经济数学基础 第8章数据处理 第8章数据处理典型例题与综合练习 一、典型例题 1.重要特征数 例1设一组数据为78.2:88.2;79.3:80.5:83.4:81.2;76.3;86.5 求这组数据的(1)均值;(2)中位数:(3)极差;(4)方差及标准差;(5)变异系 数 解:将数据由小到大顺序排列为 76.3;782;79.3;80.5;81.2;83.4;86.5;88.2 (1)均值x=8(763+782+793+805+812+834+865+882) 1 8×653.6=81.7 (2)中位数 共有8个数据,中间两个数是80.5和81.2,故 中位数xM=2(80.5+81.2)=80.85 (3)极差 最大数是882,最小数是76.3,故 极差R82-763119 (4)方差S=8[763-81.7)2+(782-81.7++(882-81.7)]=8×1104=1463 236
经济数学基础 第 8 章 数据处理 ——236—— 第 8 章数据处理典型例题与综合练习 一、典型例题 1.重要特征数 例 1 设一组数据为 78.2；88.2；79.3；80.5；83.4；81.2；76.3；86.5 求这组数据的(1)均值；(2)中位数；(3) 极差；(4) 方差及标准差；(5)变异系 数. 解：将数据由小到大顺序排列为 76.3；78.2；79.3；80.5；81.2；83.4；86.5；88.2 (1)均值 x = 1 8 (76.3+78.2+79.3+80.5+81.2+83.4+86.5+88.2) = 1 8 ×653.6=81.7 (2)中位数 共有 8 个数据，中间两个数是 80.5 和 81.2，故 中位数 * M x = 1 2 (80.5+81.2) =80.85 (3)极差 最大数是 88.2，最小数是 76.3，故 极差 R 88.2-76.3 11.9 (4)方差 2 s = 1 8 [(76.3-81.7)2+(78.2-81.7)2+┅+(88.2-81.7)2 ] = 1 8 ×117.04=14.63
经济数学基础 第8章数据处理 标准差S=√163=382 =4.68% (5)变异系数817 例2某公司制定下一年度计划时,由A,B,CD,E五人预测下年度的销售量(单 位:吨,分别为1300:1250;1200:1230;1280 如果考虑到每人在公司的地位和作用,以及不同的业务水平,分别给予不同 的权重,若A,B的权各为30%,C,D的权各为10%,E的权为20%,求下年度销 售量的预测值及其方差 解:根据加权平均数的计算公式有 x=1300×30%+1250×30%+1200×10%+1230×10%+1280×20%=1264 即下年度销售量的预测值是1264吨 方差=(1300-12642×30%+(1250-1264)2×30%+…+(1280-1264)×20% 标准差s =√1024=32 直方图 例1某项试验测得100个数据如下 0.2530.2220.267 0.2690.3150.2350.2950.2380275 0.2890.2650.248 02950.2590.2720.2810.2610.305 0.2510.2390.2780.25 2800.2630.2570.2780.2460.285 0.2540.2490.3020.25002710.26002580.27202530.284 02550.2900.2710.25902570.2730.24602330.2490.270 027902420220025802702570.273027402 02880.2590.2700.2410.2730.2960.2480.2440.3000.254 0.2770.2440.2680.26102530.28202820.25602830.263 02520281|02360230025802550286026002780272 237—
经济数学基础 第 8 章 数据处理 ——237—— 标准差 s = 14.63=3.82 (5)变异系数 4.68% 81.7 3.82 cv = = 例 2 某公司制定下一年度计划时，由 A,B,C,D,E 五人预测下年度的销售量(单 位：吨)，分别为 1300；1250；1 200；1230；1280 如果考虑到每人在公司的地位和作用，以及不同的业务水平，分别给予不同 的权重，若 A,B 的权各为 30%，C,D 的权各为 10%，E 的权为 20%，求下年度销 售量的预测值及其方差. 解：根据加权平均数的计算公式有 x =1300×30%＋1250×30%＋1200×10%＋1230×10%＋1280×20%=1264 即下年度销售量的预测值是 1264 吨. 方差 = 2 s (1300-1264)2×30%＋(1250-1264)2×30%＋┅＋(1280-1264)2×20% =1024 标准差 1024 32 2 s = s = = 二、直方图 例 1 某项试验测得 100 个数据如下 0.253 0.222 0.267 0.278 0.269 0.315 0.235 0.295 0.238 0.275 0.289 0.265 0.248 0.256 0.295 0.259 0.272 0.281 0.261 0.305 0.251 0.239 0.278 0.251 0.280 0.263 0.257 0.278 0.246 0.285 0.254 0.249 0.302 0.250 0.271 0.260 0.258 0.272 0.253 0.284 0.255 0.290 0.271 0.259 0.257 0.273 0.246 0.233 0.249 0.270 0.266 0.279 0.242 0.220 0.258 0.271 0.257 0.273 0.274 0.244 0.288 0.259 0.270 0.241 0.273 0.296 0.248 0.244 0.300 0.254 0.277 0.244 0.268 0.261 0.253 0.282 0.282 0.256 0.283 0.263 0.252 0.281 0.236 0.230 0.258 0.255 0.286 0.260 0.278 0.272
经济数学基础 第8章数据处理 0248027029702700213026102310264027310296 (1)试列出这100个数据的频数分布表 (2)作出频数直方图 (3)作出频率直方图,并描绘出它的频率密度曲线 (4)根据频数表,求出这100个数据的均值、方差、标准差 解:(1)作频数分布表 ①确定范围 找出100个数据中的最大值和最小值,分别是0315和0213,取 a=0210(<0213),b=0.320∞0315),于是数据都落在(0210,0.320内 ②分组,确定组距和组限 0.320-0.210 d 将数据等分成10组,组距 10=0.011 确定每组的组下限和组上限,组下限和组上限分别为0210和0221,0.221和 0.232,…,0.309和0.320,填入表中的第1列 ③数出组频数 在表中的第3列用唱票法(画正字)数出每组的组频数,将结果填入表中的第4 ④计算组中值和组频率,分别填入表中的第2列和第5列.于是得到频数分布 表 频数分布表 组限组中值x唱票数频数组频数"组频率f/d 0.210~0.22 0.221~0.232 0.2265 0.03 2.73 0.232~0.243 0.2375 正T 7 0.07 6.36 238
经济数学基础 第 8 章 数据处理 ——238—— 0.248 0.279 0.297 0.270 0.213 0.261 0.231 0.264 0.273 0.296 (1)试列出这 100 个数据的频数分布表； (2)作出频数直方图； (3)作出频率直方图，并描绘出它的频率密度曲线； (4)根据频数表,求出这 100 个数据的均值、方差、标准差. 解：(1)作频数分布表 ①确定范围 找出 100 个数据中的最大值和最小值，分别是 0.315 和 0.213.取 a =0.210(<0.213)，b =0.320(>0.315)，于是数据都落在(0.210，0.320)内. ②分组，确定组距和组限 将数据等分成 10 组,组距 10 0.320 − 0.210 d = =0.011 确定每组的组下限和组上限，组下限和组上限分别为 0.210 和 0.221，0.221 和 0.232，…，0.309 和 0.320，填入表中的第 1 列. ③数出组频数 在表中的第 3 列用唱票法(画正字)数出每组的组频数，将结果填入表中的第 4 列. ④计算组中值和组频率，分别填入表中的第 2 列和第 5 列.于是得到频数分布 表. 频数分布表 组 限 组中值 i x 唱票数频数 组频数 i v 组频率 i f f i / d 0.210～0.221 0.2155 T 2 0.02 1.82 0.221～0.232 0.2265 F 3 0.03 2.73 0.232～0.243 0.2375 正 T 7 0.07 6.36
经济数学基础 第8章数据处理 0.243~0.254 0.2485 正正正 14.55 0.254~0.265 0.2595 正正正正T 0.265~0.276 0.2705 正正正正 0.21 19.09 0.276~0.287 0.281 正正正T 0.17 1545 0.287~0.298 0.2925 正F 7.27 0298~030903035 F 0.03 2.73 0.309~0.320 0.3145 0.01 0.91 (2)作频数直方图 直角坐标系中,用横轴表示数据用纵轴表示频数,在横轴上以组距为底边,以 每组的组频数为高作矩形得到频数直方图,如图 10 频数直方图 (3)频率直方图 在频数分布表中计算频率阻组距,即d,见频数分布表的最后一列,在横 轴上以组距为底,依次以a为高(=1,2…10)作矩形,得到频率直方图,如图 239
经济数学基础 第 8 章 数据处理 ——239—— 0.243～0.254 0.2485 正正正一 16 0.16 14.55 0.254～0.265 0.2595 正正正正 T 22 0.22 20 0.265～0.276 0.2705 正正正正一 21 0.21 19.09 0.276～0.287 0.2815 正正正 T 17 0.17 15.45 0.287～0.298 0.2925 正 F 8 0.08 7.27 0.298～0.309 0.3035 F 3 0.03 2.73 0.309～0.320 0.3145 一 1 0.01 0.91 合 计 100 1 (2)作频数直方图 直角坐标系中,用横轴表示数据,用纵轴表示频数,在横轴上以组距为底边，以 每组的组频数为高作矩形,得到频数直方图，如图. 0 5 10 15 20 25 频数直方图 (3)频率直方图 在频数分布表中计算频率/组距，即 f i / d ，见频数分布表的最后一列，在横 轴上以组距为底，依次以 f i / d 为高( i =1,2,…10)作矩形，得到频率直方图，如图
经济数学基础 第8章数据处理 频率直方图 (4)根据频数分布表及均值和方差的近似计算公式,得 均x≈∑∫x=0.215×002+0.265008+…+0.3145×001≈0.2619 方差: 0.02(0.2155-0.2649)2+0.03(0.2265-0.26492+ +001(0.3145-0.2649严2 ≈3.787×10 标准差:S=√s2≈√3787×10+x0019 二、综合练习 1.填空题 1.设一组试验数据为7.3,7.8,8.0,7.6,7.5,则它们的均值 ,中位数是 极差 是 方差是 标准差 变异系数是 240—
经济数学基础 第 8 章 数据处理 ——240—— 0 5 10 15 20 25 频率直方图 (4)根据频数分布表及均值和方差的近似计算公式，得 均值： i i i x f x = 10 1 = 0.21550.02+0.22650.03+ +0.31450.010.2649 方差： = − 10 1 2 2 ( ) i i i s f x x = − + − + + − 0 02 0 2155 0 2649 0 03 0 2265 0 2649 0 01 0 3145 0 2649 2 2 2 . ( . . ) . ( . . ) . ( . . ) 4 3.787 10− 标准差： 3.787 10 0.019 2 4 = − s s 二、综合练习 1.填空题 1.设一组试验数据为 7.3, 7.8, 8.0, 7.6, 7.5, 则它们的均值 是 ,中位数是 , 极差 是 , 方差是 ,标准差 是 ,变异系数是