2.3拉普拉斯变换的性质 1.线性性质 2微分性质 3.积分性质 4.延迟性质 5.位移性质 6.卷积与卷积定理
2.3 拉普拉斯变换的性质 1.线性性质 2.微分性质 3.积分性质 4.延迟性质 5.位移性质 6.卷积与卷积定理 11
1.线性性质 of(t)+Bg(D)]=aLf(t)+B[g()];(2.1) L[aF(s)+BG()=aL[F(s)+BL[G(s).(2.12) 其中a,B是常数 例2.10求函数 (t)=sin kt+ cos kt +e 的拉氏变换 解由式(2.11)及拉氏变换表知 LLf(t=rsin kt]+lcos kt+Ie stk x2+k2+ (Re(s)> re(kd 例2.11求函数 F(s) (a≠b) (S-a)(S-b) 的拉氏逆变换 解因为 a-bs-a s-b 所以,由式(2.12)及拉氏变换表知 插入式2.12 LF(SI a-b Re(s)> max re(a), re(b
1.线性性质 L αf t βg t)]()([ =+ α L f t)]([ + β L g t)]([ ; (2.11) L-1 αF s βG s)]()([ =+ α L-1 F s)]([ + β L-1 G s)]([ . (2.12) 其中 α ,β 是常数. 例 2.10 求函数 kt ktkttf ++= ecossin)( 的拉氏变换. 解 由式(2.11)及拉氏变换表知 L f t)]([ = L kt][sin + L kt][cos +L ][ekt s k s k s k − + + + = 1 22 s > k |))Re(|)(Re( . 例 2.11 求函数 ))(( 1 )( bsas sF −− = ≠ ba )( 的拉氏逆变换. 解 因为 ) 11 ( 1 )( bsasba sF − − − − = , 所以,由式(2.12)及拉氏变换表知 插入式 2.12 L-1 ba sF − = 1 )]([ {L-1 − − ] 1 [ as L-1 ] 1 [ − bs } )e(e 1 btat ba − − = s > ba ))]Re(),max(Re()[Re( . 12
例212求函数 F(S) (s2+a2)(s2+b2) 的拉氏逆变换 解因为 F(S) b-a s+a stb 所以,由式(2.12)及拉氏变换表知 插入式2.12 S [F( -n(cos at-cosbt) [ Re(s)> max( re(ia)b re(ib)d 2.微分性质 (1)像原函数的微分性质 Lf(功)]=sF(s)-f(0) (2.13) f()]=s"F(s)-s"f(0)-s"2f(O) (Re(s)>co).(2.14) (2)像函数的微分性质 F"(s)=L-()](Re(s)>Co); (215) F("(s)=1[(-t)yf())(Re(s)>c0) 证(1)∵If()=f()e"dt f(te-sloo +so f()e""dt =sLf()]-f(0) ILf(t]=sF(s)-f(o)
例 2.12 求函数 ))(( 1 )( 2222 bsas sF ++ = 的拉氏逆变换. 解 因为 ( ) 1 )( 222222 bs s as s ab sF + − − + = , 所以,由式(2.12)及拉氏变换表知 插入式 2.12 L-1 22 1 )]([ ab sF − = { L-1 − + ][ 22 as s L-1 ][ 22 bs s + } )cos(cos 1 22 btat ab − − = s > ba |)])Re(i||,)Re(imax(|)[Re( . 2.微分性质 (1) 像原函数的微分性质 L f t = F ss − f )0()()]('[ ； (2.13) L )0(')0()()]([ )0( )( −1 −2 −1 −−= −− n n n n n fsfssFstf L f ))(Re( . (2.14) 0 > cs (2) 像函数的微分性质 F s)(' = L −tf t)]([ ))(Re( ; (2.15) 0 > cs )( =L . (2.16) )( sF n tft )]()[( n − ))(Re( 0 > cs 证 (1) QL ttftf st de)()]('[ 0∫ +∞ − = . ttfstf st st de)(|e)( 0 0 ∫ ∞+− +∞ − = + = sL f t − f )0()]([ . ∴ L f t = F ss − f )0()()]('[ . 13