经济数学基础 第11章参数估计 第三单元期望的区间计 学习目标 通过本课学习,弄明白区间估计的意义,会求总体参数H的区间估计 二、内容讲解 1.区间估计的概念 对于总体的未知参数θ,不仅需要估计它的值,有时还要按给定的可靠程度(置 信度)估计它的误差范围说具体些,即对于未知参数θ,要估计出一个区间(1,2) 使得这个区间包含O的可能性是很大的,一般要求使P(O4<0<62)=1-a 1-a一般取0.9,0.95,0.99,即a=0.1,0.05,0.01. 称区间(1,B2)为未知参数O的置信度为1-a的置信区间 2.正态总体均值的置信区间求法 仓1)已知X~N(a2),已知,对期望进行区间估计,求的1-a置信区 的方法 x=∑ 已知样本均值 因此样本函数0/VN(o)P(-s、x-14U)=1-a 得 整理有P(x-Ⅶn≤H≤x+Ⅶn)=1 399
经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——399—— 第三单元 期望的区间估计 一、学习目标 通过本课学习，弄明白区间估计的意义，会求总体参数 的区间估计 二、内容讲解 1.区间估计的概念 对于总体的未知参数 ，不仅需要估计它的值，有时还要按给定的可靠程度（置 信度）估计它的误差范围.说具体些，即对于未知参数 ，要估计出一个区间（ 1 2 ˆ , ˆ ）， 使得这个区间包含 的可能性是很大的，一般要求使 P( ˆ 1 ˆ 2 ) = 1− 1− 一般取 0.9，0.95，0.99，即 ＝0.1，0.05，0.01. 称区间（ 1 2 ˆ , ˆ ）为未知参数 的置信度为 1− 的置信区间. 2.正态总体均值的置信区间求法 1）已知 ~ ( , ) 2 X N ， 2 已知，对期望 进行区间估计，求 的 1－ 置信区 间的方法. 已知样本均值 = = n i i x n x 1 1 ～ ( , ) 2 n N 因此样本函数 ~ (0,1) / N n x U − = 得 = − − − ) 1 / ( 2 2 U n x P U 整理有 P( x － 2 U n ≤ ≤ x + 2 U n )＝ 1－
经济数学基础 第11章参数估计 的置信度为1-的置信区间为[x 2.设X~N(口),其中σ2未知,对期望“进行区间估计,求的1-a置信 区间的方法 已知s/Vn~n-1),其中 P(-12(n-1)≤-≤tn(n-1) s/√n2 I, (n-1)s I, (n-1) 整理有P(x一2 n≤μ≤x+2 从而得到期望μ的置信度为1-∝的置信区间为 f, (n-1) I, (n-1) X-2 归纳以上做法的步骤 t, (n-D) 1.计算x,S,确定α,查2 2.计算(n-1)x-=12(mn-1) 3.以mn5作为置信区间的左端点,以 f, (n-1) 为置信区间的右端点,即置信度为1-∝的期望“的置信区间为 Ia (n-1) Ia (n-1) 400—
经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——400—— 的置信度为 1－ 的置信区间为[ x － 2 U n ， x + 2 U n ] 2．设 ~ ( , ) 2 X N ，其中 2 未知，对期望 进行区间估计，求 的 1－ 置信 区间的方法. 已知 s n x / − ～t(n −1) ，其中 = − − = n i i x x n s 1 2 2 ( ) 1 1 ， − = − − − − ( 1)) 1 / ( ( 1) 2 2 t n s n x P t n 整理有 P( x － ( 1) 2 t n − n s ≤ ≤ x + ( 1) 2 t n − n s )＝1－ 从而得到期望 的置信度为 1－ 的置信区间为 [ x － ( 1) 2 t n − n s ， x + ( 1) 2 t n − n s ] 归纳以上做法的步骤： 1．计算 x,s ，确定 ，查 ( 1) 2 t n − ； 2．计算 n s x + ( 1) 2 t n − 和 n s x − ( 1) 2 t n − ； 3．以 n s x − ( 1) 2 t n − 作为置信区间的左端点， 以 n s x + ( 1) 2 t n − 为置信区间的右端点，即置信度为 1－ 的期望 的置信区间为 [ x － ( 1) 2 t n − n s ， x + ( 1) 2 t n − n s ]
经济数学基础 第11章参数估计 问题:置信区间的长度与置信度有关系吗? 答有关系.置信度越大,置信区间越长;反之,置信度越小,置信区间的长度就 越短 三、例题讲解 例1设总体X~N(、009),测得一组样本的观测值为12.6;13.4:12.8;13.2, 求H的置信度为0.95的置信区间 解先求F:4(12.6+13.4+12.8+13.2)=13 确定a:1-a=0.95,a=0.05 利用标准正态分布查出2=1.96 ×196=0.294 计算n5= ,故所求0.95置信区间为: (13-0296,13+0.296)=(12.706,13.294) 例2对某型号飞机的飞行速度进行了15次试验,测得最大飞行速度(米/秒) 为 422.2 417.2 425.6 420.3 425.8 423.1 418.7 428.2 438.3 434.0 441.3 423.0 根据长期经验,最大飞行速度可以认为是服从正态分布的,试利用上述数据对 最大飞行速度的期望值进行区间估计(置信度0.95) 解这是C未知的情形 401
经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——401—— 问题：置信区间的长度与置信度有关系吗？ 答有关系.置信度越大，置信区间越长；反之，置信度越小，置信区间的长度就 越短. 三、例题讲解 例 1 设总体 X ~ N(,0.09) ，测得一组样本的观测值为 12.6；13.4；12.8；13.2， 求 的置信度为 0.95 的置信区间. 解 先求 x ： 4 1 x = （12.6＋13.4＋12.8＋13.2）＝13 确定 ：1－＝0.95， ＝0.05 利用标准正态分布查出 2 U ＝1.96 计算 n 2 U ＝ 1.96 0.294 4 0.3 = ，故所求 0.95 置信区间为： （13－0.296，13+0.296）＝(12.706，13.294) 例 2 对某型号飞机的飞行速度进行了 15 次试验，测得最大飞行速度（米/秒） 为 422.2 417.2 425.6 420.3 425.8 423.1 418.7 428.2 438.3 434.0 412.3 431.5 413.5 441.3 423.0 根据长期经验，最大飞行速度可以认为是服从正态分布的，试利用上述数据对 最大飞行速度的期望值进行区间估计（置信度 0.95）. 解 这是 2 未知的情形
经济数学基础 第11章参数估计 1.求Fx=15(422.2+417.2+425.6+420.3+425.8+…+423.09)=425.0 (x,-x)2=7205 求 14 s=√72.05=849 2.确定a:1-=0.95,a=0.05,20.025 n-1) 查1分布表得2 ,oas(14)=2145 a(-1)S8.49 2.145=4.7 3.计算2 n√15 从而得到期望μ的置信度为0.95的置信区间为 (4250-4.7,425.0+47)=(420.3,429.7) 例3对某种材料的强度只有下限的要求,已知该材料的强度X~N(2) 但均未知,今进行5次测试,得样本均值和样本均方差分别为X=1160千克 厘米2,S=99.75千克/厘米2,现求的0.99单侧置信区间(6,+∞) 分析:求(日,+∞),即只需求置信下限θ,也即求满足下式的:P(>O)=099 1(n-1)P(x>1(n-1)=a 因为 P(x L, (n-D)=l-a P( (n-1)<)=1 得 因为a=001,n=5,查1分布表P(m)>(m)=1-a,(4)=37469 x--=ta(n-1)1160 3.7469 (千克/厘米2) 402
经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——402—— 1．求 x ： 15 1 x = （422.2＋417.2＋425.6＋420.3＋425.8＋…＋423.09）＝425.0 求 s： ( ) 72.05 14 1 1 2 2 = − = = n i i s x x ， s = 72.05 = 8.49 2．确定 ：1－＝0.95， ＝0.05， 0.025 2 = 查 t 分布表得 ( 1) 2 t n − ，t 0.025(14) = 2.145 3．计算 ( 1) 2 t n − n s ， 2.145 4.7 15 8.49 = 从而得到期望 的置信度为 0.95 的置信区间为 （425.0－4.7，425.0+4.7）＝（420.3，429.7） 例 3 对某种材料的强度只有下限的要求，已知该材料的强度 ~ ( , ) 2 X N ， 但 2 , 均未知，今进行 5 次测试，得样本均值和样本均方差分别为 X ＝1160 千克/ 厘米 2， s＝99.75 千克/厘米 2，现求 的 0.99 单侧置信区间（ ˆ ,+ ）. 分析：求（ ˆ ,+ ），即只需求置信下限 ˆ ,也即求满足下式的 ˆ : ) 0.99 ˆ P( = 因为 ~ ( 1) / − − t n s n x ， − = − ( 1)) / ( t n s n x P 即 ( − t (n −1)) = 1− n s P x ，得 ( − t (n −1) ) = 1− n s P x 因为 = 0.01，n = 5，查 t 分布表 P(t(n) t (n)) =1− , t (4) = 3.7469 ˆ ＝ − t (n −1) n s x ＝ 3.7469 5 99.75 1160 − ＝992.8(千克/厘米 2 )
经济数学基础 第11章参数估计 的0.99单侧置信区间为(992.8+∞) 四、课堂练习 练习:正态总体X~N()中抽取一组样本容量为n=25的样本,计算得样本 均值x=79,样本方差为2=11236,试求(1)已知o2=10:(2)未知两种情况分 别求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间 因为置信度为0.95,所以=005 (1)这是已知方差=10,对均值的区间估计问题查正态分布数值表求得临界值 d(Ua)=1-a/2=1-0.025=0.975U 2=1.96 期望的置信度为0.95的置信区间因方差已知或未知而有所不同,解题时要注 意这一点 五、课后作业 为确定某种液体的浓度,取4个独立的测定值,其平均值x=838%0, 样本标准差S=03%,设被测总体近似地服从正态分布N口2),求总体均值 的置信度为95%的置信区间 2.从一批钉子中随机地抽取16枚,测得其长度(单位:cm)为 2.142.102.132.152.132.122.132.10 2.152.122.142.102.132.112.142.1l 设钉长服从正态分布N(), 试求(1)已知G=0l(cm):(2)未知,两种情况分别求总体均值的909% 的置信区间 403
经济数学基础 第 11 章 参数估计 ——403—— 的 0.99 单侧置信区间为（992.8 ,+ ） 四、课堂练习 练习：正态总体 X ～ ( , ) 2 N 中抽取一组样本容量为 n = 25 的样本，计算得样本 均值 x = 79 ，样本方差为 112.36 2 s = ，试求 (1)已知 2 2 = 10 ；(2) 未知两种情况分 别求总体均值 的置信度为 0.95 的置信区间. 因为置信度为 0.95，所以 = 0.05. (1)这是已知方差 2 2 = 10 ，对均值 的区间估计问题.查正态分布数值表求得临界值 ( ) 1 / 2 1 0.025 0.975 2 U = − = − = ， 2 U =1.96 期望 的置信度为 0.95 的置信区间因方差已知或未知而有所不同，解题时要注 意这一点. 五、课后作业 1．为确定某种液体的浓度，取 4 个独立的测定值，其平均值 x = 8.38%， 样本标准差 s = 0.03% ，设被测总体近似地服从正态分布 ( , ) 2 N ，求总体均值 的置信度为 95％的置信区间. 2．从一批钉子中随机地抽取 16 枚，测得其长度（单位：cm）为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 设钉长服从正态分布 ( , ) 2 N ， 试求（1）已知 = 0.1 (cm)；（2） 未知，两种情况分别求总体均值 的 90％ 的置信区间