解ch]=chte"dt e d t s-k s+k S s2-k2 (Re(s)> re(k)d 例26求O函数的拉普拉斯变换 解在具体求解题目之前,需先就拉普拉斯变换中积分下限的问题 加经澄清.由于 L-[f(t)]=o f(te -sdt+ L[f(o) 所以当∫()满足拉氏积分存在定理的条件,且在t=0附近有界 时,f()edt=0,即 L[f()]=L[f(t)] 当f(1)在t=0处包含一个δ函数时,f()edt≠0,即 L[f()]≠[f(D 为此,将进行拉氏变换的函数f(t),当t≥0时的定义扩大到当 t>0及t=0的某邻域内,这样拉氏变换的定义 LfO)=0f()ed应为Lf()=()edl 为书写简便,该定义仍写为原来的形式 根据上面的陈述及δ函数的筛选性质易得 i6(O)=「=()e-dt
解 ∫ +∞ − = 0 kt dech][ch tkt st ∫ ∞+ − − + = 0 de 2 ee t st ktkt ) 11 ( 2 1 s k s + k + − = 22 s k s − = s > k |))Re(|)(Re( . 例 2.6 求δ 函数的拉普拉斯变换 解 在具体求解题目之前,需先就拉普拉斯变换中积分下限的问题 加经澄清.由于 L- ∫ + − − = 0 0 de)()]([ ttftf st + L+ f t)]([ . 所以当 f t)( 满足拉氏积分存在定理的条件,且在 t = 0 附近有界 时, 0de)( ,即 0 0∫ = + − − ttf st L- f t)]([ = L+ f t)]([ . 当 f t)( 在t = 0处包含一个δ 函数时， 0de)( ,即 0 0∫ + − ≠ − ttf st L- f t)]([ ≠ L+ f t)]([ . 为此,将进行拉氏变换的函数 f t)( ,当t ≥ 0 时的定义扩大到当 t > 0 及 t = 0 的某邻域内.这样拉氏变换的定义 L ∫ ∞+ − = 0 de)()]([ ttftf st 应为L- +∞ ∫ − = − 0 de)()]([ ttftf st . 为书写简便,该定义仍写为原来的形式. 根据上面的陈述及δ 函数的筛选性质易得 L ∫ +∞ − = − 0 de)()]([ ttt st δδ 6
∫o()ed 如果脉冲出现在t=t0时刻(t0>0),有 L(t-10)=-6(t-10)esdt 6(t-10)e-dr 例2.7求函数 6(t)-B 的拉氏变换 解工f()]=[f(t) for [e-B 5(t)-Beb!u(DJe-stdt 广 e pts) st()dr-Be-+ydt S+B (Re(s)>-B) s+B
.1 de)( = = ∫ +∞ ∞− − tt st δ 如果脉冲出现在 0 t = t 时刻 )0(t0 > ，有 L ∫ +∞ − − −=− 0 0 0 tt de)()]([ ttt st δ δ .e de)( 0 0 st st ttt − +∞ ∞− − = ∫ δ −= 例 2.7 求函数 tuttf )(e)(e)( β t β t βδ − − = − β > )0( 的拉氏变换. 解 L f t)]([ =L- f t)]([ ttut t t st de])(e)([e 0 ∞+ − − − = ∫ − − β β βδ tt t ts ts ded)(e 0 )( )( ∫ ∫ ∞+ +∞ +− ∞− +− = − β β δ β β β + −= s 1 + β = s s s > −β ))(Re( . 7
2.2拉普拉斯逆变换 定义2.3若F(s)=工[f(m),则积分 f()= C+100 F(s)eds(a为s的实部) -10 建立的F(S)到∫()的对应称作拉普拉斯逆变换(简称拉氏逆变换) 用字母工表达,即 f(=LF(sI 它与拉氏变换构成了一个拉氏变换对 定理2.2若f(1)满足拉氏积分存在定理的条件 F(s)=L[f(1)]那么,当Re(s)=a>C0时,在f(1)的连续点处有 反演公式 f()= a+10 F(se d 2 在∫(1)的间断点处,上式右端收敛于[f(t+0)+f(t-0) 证明从略 定理23若S1,S2…,Sn是函数F(S)的所有奇点适当选取a使 这些奇点全在Re(S)<的范围内),且当S→∞时,F(S)→>0 则有 ain F(s)eds=rEs[F(s)e, skI 2πia-1o 即 f(1)=∑Res{F(s)e,Sk](t>0).(2.10) 证作如图2.2所示闭曲线
2.2 拉普拉斯逆变换 定义 2.3 若F s)( =L f t)]([ ,则积分 ∫ ∞+ ∞− = i i de)( 2π i 1 )( α α tf ssF st (α 为s的实部) 建立的 F s)( 到 f t)( 的对应称作拉普拉斯逆变换(简称拉氏逆变换). 用字母L-1表达,即 f t)( = L-1 F s)]([ . 它与拉氏变换构成了一个拉氏变换对. 定 理 2.2 若 f t)( 满 足 拉 氏 积 分 存 在 定 理 的 条 件 , F s)( = L f t)]([ .那么,当 0 )Re( =α > cs 时，在 f t)( 的连续点处有 反演公式 ∫ ∞+ ∞− = i i de)( 2π i 1 )( α α tf ssF st . 在 f t)( 的间断点处,上式右端收敛于 )]0()0([ 2 1 tftf −++ . 证明从略. 定理 2.3 若 21 L,,, sss n 是函数 F s)( 的所有奇点(适当选取α 使 这些奇点全在 s)Re( <α 的范围内),且当 s → ∞ 时, F s → 0)( , 则有 ∫ ∑ = ∞+ ∞− = n k k st st ssFsssF 1 i i ],e)([Rede)( 2πi 1 α α , 即 ∑ = = n k k st ssFstf 1 ],e)([Re)( t > )0( . (2.10) 证 作如图 2.2 所示闭曲线 8
图2 C=L+CR,CR是半径为R的圆弧,当R充分大后,F(S)的所有 奇点包含在C围成的区域内.由留数定理可得 「F(s)e"ds=2πi∑Res[F(s)e",sk 根据推广的约当定理,当t>0,R→+∞时, lim F(seds=0 R→+∞CR 从而 F(s)e"ds=∑Res{F(S) F(s) ds Res f(s)e, sk 故 f(r=L[F(s]=>Res[ f(s)e,Sp k=1 se 例2.8求工[ s+16 解∵Res/sex?r (t-2)s s2+16 se Res[ 4i] (-2)s 4(1-2)i +16 s=-1 r se sj 2,=∑Res k=1 +16
图 2.2 C L += CR，CR是半径为R的圆弧，当 R充分大后， F s)( 的所有 奇点包含在C 围成的区域内.由留数定理可得 ∑ ， ∫ = = n k k st C st ssF ssFs 1 2de)( π ],e)([Rei 根据推广的约当定理，当t > 0，R +∞→ 时， ∫ = 0de)(lim ， +∞→ CR st R ssF 从而 ∑ ] ∫ ∫ = ∞+ ∞− = − n k C st k st st R ssFssFssF 1 i i de)(,e)(Res[de)( 2π i 1 α α ∑ = = n k k st ssF 1 ],e)(Res[ 故 f t)( =L-1 F s)]([ = ∑ = n k k st ssF 1 ],e)(Res[ . 例 2.8 求L-1 ] 16 e [ 2 2 + − s s s . 解 Q i)2(4 i4 )2( 2 2 e 2 1 |e 2 1 i]4 , 16 e Res[ − = − − = = + t s st s s s , i)2(4 i4 )2( 2 2 e 2 1 |e 2 1 i]4 , 16 e Res[ −− −= − − =− = + t s st s s s . ∴L-1 ∑ = − − + = + n k k st s s s s s s s 1 2 2 2 2 ],e 16 e Res[] 16 e [ 9
e4(=2)+e-4(2)1 =cos4(t-2)(t>2) 例2.9求函数 F(s) (s2+B 的拉氏逆变换 解: Res be s(s2+B2) d lin B e d S-(S-+ B B B βe Bt Res- (s2+B 45+2sB 21B (2+B2),=- Res( Best 21B Bt I Bt ∴L[F(S)=+ 21 t sin Bt
]e[e 2 1 −−− i)2(4i)2(4 += t t = t − )2(4cos t > )2( . 例 2.9 求函数 )( )( 222 β β + = ss sF 的拉氏逆变换. 解 Q ]0 , )( e Res[ 222 β β ss + st ]e)( [ d d lim 222 2 0 st s ss s s β β + = ⋅ → β t = 2 i i 222 23 i2 e 24 e i] , )( e Res[ β β β β β β β t s st st ss β ss −= + = + = , 2 i 222 i2 e i] , )( e Res[ β β β st βt β ss − −=− + . ∴ L-1 i2 ee1 )]([ ii 2 tt t sF β β β β − += − 2 sin β β β t t −= 10