《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第二十一章 重积分 第八节 反常二重积分

[ f(x,y)do >I -8.D10因而对于充分大的 D' Dm，有[] f(x,y)do >I -8.D'再由I -8<[/ f(x,y)do≤I,DJJ f(x,y)dg 存在,且等于 1.可知反常二重积分D由定理21.16的证明容易看到有以下定理：后页返回前页

前页 后页 返回 0 ( , )d . Dn f x y I    −  ( , )d . D f x y I     −  再由 ( , )d , D I f x y I    −    由定理 21.16 的证明容易看到有以下定理: 0 , D D n 因而对于充分大的   有 可知反常二重积分 ( , )d D f x y   存在,且等于 I

定理21.17若在无界区域D上f(x,J)≥0,则反常二重积分(1)收敛的充要条件是：在D的任何有界子区域上f(x,y)可积，且积分值有上界例1证明反常二重积分Jfe*doD收敛，其中D为第一象限部分，即D = [0, +80) ×[0, +00)证设D是以原点为圆心R为半径的圆在第一象限部分.因为e-(x+y)>0,所以二重积分后页返回前页

前页 后页 返回 定理21.17 若在无界区域 D上 f x y ( , ) 0,  则反常二 重积分(1)收敛的充要条件是：在D的任何有界子 区域上 f x y ( , ) 可积，且积分值有上界. 例1 证明反常二重积分 2 2 ( ) e d x y D  − +  收敛,其中 D为第一象限部分,即 D = +  + [0, ) [0, ). 部分. 因为 2 2 ( ) e 0, − + x y  所以二重积分 证 设 DR 是以原点为圆心R 为半径的圆在第一象限

Te-(x+y")doDR的值随着R的增大而增大.文因Je(a+s"da=fadef"e-"rdrDR所以儿-xlimo =lim44R→>00R>00 2DR显然对D的任何有界子区域D，总存在足够大的R.后页返回前页

前页 后页 返回 2 2 ( ) e d R x y D  − +  的值随着 R 的增大而增大.又因 2 2 2 2 ( ) 2 0 0 π e d d e d (1 e ), 4 R R x y r R D   r r  − + − − = = −    所以 2 2 2 ( ) lim e d lim (1 e ) . 4 4 R x y R R R D  − + −   → → = − =  显然对D 的任何有界子区域 D , 总存在足够大的R

使得 D'C Dr,于是do"Jfe-(x'+y")da≤[fe(2D'DRe-(x+y")do 收敛因此由定理21.17,反常二重积分D并且由定理21.16有元[fe-(x(2)4D由（2）式还可推出在概率论中经常用到的反常积分后页返回前页

前页 后页 返回 使得 , D DR   于是 2 2 2 2 ( ) ( ) π e d e d . 2 R x y x y D D   − + − +      因此由定理21.17, 反常二重积分 2 2 ( ) e d x y D  − +  收敛， 并且由定理21.16有 2 2 ( ) π e d . (2) 4 x y D  − + =  由 (2) 式还可推出在概率论中经常用到的反常积分