经济数学基础 第9章随机事件与概率 第9章随机事件与概率典型例题与综合练习 一、典型例题 1.随机事件 例1判断下列事件是否随机事件: (1)元旦,买来1台全自动洗衣机,运行200小时不出故障 (2)某射手的射击命中率为90%,他连续射击3次全命中 (3)在1个大气压下,90°C的水沸腾,变为水蒸气 (4)把1枚壹元的硬币放在桌面上,出现正面朝上 (5)从次品率为5%的一批产品中,任取1个产品是次品 (6)掷1颗骰子,出现偶数点或奇数点 事件有:随机事件,必然事件和不可能事件,用它们的定义来判断.也可用发生的概率来判断 解:(1)设A={洗衣机运行200小时无故障}.A可能发生,故A是随机事件 (2)设B={(连续3次射击全中},事件B不一定就发生.故事件B是随机事件. (3)设C≡{水变成水蒸气},由物理学告诉我们,C是不可能事件 (4)把硬币放在桌面上,那个面朝上不具有偶然性.不是随机事件 (5)设D={任取一个产品是次品},因为产品中有正品,也有次品, 所以事件D是随机事件. (6)设E={出偶数点或奇数点},则E是必然事件 2.事件的关系与运算 例1对飞机进行两次射击,每次射击一弹.设A1={第一次射击击中飞机},A2={第 二次射击击中飞机},试用A1,A2及它们的对立事件表示下列事件 276
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——276—— 第 9 章随机事件与概率典型例题与综合练习 一、典型例题 1.随机事件 例 1 判断下列事件是否随机事件： （1）元旦，买来 1 台全自动洗衣机，运行 200 小时不出故障. （2）某射手的射击命中率为 90％，他连续射击 3 次全命中. （3）在 1 个大气压下，90oC 的水沸腾，变为水蒸气. （4）把 1 枚壹元的硬币放在桌面上，出现正面朝上. （5）从次品率为 5％的一批产品中，任取 1 个产品是次品. （6）掷 1 颗骰子，出现偶数点或奇数点． 事件有：随机事件，必然事件和不可能事件，用它们的定义来判断．也可用发生的概率来判断. 解：（1）设 A＝{洗衣机运行 200 小时无故障}．A 可能发生，故 A 是随机事件． （2）设 B＝{连续 3 次射击全中}，事件 B 不一定就发生．故事件 B 是随机事件. （3）设 C＝{水变成水蒸气}，由物理学告诉我们， C 是不可能事件. （4）把硬币放在桌面上，那个面朝上不具有偶然性．不是随机事件. （5）设 D＝{任取一个产品是次品}，因为产品中有正品，也有次品， 所以事件 D 是随机事件． （6）设 E={出偶数点或奇数点}，则 E 是必然事件． 2.事件的关系与运算 例 1 对飞机进行两次射击，每次射击一弹．设 A1={第一次射击击中飞机}， A2={第 二次射击击中飞机}，试用 A1，A2 及它们的对立事件表示下列事件：
经济数学基础 第9章随机事件与概率 (1)B={两次都击中飞机}(2)C={两次都没有击中飞机} (3)D={恰有一次击中飞机} (4)E=(至少有一次击中飞机 这是事件概型与运算的问题,一方面要掌握事件的运算,还要熟悉运算的性质 解:(1)B=A1A2 (2)C=A1A2或C=A1+A2 (3)D=A1A2+A1A2或D=(A1+A1)-A142 (4)E=A1+A2或E=A14或E=D+A1A2 3.古典概型与概率性质 例1从0,1,2,3,4这5个数字中一次任取两个数,可以组成两位数的概率 是多少? 次从五个数中取出两个,组成二位数,显然这二个数字位置不同就组成不同的两个二位 数,可见这是排列问题.即依次取两次数,每次取一个不放回,构成基本事件的总数.若能构成 二位数,显然是十位数不能为0.个位可以任意,这样的排列是真的二位数 解: [方法1]一次从5个数中取出2个数,组成二位数,是排列问题.m=5×4=20 能组成两位数,“十位数”不能取0,“个位数”可任意取,故k=4×4=16 所求为p 「方法2全列法.用树枝图表示,如图 十位 ∧、个 个位12340234013401240123 树枝图 所以,n=20,k=16,故所求概率为pn205
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——277—— （1）B＝{两次都击中飞机} （2）C＝{两次都没有击中飞机} （3）D＝{恰有一次击中飞机} （4）E＝{至少有一次击中飞机} 这是事件概型与运算的问题，一方面要掌握事件的运算，还要熟悉运算的性质． 解：（1）B＝A1A2 （2）C＝ A1 A2 或 C＝ A1 + A2 （3）D＝A1 A2＋ A1A2 或 D＝(A1＋A1)－A1A2 （4）E＝A1＋A2 或 E＝ A1 A2 或 E＝D＋A1A2 3.古典概型与概率性质 例 1 从 0，1，2，3，4 这 5 个数字中一次任取两个数，可以组成两位数的概率 是多少？ 一次从五个数中取出两个，组成二位数，显然这二个数字位置不同就组成不同的两个二位 数，可见这是排列问题．即依次取两次数，每次取一个不放回，构成基本事件的总数．若能构成 二位数，显然是十位数不能为 0．个位可以任意． 这样的排列是真的二位数． 解： [方法 1]一次从 5 个数中取出 2 个数，组成二位数，是排列问题．n=5×4=20 能组成两位数，“十位数”不能取 0，“个位数”可任意取，故 k＝4×4＝16 所求为 p = 5 4 [方法 2]全列法．用树枝图表示，如图． 所以，n＝20，k＝16，故所求概率为 p= 5 4 20 16 = = n k
经济数学基础 第9章随机事件与概率 4.概率加法公式 例1根据调查所知,一个城镇居民三口之家每年至少用600元买粮食的概率是 0.50,至少用4000元买副食的概率是0.64,至少用600元买粮食同时用4000元买 副食的概率是0.27.试求一个三口之家至少用600元买粮食或用4000元买副食的 概率 这是求两个事件和的概率,用概率加法公式 解:设A={至少用600元购买粮食}:B=至少用4000元购买副食}.于是有 P(4)=0.50P(B)=0.64P(AB=0.27 由加法公式,得P(A+B=P(A+P(B一P(AB=0.50+0.64-0.27=0.87 故一个三口之家每年至少用600元购买粮食或至少用4000元购买副食的概率是 0.87 例2在1~3500中随机地抽取一整数,问取到的整数不能被6或8除尽的概率 是多少?所求为取到的整数不能被6或8除尽的概率,也即至少能被6或8其一除 尽的对立事件,而至少被6或8除尽是事件和的概率 解:设C={取到的整数不能被6或8除尽}A={取到的整数被6除尽} B={取到的整数被8除尽},则C=A+B P(C)=P(4+B)=1-P(4+B) 1-[P(A+BP(A)+P(B)-P(AB) 583 145 因为P()= PB =3500,P(4B=3500 58343714526253 所以,P(O=1-(3500+35003500)=35004 5.条件概率与乘法公式 278
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——278—— 4.概率加法公式 例 1 根据调查所知，一个城镇居民三口之家每年至少用 600 元买粮食的概率是 0.50，至少用 4000 元买副食的概率是 0.64，至少用 600 元买粮食同时用 4000 元买 副食的概率是 0.27．试求一个三口之家至少用 600 元买粮食或用 4 000 元买副食的 概率． 这是求两个事件和的概率，用概率加法公式． 解：设 A＝{至少用 600 元购买粮食}；B={至少用 4 000 元购买副食}．于是有 P(A)=0.50 P(B)=0.64 P(AB)=0.27 由加法公式，得 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.50＋0.64－0.27＝0.87 故一个三口之家每年至少用 600 元购买粮食或至少用 4000 元购买副食的概率是 0.87． 例 2 在 1~3500 中随机地抽取一整数，问取到的整数不能被 6 或 8 除尽的概率 是多少？ 所求为取到的整数不能被 6 或 8 除尽的概率，也即至少能被 6 或 8 其一除 尽的对立事件，而至少被 6 或 8 除尽是事件和的概率． 解：设 C＝{取到的整数不能被 6 或 8 除尽} A＝{取到的整数被 6 除尽} B＝{取到的整数被 8 除尽}，则 C＝ A + B P(C)=P( A + B )=1－P(A+B) =1－[P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)] 因为 P(A)= 3 500 583 ，P(B)= 3 500 437 ，P(AB)= 3 500 145 所以， P(C)=1－( 3 500 583 + 3 500 437 － 3 500 145 )= 4 3 3 500 2 625 = 5.条件概率与乘法公式
经济数学基础 第9章随机事件与概率 例1已知袋中有10件产品,其中3件次品,从中无放回地随机抽取3次,每次取 1件,求取到的全是次品的概率 若设A1为第i次取到次品,显然所求是这三个事件的积的概率,由于是不放回地取产品, 所以袋中产品总数和次品数都在变化.因此涉及到条件概率 解:用A表示“第i次取到次品”(=1,2,3),用B表示“所取3件产品全 是次品”,于是有B=A1A2A3, 3 则P(41)=3:P42|41=9;P(43|A) 3211 P(B=P(43A1A)P(A2A)P(A1)109812000063 六、事件的独立性 例1在一个系统中安装3个元器件,如图.每个元器件的可靠性是0.9.求系 统的可靠性 所谓系统的可靠性,就是有多大的概率能正常工作.三个元器件是并联的,所以只要有一 个元器件工作,即系统工作.并联的元器件是独立工作的 解:设A={元器件A正常工作}(=1,2,3),则P(41)=09(=1,2,3) 设B={系统正常工作},则 P(B)=P(41+A2+A3) P( A1+A2+A3 )=1-P(A1A2A3) A1,A2,A独立.有P(B)=1-P(A1)P(A2)P(A3)=1-(0.)=0999 9
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——279—— 例 1 已知袋中有 10 件产品，其中 3 件次品，从中无放回地随机抽取 3 次，每次取 1 件，求取到的全是次品的概率． 若设 Ai 为第 i 次取到次品，显然所求是这三个事件的积的概率．由于是不放回地取产品， 所以袋中产品总数和次品数都在变化．因此涉及到条件概率． 解：用 Ai 表示“第 i 次取到次品”(i=1,2,3 )，用 B 表示“所取 3 件产品全 是次品”，于是有 B=A1A2A3， 则 P(A1)= 10 3 ；P(A2A1)= 9 2 ；P(A3A1A2)= 8 1 P(B)= P(A3A1A2) P(A2A1) P(A1) = = 3 10 2 9 1 8 1 120 0.0083 六、事件的独立性 例 1 在一个系统中安装 3 个元器件，如图．每个元器件的可靠性是 0.9．求系 统的可靠性． 所谓系统的可靠性，就是有多大的概率能正常工作．三个元器件是并联的，所以只要有一 个元器件工作，即系统工作．并联的元器件是独立工作的． 解：设 Ai={元器件 Ai 正常工作}(i=1,2,3)，则 P(Ai)=0.9 (i=1,2,3) 设 B＝{系统正常工作}，则 P(B)＝P(A1+A2+A3) =1－P( A1 + A2 + A3 )=1－P( A1 A2 A3) A1，A2，A3 独立．有 P(B)＝1－P( A1)P( A2)P( A3)=1－(0.1)3=0999
经济数学基础 第9章随机事件与概率 例2设有甲、乙两批种子,它们的发芽率分别为0.9和0.7,在两批种子中任 取1粒,求恰有1粒种子能发芽的概率 恰有1粒发芽,那就可能是“甲的1粒发芽而乙的1粒未发芽,或者甲的1粒未发芽而 乙的1粒发芽”,因此是事件和的概率问题,其中又涉及事件积的概念 解:设A={从甲批种子中任取一粒发芽}, B={从乙批种子中任取一粒种子发芽} 则P(A)=0.9,P(B=0.7,于是,P(A)=0,1,P(B)=0.3 又事件A,B互相独立,所以A和B,A和B等均相互独立.且AB与AB互不相容, 所求为P(AB+AB)=P(AB)+P(AB P(A)P(B)+P(A)P(B)=09×0.3+0.1×0.7=0.34 七、全概率公式 例1假设用某种简化的试验来诊断癌症,经诊断,真正患有癌症者被诊断为患 有癌症的概率是0.95,未患癌症者被诊断为未患癌症的概率是0.90,现对一批患癌 症率为万分之四的人群进行癌症普査试验,求某人被诊断为患癌症的概率,并求此 人真的患癌症的概率 被诊断为患癌症,这一事件必与真正患癌症或未患癌症二事件相关,而且必居其一.所以要 对事件B进行分解转移,这正是全概率公式的功能.另一问不难看出是条件概率 解:设B={某人被诊断为患癌症}A={某人真的患癌症},A={某人未患癌症} 显然B能且只能与A1,A2之一同时发生.已知P(A1)=00004P(42)=0.999,由题 设P(B|A1)=0.95P(BA)=1-090=00 用全概率公式,得到P(B=P(A1)P(B|A)+PA2)P(B|A2) =0.0004×0.95+09996×0.10=0.10034 280
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——280—— 例 2 设有甲、乙两批种子，它们的发芽率分别为 0.9 和 0.7，在两批种子中任 取 1 粒，求恰有 1 粒种子能发芽的概率． 恰有 1 粒发芽，那就可能是 “甲的 1 粒发芽而乙的 1 粒未发芽，或者甲的 1 粒未发芽而 乙的 1 粒发芽”，因此是事件和的概率问题，其中又涉及事件积的概念． 解：设 A ={从甲批种子中任取一粒发芽}， B ={从乙批种子中任取一粒种子发芽}． 则 P(A)=0.9，P(B)=0.7，于是， P( A )=0,1，P( B )=0.3． 又事件 A，B 互相独立，所以 A 和 B，A 和 B 等均相互独立．且 A B 与 A B 互不相容， 所求为 P（A B + A B）=P(A B )+P( A B) =P(A)P( B )+P( A )P(B)=0.9×0.3＋0.1×0.7=0.34 七、全概率公式 例 1 假设用某种简化的试验来诊断癌症，经诊断，真正患有癌症者被诊断为患 有癌症的概率是 0.95，未患癌症者被诊断为未患癌症的概率是 0.90，现对一批患癌 症率为万分之四的人群进行癌症普查试验，求某人被诊断为患癌症的概率，并求此 人真的患癌症的概率． 被诊断为患癌症，这一事件必与真正患癌症或未患癌症二事件相关，而且必居其一． 所以要 对事件 B 进行分解转移，这正是全概率公式的功能．另一问不难看出是条件概率． 解：设 B={某人被诊断为患癌症} A1＝{某人真的患癌症}，A2＝{某人未患癌症} 显然 B 能且只能与 A1，A2 之一同时发生．已知 P(A1)=0.0004 P(A2)=0.9996，由题 设 P(BA1)=0.95 P(BA2)=1－0.90=0.10 用全概率公式，得到 P(B)=P(A1)P(BA1)+ P(A2)P(BA2) =0.0004×0.95+0.9996×0.10＝0.100 34