注 0 需要指出，定理2中的充分条件(6-13) 式并不是必要的 ·可以举出这样的例子：X*是f(X)的极小 点，但却不满足条件(6-13)式 ·例如，f()=x4,它的极小点是x*=0,但 H(×*)=0,这不满足式(6-13)
注 • 需要指出，定理2 中的充分条件（6 -13 ） 式并不是必要的 • 可以举出这样的例子：X * 是f ( X ）的极小 点，但却不满足条件（6 -13 ）式 • 例如，f (x)＝x4，它的极小点是x* = 0 ，但 H ( x * ) = 0 ，这不满足式（6 -13 ）
二次型ZTHZ 若对于任意Z≠0（即Z的元素不全为 零)，二次型ZTHZ的值总是正的，即ZTHZ >0,则称该二次型是正定的；若对于任意 Z≠0总有ZTHZ≥0，则称其为半正定 若对于任意Z≠0总有ZTHZ<0,则称其 为负定；若对于任意Z≠0总有 ZTHZ≤0，则称其为半负定 如对某些Z≠0，ZTHZ>0,而对另一些 Z≠0，ZTHZ<0,即它既非正定，也非负 定，则称其为不定的
二次型 Z THZ • 若对于任意 Z ≠0 （即Z 的元素不全为 零），二次型 Z THZ的值总是正的，即 Z THZ > 0 ，则称该二次型是正定的；若对于任意 Z ≠ 0 总有 Z THZ ≥0 ，则称其为半正定 • 若对于任意Z ≠ 0 总有 Z THZ < 0 ，则称其 为负定；若对于任意Z ≠ 0 总有 Z THZ ≤0 ，则称其为半负定 • 如对某些Z ≠ 0 , Z THZ > 0 ，而对另一些 Z ≠0 , Z THZ < 0 ，即它既非正定，也非负 定，则称其为不定的
二次型ZTHZ为正定的充要条件 ·它的矩阵H的左上角各阶主子式都大于零 o 而它为负定的充要条件，是它的矩阵H的 左上角各阶主子式依次负正相间
二次型ZTHZ为正定的充要条件 • 它的矩阵H 的左上角各阶主子式都大于零 • 而它为负定的充要条件，是它的矩阵H 的 左上角各阶主子式依次负正相间
·以h表示矩阵H的元素，当二次型正定时： hu hn hu hi2 h1>0; >0: >0 ha …hnn ·当二次型负定时： hu hn hu<0; >0; hi hi2 hi3 h h <0;…;(-1) >0 h32 h33 hnn
• 以hij 表示矩阵H 的元素，当二次型正定时： • 当二次型负定时：
1.3凸函数和凹函数 ·设fX)为定义在凸集RcE上的函数， 若对任 何实数a(0<a<1)及任意两点x,x2)∈R, 恒有 f(ax+(1-a)x2≤af(x1四)+(1-a)f0x2(6-15) 则称X)为定义在R上的凸函数 ·若对任何a(0<a<1)及x≠x(2)∈R,恒有 fax+(1-a)x2)<af(x四)+(1-a)f(x2）(6-16) 则称X)为定义在R上的严格凸函数
1.3 凸函数和凹函数 • 设f(X)为定义在凸集R⊂En上的函数，若对任 何实数α(0< α <1)及任意两点x(1),x(2) ∈R， 恒有 f(α x(1)+(1- α)x(2)) ≤ α f( x(1) ) +(1- α) f( x(2)) (6-15) 则称f(X)为定义在R上的凸函数 • 若对任何α(0< α <1)及x(1) ≠x(2) ∈R，恒有 f(α x(1)+(1- α)x(2)) < α f( x(1) ) +(1- α) f( x(2)) (6-16) 则称f(X)为定义在R上的严格凸函数