极大值 · 如将上述不等式反向，即可得到相应的极 大点和极大值的定义 ·下面仅就极小点及极小值加以说明，而且 主要研究局部极小
极大值 • 如将上述不等式反向，即可得到相应的极 大点和极大值的定义 • 下面仅就极小点及极小值加以说明，而且 主要研究局部极小
2.极值点存在的条件 定理1（必要条件） 设R是n维欧氏空间En上的某一开集，f(X) 在R上有一阶连续偏导数，且在点X*∈R取 得局部极值，则必有 Vf(X*)=0 (6-10)或 ofX*)MaX1=fX*)/ax2=..=X*)/8Xn=0(6.11) 式中： Vf(X*)=(of(X*)/ox1,of(X*)/8x2,...,of(X*)/x) (6-12) 为函数X)在x*处的梯度向量
2 ．极值点存在的条件 • 定理1 （必要条件） 设R 是n 维欧氏空间En上的某一开集，f ( X ) 在R 上有一阶连续偏导数，且在点X* ∈ R 取 得局部极值，则必有 ∇f(X*)=0 ( 6 -10 ) 或 ∂f(X*)/∂x1 =∂f(X*)/∂x2 =…=∂f(X*)/∂xn=0 ( 6- 11 ) 式中： ∇f(X*)=(∂f(X*)/∂x1,∂f(X*)/∂x2 ,…,∂f(X*)/∂xn)T ( 6-12 ) 为函数f(x)在x*处的梯度向量
梯度的几何意义 ·Vf的方向为f(X)的等值面（等值线）的 法线（在点X处）方向，沿这个方向函数值 增加最快 ·满足式(6-10)或式(6-11)的点称为 平稳点或驻点 在区域内部，极值点必为平稳点，但平稳 点不一定是极值点
梯度的几何意义 • ∇f(X)的方向为f ( X )的等值面（等值线）的 法线（在点X 处）方向，沿这个方向函数值 增加最快 • 满足式（6 -10 ）或式（6 -11 ）的点称为 平稳点或驻点 • 在区域内部，极值点必为平稳点，但平稳 点不一定是极值点
定理2（充分条件） 。 设R是n维欧氏空间En上的某一开集，f(x) 在R上具有二阶连续偏导数，X*∈R,若 VfX*)=0,且对任何非零向量Z∈En有 ZTH(X*)Z>0（6-13) 则X*为f(X)的严格局部极小点 ·此处H(X*)为f(X)在点X*处的海赛 (Hesse)矩阵：
定理2 （充分条件） • 设R 是n维欧氏空间En上的某一开集，f ( x ) 在R 上具有二阶连续偏导数，X* ∈ R , 若 ∇f(X*) =0 ，且对任何非零向量Z ∈ En有 ZT H ( X * ) Z > 0 ( 6 -13 ) 则X *为f ( X )的严格局部极小点 • 此处H ( X *)为f ( X )在点X*处的海赛 （Hesse ）矩阵：
Hesse矩阵 H(X*)=[82f(X*)/x;oxi ]nxn= 82f/0x2 f/0x0x.....2f/0x0x 82f/0x20x1 82f/0x22.....82f/0x20x 82f/oxn0x1 82f/oxn0x2..... 82f/0x 2 (6-14)
Hesse矩阵 ∂2f/∂x12 ∂2f/∂x1∂x2 ….. ∂2f/∂x1∂xn ∂2f/∂x2∂x1 ∂2f/∂x22 ….. ∂2f/∂x2∂xn …….. ∂2f/∂xn∂x1 ∂2f/∂xn∂x2 ….. ∂2f/∂xn2 • H( X*) = [ ∂2 f (X*)/ ∂xi∂xj ]n×n= （6-14）