 由于采用极小化的优化程序，所以将高速级和低速级齿轮的承载能力系数转化为如下设 计指标： f1(x)=1/p1(x)-→min (7) 和 f,(x)=1/p2(x)→min (8) 为了使高速级与低速级尽可能达到等接触强度，可用中间轴上二个齿轮允许传递力矩差 的相对值来建立这项设计指标，即 162

按照 的渐开线齿轮传动承载能 力计算方 法 ， 一对 变位齿轮传动按 接触 强度的 允许回 周 力可 以 表示为 川 · 甲 了 式 中 为一个与齿轮材质 、 齿轮布置型式 、 工作状 况 有关 的 系数 ， 当这些 条件相同 时 ， 值 是一个常数 。 甲 又 为反映接触 强度承载能 力大小的 系数 ， 甲 了 争 其值为 ， ， ’ 日 式 中 为实际 中心 距 ， 为传动 比 ， 为端面啮 合 角， ， 为动载荷 系数 ， ， 日为分 度回螺旋 角， 。 为端面压 力角 ， 声 其值为 ， 鱼 由 和 式可见齿轮的接触 强度承载能力与传动 比 、 分 度 圆螺旋 角 、 端面啮合 角拼 关 ， 其中端面啮合 角的大小又决定于 中心 距 的分 离系数 ， 在一定 的 实际 中心 距 和模 数 的 条件下 ， 它将 由这 级齿轮的齿数和 。 多少而定 。 设计 变，的确定 为了提高减速 器 的 接触 强度承载 能 力 ， 将影响承载能力系数 甲 又 的 因素列 为设计变量 。 为此取 尸口 进且 … 陈以卜匡 一 、滩、卫‘ 昌 一 一一 式 中 和 分别 表示高速级 与低速级 中心 距 的分 离系数 。 目标函 橄 的确定 在许 多可行设 计方 案 中 ， 用 来判断设计方 案好坏 标准的 函数 ， 称 为优 化设 计的 目标函数或评价 函数 ， 它是设计变量 的 实值 函数 了 ， ， … … ， 当要求同 时优 化几 项设计 指标 时 ， 可 以 用 线性组合 的方 法 ， 即 刀 ，‘ ， 式 中 ， 了 ， ， … … ， 为 项设计指标 。 ，为加 权参数 ， 它 由 各项设计 指标的 重要程度 、 它们 的量级 与 量纲 不同而定 。 由于采用 极小化的 优化程序 ， 所 以 将高速级 和 低速级齿轮的承载能力系数转化为如下 设 计 指标 了 甲 又 一今 和 又 甲 又卜一 为 了使 高速级 与 低速级尽可能 达 到 等接触 强度 ， 可用 中间轴 上二个齿轮 允许传 递 力矩差 的相对 值来建立 这 项设 计 指标 ， 即 落母

f,)=19'（R):'(X0L→min p1'() (9) 上面式中 p1()=0.2a12 K:·Ga1+7·co3agai 11 cos28 (10) p:()=0.2a22 K:‘(i,+1)·cosa3@ 12 (11) cos28 p1(x)=2a·p,(x) 1+i1 (12) p(x)=0: 2a：一·p:(X) (13) 其中低速级的传动比为 iz=i/i (14) i为ZQ系列减速器的名义总传动比。下注脚1和2分别表示高速级与低速级的参数。 为了将(10)~(13)式表示为设计变量的函数关系，还需要利用下列关系式 Z1= cosB 2 0.9-yu1+i (15) z,-(68-y…)+i cosB 2 (16) 1 tga:-V (1-yx0.2/cosB)-cos aI (17) 1 tga:=V (1-y:x0.2/cosB)"cos aI (18) 因此，目标函数为 F(X)=WIf(X)+W:f2(X)+Wafa(X) (19) 其中加权参数的取法如下： a≤f:(x)≤B,(i=1,2,3) (20) 称 △f:()B,-a4 2 (21) 为各项指标的容限，并取加权参数为 W:=(△f,x，i=1,23) (22) 这样可以起到几项设计指标等量统一。 约桌最件的建立由设计变量的上下边界及某些生产工艺、技术性能的限制所建立的约 束函数，称为设计约束条件，通常表示成不等式约束条件： g:(x)≥0或g(x)≤0(i=1,2…m) (23) 163

了 甲 ， 沪 戈 一 中 产 了川 产 了 今 上 面 式 中 甲 ， 了 一 · 兴黯严红 泛兴瑞丛 甲 了 二 一 一 甲 一了 又 一 ， 甲 了 ， ， ， 一舟丁于 。 其 中低 速 级 的传动 比为 ， 为 系列减速 器 的 名义 总传 动 比 。 下 注脚 和 分 别表示 高速 级与 低速 级 的 参数 。 为了将 工 式 表示 为设 计 变量 的 函数关 系 ， 还需要利 用下 列关 系式 餐瑟 一 一 岸 厂 畜 ， 日 、 一 恶 】 气宁犷 犷 甲 几 丫刃厂了几万盯刃获万田砚 万叹石 一 。 丫 一 日 “ “ 因此 ， 目标 函数 为 叉 ， 了 其 中加权 参数 的取 法如 下 ‘ 三 ‘ 了 三 日 ‘ ， 了 了 ， 称 △ ‘ 了 二 ﹄ 一 一 口︺︸ 为各项 指标 的 容限 ， 并取 加权参数为 、 芍叮谈戈矛 ， “ “ ‘ ， ， ， 这样可以起到几 项设 计 指标等 量 统一 。 约京条件 的趁立 由设 计 变量 的 上下边界 及某 些生产工 艺 、 束 函数 ， 称为设计约束 条件 ， 通 常表示 成 不 等式 约束 条件 ‘ 了 七 或 ‘ 又 三 ， … … 技术性 能 的 限 制所建立 的约 母

当存在等式约束条件 h,()=0(j=1,2…p<n) (24) 时，一般总可以用消元法消去等约束条件。与此相应，也减少了目标函数的维数。 对于分度圆螺旋角B的最小值应保证轴向的重迭系数 bsinB eg=元ma -≥1 (25) 式中齿宽b=0.4a,mn=0.02a,最大的B<15°，以便使轴承的负荷不致增加过大。 减速器高速级与低速级传动比的分配由润滑条件考虑，即： i,≤-0.01×i (26) b为系数，其值为 (27) 式中〔o〕H2/〔o〕H1为第二级齿轮与第一级齿轮接触许用应力比，取0.9，门2为低速级的传动 效率，取0.98。 为了使低速级的大齿轮能放入原箱体中，因此，低速级的大齿轮直径d,不宜过大。由于 2i2 2i1 d=2+1a,d2=i+1)a, 所以取 2i1- 2i2 (i1+i)a1之(i2+1)0.8a2 (28) 根据以上各种设计要求，可以建立如下不等式约束条件： g1(x)=2XiX-1≥0 0.1×π g(X)=最-x120 8)=(-0.o1i）-x:20 (29) g(x)= 1+1 2a2一0.820 X2+1 X2 i g(X)=x30 g。(☒)=1-x3≥0 g,()=x≥0 g8()=1-x≥0 由不等式约束g:()≥0(i=1,2,…8)在设计空间R‘中，构成一个可行设计区域D。 在这个可行区域内都是可行设计方案。现在的问题是采用什么方法，从这些可行方案中，寻 找出一个目标函数为最小值，或者说，接触强度承载能力为最高的一个设计方案，即x或 X0pl。 164

当存在等式约束条件 一 了 ， … … 时 ， 一般 总可以 用 消元法 消去等约束条件 。 与此 相 应 ， 也减少 了 目标 函数的维数 。 对于分 度 圆螺旋 角 日的 最小值应保证轴 向的重 迭 系数 日 ￡ 二 二 二丁－ ‘ 二 式 中齿宽 。 ， 。 。 ， 最大的 日 。 ， 以便使轴承的 负荷不致 增加 过大 。 减速 器高速级与低 速级传动 比 的分 配 由润滑条件考虑 ， 即 二夸 一 。 · ” ‘ 为系数 ， 其值为 石户 ‘ 一 、 名 矛产书只 一 · 冬丫提卫三 】 月 几 艺 、 式 中〔 。 〕 〔 〕 。 ，为 第二级 齿轮与 第一级 齿轮接触许用 应 力比 ， 取 幻 为低速级 的传动 效 率 ， 取。 。 为 了使 低速 级 的大齿轮能放入原箱体中 ， 因此 ， 低速级 的大齿轮 直径 ‘ 不 宜过大 。 由于 ， 万一一二，几一 一 ， 二 又不两了 ‘ ， 所 以取 几 一 “ ‘ 乙 一 万几下万 狂 根 据 以 上 各种设 计要求 ， 可 以 建立如下 不 等式 约束 条件 、 … ‘ 了 兀 一 七 了 几 一 刁 又 · 誓 一 。 · “ “ 一 之” ‘ 了 茎全一 之 。 又 七 。 了 一 全 了 ‘ 全 。 了 一 七 由不 等式 约束 ‘ 了 七。 二 ， ， … … 在 设计 空 间 ‘ 中 ， 构成一个可 行设计 区域 。 ， 在 这个可 行 区域 内都是可行设计方 案 。 现在 的 问题是 采用什 么方 法 ， 从这些可 行方案中 ， 寻 找 出一 个 目标 函数为 最小值 ， 或者 说 ， 接触 强度 承 载能力为最 高的一 个 设计方案 ， 即 了 井 或 了 。

2.优化方法与程序设计 由(7)~(19)式和(29)式看 g1()=0 X全局最优点g,(X)=0 出，目标函数F()和约束函数g:(X) 8(X)￥0 (i=1,2,…8)是设计变量的非 下周部最优点 线性函数，属于非线性规划问题。这 类问题的求解方法很多。 8:r)=0 本文采用约束问题的直接解法一 随机向量法。它的基本思想可以用一 个2维问题来说明。如图1所示，在 可行区域中任意取一个初始点又() g(x)=0 —X1 以它为圆心，试验步长h为半径作一 g6(X)=0 圆（在n维歌氏空间中是超球面），在 图1 开始 、结桌 xte),8,t,h,N,M 特超Fx) 随机产生X) 否 又1可行？ 是 K车t F,F() , 人否 随机产生{81八，j=1,2…N -x?是 X11车X)+b8” 百 是 ij+1 Ft车F(X)) 1F-Fl≤8 IF.I 11可行3> 否 是 否 i<N K<M 了是 F(X41=min{X1),j=1,2,……N} F大F(《】 8幸x)-x)) 是 F<F。 否 是 否 p1.3 p卡0.7 F<F. “98 K午K+1 X可 图2 165

优化方法与棍序设计 由 式和 式 看 出 ， 目标 函数 又 和 约束 函数 ， 又 ， ， … … 是设计 变 量 的 非 线性函数 ， 属 二 非 线性规 划 问题 。 这 类问题的 求解方 法 很 多 。 本文 采用 约 束 问 题 的 直 接解法一 随机向量 法 。 它的 墓 本思 想可 以 用 一 个 维 问题 来 说明 。 如 图 所示 ， 在 可 行 区 域 中 任意 取 一 个初 始点了 “ ’ 以 它为圆心 ， 试验 步 长 为半径作一 圆 在 维 欧氏空 间中是 超球面 ， 在 了 之 被机产生又‘ “ ， 又‘ ，东 又“ ， 云 叉 “ ，东又 ‘ ， 叉‘引 叉川 戈‘ ， 刃《 ’ 之 矛 川拿 了 川 ‘叉 “ ’ 二 胜释七卜’ “ ’ ， ’ ， ’ ‘ ’ “ “ ， 、沼 刀丰了“ ，一 了 《 ， ， 《 “ 忿刘卜 ，’ 十 刃 东卜 又 气“ ’ 》 东