D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1984.01.032 北京钢铁学院学报 1984年第1期 带有随机系数的脱碳动力学 方程的某些探讨 数学教研室杜才难 摘 要 本文在[1]的基础上作了较一般的推广。将脱碳动力学模型中的容量传质系 数作为随机系数来处理。在某些假定条件下，求出了解过程的理论表达式，并进 行了矩函数计算。 关于LD法炼钢过程中脱碳动力学随机模型的建立和求解问题，在文〔1〕中作了初步 探讨。在那里，容易传质系数K:(i=1,2,3)是作为实验数据的统计平均值来处理的， 即当作确定性常数来对待的。然而，在生产实际中，容量传质系数同样受到众多随机因素 的影响（例如温度、炉次以及表面情况的影响等等），通常情况下应当作为随机参量来处 理。只要具备一定的统计信息，就不难得到它的近似概率分布（例如在正常情况下，可以 作为高斯随机变量来处理)。 本文在〔1〕的基础上，首先将系数K,(i=1,2,3)作为一般平方可积随机过程处 理，求得了解过程的表达式：进而在K:(i=1,2,3)为随机变量的特殊情况下，以及在 某些独立性条件的假定下，计算了解过程的矩函数。 一、带有随机系数模型的求解 1。善本假定和随机模型 沿用〔1〕中所建立的随机模型，根据实际情况，可假定容量传质系数K:(=1,2,3) 为平方可积随机过程，即K(eL:{():B∫0(u)d<},并假定K()是 均方连续及样本连续的随机过程(S,P)，则可得脱碳动力学随机模型如下： -K,(t)tdt+dB,(t),C(0)=Co,0st<ti, dc(t)= -K,(t)dt +dB2 (t), t,≤t<tz, (1) -K3(t)C(t)dt+dB3(t), t2≤t≤ta. 其中B1(t)(i=1,2,3)是均值为零，协方差函数μ(t,s)=2Dmin(t,s),(i=1,2,3) 的Brown运动即Wiener s.p.,Co是模型(1)的初始条件，并假定B:(t)、K(t)、(i=1 2,3)与C两两独立。 190
北 京 钢 铁 学 院 学 报 日 年 策 翔 带有随机系数的脱碳动力学 方程的某些探讨 数 学教研室 杜 才难 摘 要 本文在 〕 的基础上作了较一般的推广 。 将脱碳动力学模型 中的容量传质系 数作为随机系数来处理 。 在某些 假 定条件下 ， 求出了解过程 的理论表达 式 ， 并进 行了矩 函数计算 。 关于 法炼钢过程 中脱碳动力学随机模型 的建立 和求解 问题 ， 在文 〔 〕 中作 了初步 探讨 。 在那里 ， 容易传质 系数 ， ， 是作为实验数据的统计平均值来处理 的 ， 即当作确定性常数来对 待的 。 然而 ， 在生产实际 中 ， 容量传质 系 数 同样受到众多随机因素 的影响 例如温度 、 炉次以及表面情况 的影 响等等 ， 通常情况下 应 当作为随 机 参 量 来处 理 。 只要具备一定的统计信息 ， 就不 难得到它的近似概率分布 例如在正常情况下 ， 可 以 作为高斯随机变量来处理 。 本文在 〔 〕 的基础上 ， 首先将系数 ， ， 作为一般平方可积随 机 过 程 处 理 ， 求得了解过程 的表达式 ， 进而在 。 ， ， 为随机变量 的特殊情况下 ， 以及在 某些独立性条件的假定下 ， 计算 了解过程 的矩 函数 。 一 、 带有随机系数模型的求解 ， 签本假定和随机棋型 沿用 〔 〕 中所建立 的随机模型 ，根据实际情况 ， 为平方可积随 机 过 程 ， 即 “ ，。 垒 ，“ ， 可假定容量传质系数 式二 工 ， ， 中 ， 并 暇 定 是 均方连续及样本连续的随机过程 ， 则 可得脱碳动力学随机模型 如下 一 ， 。 ， 几户、 、矛 一 ， 一 。 ， 镇 ， 一 《 。 。 ‘矛 产‘ 一 ‘ 矛、 ‘ 产、 砚 其 中 ‘ ， ， 是均值为零 ， 协方差 函数 林 ， ， ， ， ， 的 运动即 ， 。 是模型 的初始 条件 ， 并假定 。 、 、 ， 与 。 两两 独立 。 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1984．01．032
2。随机模型的求解 在上述假定下，对方程(1)求解。解法参看〔2〕、〔3)。 1)第一阶段(0≤t<t:)的解过程为 c=c-Jk,adu+∫gaB,(、 (2) 上式右边第一个积分为均方Riemann积分，在假定K:(u)是平方可积过程的条件下，由均 方R-积分的性质知这积分存在、唯一且均方连续[2】〔3]，第二个积分是It6积分，被积函 数X(t)=1,是均方连续的平方可积过程，且与B,(t)独立，由It6积分存在定理知，这积 分也存在且唯一[3】[)。于是积分后得均方解为 c0=c-∫aK@)i+△B (3) 其中△B1(t)=B1(t)-B1(0),且P{B,(0)=0}=1。 2)第二阶段(t:≤t<tz)的解过程可类似地得到，即 cc-Kd. (4) 其中c1=c()=c-0eK,(adu+a8(,ip.,而△B:(=B,(0-B,) =B2(t)-B1(t1), (由解过程C(t)及Wiener过程的均方连续性)。· 3)第三阶段(t2≤t≤t。)的解过程为 C-C.exp(-K,(u)du)+ +0epc∫K,edaB,o, (5) (5)式右边的第一个积分为均方R-积分，它存在且唯一，第二个积分It6积分，在K,(u) 与△B,(u)独立的条件下，不难证明exp〔K,(u)du)与B(u)独立，故由It积分的 存在定理〔3][]，它存在且唯一。这里 CC-(d+AB.(.ip. (6) 总之，得到方程(1)解过程的表达式为 c-∫。uk:a)du+AB1(t, 0≤t<t1i c:-∫K,(a)du+△B2t, t1≤t<t23 C(t)= C.exp(-J:.Ka()du+ (7) +(i)x∫K,adu)aB,s, t2≤t≤t。 191
随机模型 的求解 在上述 假定下 ， 对方程 求解 。 解法参看 〔 〕 、 第一 阶段 ， 的解过程为 〔 〕 。 一 ’ 。 ， 。 、 ’ 。 、 “ 甘 上式右边第一 个积 分为均方 积分 ， 在假定 是 平方可积过程的条件下 ， 由均 方 一 积分的性质 知这积分存在 、 唯一且 均方连续 〕 〔 〕 ， 第二个积分是 盆积分 ， 被积 函 数 二 ， 是均方连续的平方可积过程 ， 且 与 独立 ， 由 占积分存在定 理知 ， 这积 分也存在且 唯一 〕 〕 。 于是积分后得均方解为 。 一 ’ 。 △ 、 其中△ 一 ， 且 。 第二 阶段 《 的解过程可类似地得到 ， 即 。 ， ， 一 丁 其 「， 。 ， 二 ， 。 一 ’ △ ， ， △ ， ， 而△ 一 一 ， 由解过程 及 过程 的均方连续性 第三 阶段 成 镇 的解过程为 ’ “ 〔 一 ， ” 〕 · “ ， 二 〔 厂 ‘ ‘ · ，‘ · 〕 ‘ “ ‘ ， ， 式 右边的第一 个积 分为均方 一积分 ， 它存在且唯一 ， 第二个积分 仓积分 ， 在 与△ · 独 立 的条件下 ， 不 难证明二 〔 丁 ‘ · ， · ，与 · ，独立 ， 故由‘，· 积 分的 存在定理 “ 」 〔 〕 ， 知它 存在且 唯一 。 这里 “ “ 一 总之 ， 得到方程 ’ △日 ， 盆 解过程 的 表 达式为 △母 ， ， 一 内 △ ， ， 一 “ ， 。 。 卜 ‘ · ，‘一 魂 一 ‘， 二 〔 丁 ‘ “ ， · 〕 ‘ “ ‘ ， 蕊
4、K(t)(i=1,2,3)为随机变量的情形 当K(t)=K:(i=1,2,3)为常随机过程，即已知的R.V.时，（亦即可由统计资料 求得其概率分布时)则由(7)得 C0-K1t2+△B1(t), 0≤t<t1事 C1-K2(t-t1)+△B2(t), t,≤t<t2s C(t)=fC2exp〔-Ka·(t-tz)〕+ (8) +()exp〔-K(t-s)dB,(s,t2≤t≤t 其中初值C!、C2类似地可由Co表出。注意，这里K1(i=1,2,3)是R.V.。 当K(t)=K,(i=1,2,3)为确定性常数时，就同〔1)中的脱碳过程表达式(19) 完全一致。 二、解过程C(t)的矩函数计算 为简单和实用起见，下面只考虑K(t)=K:(i=1,2,3)是R.V.的情形。 设R,V.K(t)=K:(i=1,2,3)的分布为已知，其期望与方程差分别为 E{K}=k,D{K:}=oK7,(i=1,2,3), (9) 且设K与△B(t),C1(i=1,2,3,j=0,1,2)两两独立。 下面来计算C(t)的矩函数。 1.均值函数：mc(t)=E{C(t)} 1°第一阶段：当0≤t<t1时，有 mc()=E1C0-2Kt2+AB1()} -Co-2kit, (10) 2°第二阶段：当t1≤t<t2时，有 mc(t)=E{C1-K2·(t-t2)+△B2(t)} =C1-k2(t-t:), (11) 3第三阶段：当t2≤t≤t时，有 mc(t)=E{C2exp〔-Kg'(t-tz)〕+ +(f:exp(-K-(t-dB,()) 由K3与△B,(s)的独立性，不难推知exp〔-K3(t-s))与△Bg(s)独立。于是，有 mc(t)=c2E{exp〔-K3(t-t2)〕}+ +E1ep(-K-)d(EB,6） =c2E{exp〔-Kg(t-t2)】}, (12) △ 引进数GK:(x)=E{cxp〔-K3·x〕}，已知K:的概率分布时，不难求得其解析表达 192
、 ， ， 为随机变量的情形 当 ， ， 为常随机过程 ， 求得其概率分布时 则由 得 · 。 一 告 △ ， ， 一 · 一 △ ， 〔 一 · 一 〕 即 已知的 时 ， 亦即可 由统 计资料 ， 镇 、 、 ， ‘ 。 〔 一 · 卜 〕 。 ， 、 、 · ‘ 其 中初值 、 类似地可 由 。 表 出 。 注意 ， 这 里 二 ， ， 是 。 当 二 ，， ， ， 为确定性常数 时 ， 就 同 〔 〕 中的脱碳过程表 达 式 完全一致 。 二 、 解过程 的矩函 数计算 为简单和实用起见 ， 下 面只 考虑 ， ， ， 是 的情形 。 设 ， ， 的分布为 已知 ， 其期望与方程差分别为 ‘ ，， ， 二 资 ， ， ， ， 且 设 与△ ， ， ， ， 二 ， ， 两两独立 。 下 面来计算 的矩函数 。 均值函数 ” 第一 阶段 当 成 时 ， 有 。 ‘，， ‘ 。 一 ‘ ， △ “ ，， ‘ 。 一 一 “ ‘ ， “ 第二 阶段 当 《 时 ， 有 。 一 · 一 △ 万 一 · 一 ， “ 第三 阶段 当 簇 《 。 时 ， 有 。 〔 一 · 一 〕 【 ’ 。 卜 一 〕 。 。 由 与△ 的独立性 ， 不 难推知 〔 一 · 一 〕 与△ 独立 。 于是 ， 有 。 亡 〔 一 · 一 〕 ‘ ‘ 二 〔 一 ‘ · ‘，一，〕 ，“ “ “ ‘ ，， 万 〔 一 ，· 一 〕 ， △ 引进 杯 数 。 〔 一 · 〕 ， 已 知 的概率分布时 ， 不 难求得其解 析 表 达 刁
式。上式中C、C1、C2仆为C、C1、C:的均值，且C:、C:可由C表出。总之，得脱碳 过程C(t)的均值函数为 Cok 0≤t<t1 me(t)= c1-k2(t-t1), t1≤t<t2s (13) c2E{exh〔-K3(t-t2))} 三C2GK3(t-t2) t2≤t≤t。. 与文〔1)中的均值函数(20)比较：第一、二阶段一致，第三阶段略有不同，因为这里 的K3是R.V.o 2.协方差函数 △ Hcc(t,s)=E{〔C(t)-me(t))〔C(s)-mc(s)〕} =E{C(t)C(s)}-E{C(t)}·E{C(s)}. 1第一阶段：当0≤t,s<t:时，有 ce,s)=E{〔(C(t)-c）-2K:-k:2+△B,(0)]3 〔(C(t)-C)-(K1-k1)s2+△B:(s))} =02。+s2t2.2 (14) 4 o +2DImin(t,s), k 2第二阶段：当t1≤t,s<t2时，有 ucc(t,s)=E{〔(C1-c1)-K2-k2)(t-t)+△B2(t))· ·〔(C1-C1)-(K2-k2)(s-t)+△B2(s))} =a +o(t--t)(s-t:)+2D2 C min(t,s)--t1], (15) 3第三阶段：当t2≤t,s≤t,时，有 cc(t,s)=E{〔C2exp（-Kg·(t-t2))+ +∫exp(-Kt-dB,()cc:exp(-K,(s-2》+0∫ ex-Ks-》aB,o)}-E(C,exp(-Kt-t》+Di exp(-K;.(-c))dB3()}.E{C2exp (-K,.(s-t2))+ +exK(s-》dB,(m} 非意到函数GK(X)及独立性假设，可得 ,=oG+s-2e+2DjjEepk ·(t-u)exp(-K:(s-v)}dd〔min(u,v)-tz〕 min(s.1) -0 GK:(t+s-2t:)+2D3 Gik:(t+s-2u)du, (16) l: 193
式 。 式 卜 。 、 ，、 亡 齐为 。 、 、 的均值 ， 且石 、 亡 可 由亡。 表出 。 总之 ， 得 脱碳 过 程 的均值函数为 。 。 一 遗 一 ， ， 艺 ， 一 · 一 ， ， 行 〔 一 · 一 〕 三 一 一， 飞。 ， 《 成 。 与文 〔 〕 中的均值函数 比较 第一 、 二 阶段一 致 ， 第三 阶段略有不 同 ， 因 为这里 的 是 。 协方差函数 △ 一。 。 ， 〔 一 。 〕 〔 一 。 〕 一 · “ 第一 阶段 当 簇 ， 时 ， 有 ‘ 。 。 “ ， ，一 ‘ 〔 ‘ “ ，，一 ‘ 。 ，一 ‘ 一 ，，‘ ’ △ 、 “ ，〕 〔 一 。 一 士 一 △ 〕 ， ， 。 第二 阶段 当 《 ， 时 ， 有 一。 ， 〔 一 亡 一 一 一 △ 〕 · · 〔 一 亡 一 一 一 △ 〕 乍 圣 是 · ‘ 一 ‘ 一 ，， 〔 ，， 一 ’ ， 〕 。 第三 阶段 当 成 ， 攫 时 ， 有 卜 。 ， 〔 一 · 一 · “ ， 二 ‘ 一 ‘ · “ 一，， “ ‘ · ，〕 · 〔 二 ‘ 一 ‘ · ‘ 一 ， ，，“ ‘ ’ 丁 卜口 二 一 一 “ · 〕 卜 、 二 ‘ 一 ‘ · “ 一 ， ，，· ‘，， 一 · 一 下 · 一 。 · 一 一 · 一 户 ‘护、 甲，几 、声 注意到函 数 及独立 性假设 ， 可得 。 一 ， 卜 · 一 一 ， ，· 丁丁 ‘ 。 · ‘ 一 ‘ · · 一 一 。 一 〔 ， 一 〕 二 墓。 ， 一 ， 。 一
合并(14)(15)(16)三式，即得s.p.C(t),teT=〔0，t。)的协方差函数为 2+2+2Daia,, 0≤t,s<t 012+(t-t1)(s-t1)a2K1+ μa(t,s)= +2D2 min(t,s)-t], ti≤t,s<t2g g22GK3(t+s-2t2)+ (17) min(t,s)· +2D: GK3(t+s-2u)du, t2≤t,s≤t。 此外，当t、s分属不同时间区间时，ucc(t,s)可类似求得。 比较文〔1)中的(26)式：(17)式比它多了含σ2K1(i=1,2)的项。这正是由于 考虑了K:(i=1,2)作为R.v.的结果，而(17式的第三段与文〔1)的(26)式第三段在 形式上更不相同，但当K:为确定性常数时后者可由前者得到，即后者恰为前者之特例。 3。方差函数 在(17)式中令t=s即得s.p.C(t),teI的方差函数： /go2+22D1t, 4 0≤t<t1s 02(t)=o12+(t-ti)2gx+2D2t-t2), t1≤t<t2 (18) g22GK,〔2(t-t2)〕+ r t +2D, GK,〔2(t-u)〕du, t2≤t≤te, 与文〔1)(27)式比较，三个阶段中的表达式都略有不同，但在K:(i=1,2,3)为确 定性常数时，由(18)式可得文〔1〕的(27)式。 在完成本文的过程中，曾得到曲英副教授和秦明达同志的热情支持和帮助，特此致 谢。 参考文献 〔1〕秦明达：用随机微分方程构造脱碳动力学随机模型。北京钢铁学院学报，1982 年第4期，p.P.89~99, (2)T.T.Soong:Random differential equations in science and engineering,ACADEMIC PRESS,New york and landon,1973.chp. 4.p.p.99~100,chp.5.p.p.122~123s 〔3〕张炳根、赵玉芝：科学与工程中的随机微分方程。海洋出版社，1980年，第五 章p,P,139~141及第六章p,P.164~165, C4)王梓坤：随机过程论。科学出版社，1978年，第十章p.P.427~428。 194
合并 三式 ， 即得 ， 〔 ， 。 〕 的协方差 函数 为 。 ， 、 一 ‘ 。 。 丫、 · ， 、 。 ‘ 一了 正 ‘ ‘” ， ， 一 … ’ ，一 ’ 一 ’ ‘ 〔 ， ，， 一 ‘ 〕 ， 一 《 一 ， 件 。 。 ， 《 ， ， ， 一 ， ‘ ， 《 护 曰， 、一、 此外 ， 当 、 分属不 同时间区间时 ， 队 。 ， 可类 似求得 。 比较文 〔 〕 中的 式 式 比它多了含 ， ， 的项 。 这正是 由于 考虑了 ， 幻 作为 的结果 ， 而 式的第三段与文 〔 〕 的 式第三段 在 形式上更不 相同 ， 但当 为确定性常数时后 者可 由前者得到 ， 即后者恰为前者之特例 。 忿 方位函橄 在 式中令 厂 。 。 即得 ， 的方差 函数 － ” 毛 一， 口 。 ’ ‘” ’ … 一 一 ， 一 ， 〔 一 〕 镇 、 · ， 一 〔 “ 一，〕 ‘ 一 蕊 ， 与文 〔 〕 式 比较 ， 三个阶段 中的表达式都略有不 同 ， 但在 ， ， ， 为 确 定性常数时 ， 由 式可得文 〔 〕 的 式 。 在完成本文的过程 中 ， 曾得到曲 英副教授和秦明达 同志 的热情支持和帮助 ， 特此致 谢 。 参 考 文 献 〔 〕 秦明达 用随机微分方程构造脱碳动力学随机模型 。 北京钢铁学 院 学报 ， 年第 期 ， ， 〔 〕 。 。 雌 ， ， ， 。 。 。 ， 。 。 。 。 ， 〔 〕 张炳根 、 赵玉芝 科学与工程中的随机微分方程 。 海洋出版社 ， 。 年 ， 第 五 章 及第六章 ， 〔 〕 王梓坤 随机过程论 。 科学出版 社 ， 年 ， 第十章