经济数学基础 第12章假设检验 第一单元U检验 一、学习目标 通过本课的学习,掌握小概率事件原理,同时熟练掌握单正态总体均值的检验 (U检验)方法 内容讲解 1.小概率事件 假设检验是与点估计、区间估计有区别的另一类问题. 点估计面临的问题是:总体里含有未知参数,解决的方法是根据样本求出一个 量去代替未知参数:区间估计面临的问题也是总体里含有未知参数,解决的方法是 确定一个区间以一定的概率去包含未知参数;而假设检验面临的问题更加广泛,可 以推断总体里含有的未知参数,总体服从什么分布,甚至两个总体的期望或方差是 否相同.例如到达港口的船只数量服从什么分布?解决的思路是假设这个分布是服 从泊松分布,那么是否可以接受这种假设呢?下面看引例 例某种产品按规定次品率不超过4%才能出厂,今从一批产品中抽查10件,发现有 4件次品,问这批产品能否出厂? 解:假设次品率等于4% P(任抽10件发现4件次品)=C(04)(1-004) 0×9×8×7 ×(0.04)(096)=000042 4×3×2×1 这说明,在假设成立的条件下,发生抽样这种结果的概率是很小的.这种事件称 为小概率事件 416
经济数学基础 第 12 章 假设检验 ——416—— 第一单元 U 检验 一、学习目标 通过本课的学习，掌握小概率事件原理，同时熟练掌握单正态总体均值的检验 (U 检验)方法. 二、内容讲解 1.小概率事件 假设检验是与点估计、区间估计有区别的另一类问题. 点估计面临的问题是：总体里含有未知参数，解决的方法是根据样本求出一个 量去代替未知参数；区间估计面临的问题也是总体里含有未知参数，解决的方法是 确定一个区间以一定的概率去包含未知参数；而假设检验面临的问题更加广泛，可 以推断总体里含有的未知参数，总体服从什么分布，甚至两个总体的期望或方差是 否相同.例如到达港口的船只数量服从什么分布？解决的思路是假设这个分布是服 从泊松分布，那么是否可以接受这种假设呢？下面看引例. 例某种产品按规定次品率不超过 4%才能出厂,今从一批产品中抽查 10 件,发现有 4 件次品,问这批产品能否出厂? 解：假设次品率等于 4％ P(任抽 10 件发现 4 件次品)＝ 4 4 6 10 C (0.04) (1− 0.04) (0.04) (0.96) 0.00042 4 3 2 1 10 9 8 7 4 6 = = 这说明，在假设成立的条件下，发生抽样这种结果的概率是很小的.这种事件称 为小概率事件
经济数学基础 第12章假设检验 实际生活中,大家能够接受这样一个原理—一小概率事件原理:“小概率事件 在一次抽样中是不会发生的”,而该问题使得小概率事件发生,说明假设是不对的, 从而拒绝假设,表明这批产品不能出厂 假设检验的思想: 1)对所研究的总体作某个假设.(譬如:假设其未知的E(X)=90;假设其未知的 D(X)=15:假设两个总体的E(X)=E(Y);假设X的分布是正态分布的,等等.) 2)通过抽样的样本值来检验是否接受假设? 是否接受的标准就是看在假设成立条件下发生抽样结果的事件是否为小概率事 件?若是,就拒绝假设;不是就接受假设 用假设检验来做判断,有可能是错误的,两类错误都有可能,即把真说成假或把 假说成真.为了减少错误可以通过调节“小概率事件”的标准(P<a),一般取 a=0.10,0.05,0.01,称∝为检验的显著性水平,或者和区间估计中一样,称为置信 度 α取得越小,拒绝假设的可能越小,即将真说成假的错误就会减少,但将假说成 真的错误就会增加.如果要同时减少这两类错误,则可采取增加样本容量的办法 2.单正态总体均值的检验 已知方差的情形(U检验) 问题:已知总体x~N(A2),其中2已知,现要通过抽样检测判断4=A? 第一步:假设=10 第二步:适当选取一个样本的统计量在已知口2的条件下,选/Vn,因在假设 x-~N(01) =的条件下 417
经济数学基础 第 12 章 假设检验 ——417—— 实际生活中，大家能够接受这样一个原理——小概率事件原理：“小概率事件 在一次抽样中是不会发生的”,而该问题使得小概率事件发生，说明假设是不对的， 从而拒绝假设,表明这批产品不能出厂. 假设检验的思想： 1）对所研究的总体作某个假设.(譬如:假设其未知的 E(X)=90;假设其未知的 D(X)=15；假设两个总体的 E(X)=E(Y)；假设 X 的分布是正态分布的，等等.) 2）通过抽样的样本值来检验是否接受假设? 是否接受的标准就是看在假设成立条件下发生抽样结果的事件是否为小概率事 件?若是，就拒绝假设；不是就接受假设. 用假设检验来做判断,有可能是错误的,两类错误都有可能,即把真说成假或把 假说成真.为了减少错误可以通过调节“小概率事件”的标准( p ),一般取 =0.10,0.05,0.01，称 为检验的显著性水平，或者和区间估计中一样，称为置信 度. 取得越小,拒绝假设的可能越小,即将真说成假的错误就会减少,但将假说成 真的错误就会增加.如果要同时减少这两类错误,则可采取增加样本容量的办法. 2.单正态总体均值的检验 已知方差 2 的情形(U 检验) 问题:已知总体 ~ ( , ) 2 X N ,其中 2 已知,现要通过抽样检测判断 = 0 ? 第一步：假设 = 0 第二步：适当选取一个样本的统计量.在已知 2 的条件下,选 n x / − ，因在假设 = 0 的条件下: ~ (0,1) / 0 N n x −
经济数学基础 第12章假设检验 第三步:根据显著性水平a,确定拒绝域和接受域 由标准正态分布表,查出满足下述关系的a a G/√n 由概率2查表得出2,于是接受域为[一2,], 拒绝域为(-∞ 2)和(2,+∞) 第四步:计算/V,视其属什么区域而作出判断 到现在为止,我们对未知参数的判断和估计讲了三个方法,下面通过一个具体 例子把这三个不同角度提出的对参数的估计方法归纳一下 已知某元件的寿命服从标准差a=100的正态分布,而数学期望不知,现随机 抽取25件测得了它们的寿命为x(=12…25) 并算得这25件的平均寿命为950h,现对未知的数学期望有三种处理方法: 1.(点估计)利用抽取样本的测得结果,估计的值若用矩法=x=950h 2.(区间估计)求的置信区间,置信度取为0.95,即∝=005,x=950h, 100 x千 196=950千392 查2=1.96,计算 ,得置信区间为[910.8h,989.2h] (假设检验)若国家规定这种合格元件的使用寿命不低于1000,问这批元 件是否合格?假设=1000,检验假设是接受,还是拒绝?(a=05) 解:兰=1.96,接受域为[-1.96,1.96 x-0950-1000 计算统计量值/n=100/√25=-2.5g[-1,96,1.96 418
经济数学基础 第 12 章 假设检验 ——418—— 第三步：根据显著性水平 ,确定拒绝域和接受域. 由标准正态分布表,查出满足下述关系的 U = − − ) 1 / ( 2 0 U n x P ；由概率 2 1 − 查表得出 2 U ，于是接受域为[－ 2 U ， 2 U ]， 拒绝域为(-∞, － 2 U )和( 2 U ,+∞)； 第四步：计算 n x / 0 − ，视其属什么区域而作出判断. 到现在为止，我们对未知参数的判断和估计讲了三个方法，下面通过一个具体 例子把这三个不同角度提出的对参数的估计方法归纳一下. 已知某元件的寿命服从标准差 =100h 的正态分布，而数学期望不知，现随机 抽取 25 件测得了它们的寿命为 i x （ i = 1,2, ,25 ） 并算得这 25 件的平均寿命为 950h ，现对未知的数学期望 有三种处理方法： 1．（点估计）利用抽取样本的测得结果，估计 的值若用矩法 = x = 950h 2．（区间估计）求 的置信区间，置信度取为 0.95，即 = 0.05， x = 950h ， 查 2 U ＝1.96，计算 1.96 950 39.2 25 100 x = ，得置信区间为[910.8h，989.2h] 3．（假设检验）若国家规定这种合格元件的使用寿命不低于 1000h ，问这批元 件是否合格？假设 = 1000h ，检验假设是接受，还是拒绝？（ = 0.05 ） 解： 2 U ＝1.96，接受域为[－1.96，1.96] 计算统计量值 n x / 0 − ＝ 100 / 25 950 −1000 ＝-2.5 [－1.96，1.96]
经济数学基础 第12章假设检验 所以拒绝假设=1000h的假设 问题思考:如果根据抽测的样本数据推算出接受零假设,那么是否就可以认为 零假设是真的呢? 答案不是.因为根据假设检验的思想可知,即使由抽测的样本数据推算出接受零 假设,但零假设也有100a%的可能性是假的 三、例题讲解 例原有一台仪器测定元件的尺寸X~N32780002现更换成一台新仪器,已知 其测定的尺寸,方差不变仍是0.002,现要检查其测定尺寸的均值是否有变化?(a 0.01) 现利用新仪器测定了10个元件,结果为(单位:cm) 3.2813.2763.2783.2863.279 3.2783.2813.2793.2803.277 解:假设=3278 由2=0.95,查表得出2=2.575;接受域为一2.575,2.575 样本均值 x=10(3.281+3.276+3.278+3.286+3.279+3.2789+3.281+3.279+3.280+3.277) 3.2795 x-032795-3278 计算统计量值/Vn=0002/10=2.37 因为2.37∈[-2.575,2.575],所以接受=3.278的假设,或说“和3.278无显著 差异 419—
经济数学基础 第 12 章 假设检验 ——419—— 所以拒绝假设 = 1000h 的假设. 问题思考：如果根据抽测的样本数据推算出接受零假设，那么是否就可以认为 零假设是真的呢？ 答案不是.因为根据假设检验的思想可知，即使由抽测的样本数据推算出接受零 假设，但零假设也有 100 ％的可能性是假的. 三、例题讲解 例原有一台仪器测定元件的尺寸 ~ (3.278,0.002 ), 2 X N 现更换成一台新仪器,已知 其测定的尺寸,方差不变仍是 0.0022 ,现要检查其测定尺寸的均值是否有变化?（ ＝ 0.01） 现利用新仪器测定了 10 个元件,结果为（单位：cm） 3.281 3.276 3.278 3.286 3.279 3.278 3.281 3.279 3.280 3.277 解：假设 = 3.278 由 2 1 − ＝0.995 ，查表得出 2 U =2.575；接受域为[－2.575，2.575] 样本均值 10 1 x = （3.281+3.276+3.278+3.286+3.279+3.2789+3.281+3.279+3.280+3.277) ＝3.2795 计算统计量值 n x / 0 − ＝ 0.002 / 10 3.2795 − 3.278 ＝2.37 因为 2.37∈[－2.575，2.575],所以接受 =3.278 的假设,或说 和 3.278 无显著 差异
经济数学基础 第12章假设检验 a 若取a=0.05,则2=0.975,查表得2=1.96,所以接受域为[-1.96,1.96]. 因为2.37[一1.96,1.96],所以拒绝假设=3.278的假设,或说H和3.278有显 著差异. 四、课堂练习 练习:某机床厂加工一种零件根据经验知道,该厂加工零件的椭圆度服从正态分 布,其总体均值为0081mm,总体标准差为0.025mm今另换一种新机床进行加工 取200个零件进行检验,得到椭圆度均值为0072mm,试问新机床加工零件的椭圆 度总体均值与以前有无显著差别?(α=0.05) 这是已知方差σ,对正态总体的均值μ进行检验的问题,用U-检验法 由于是对总体均值的双边检验,因此零假设为h0:=0081备择假设为 H1:≠0.081 四、课后作业 1.设某产品的性能指标服从正态分布N(μ),从历史资料已知=4 抽查10个样品,求得均值为17,取显著水平α=005,问零假设h0=20是否 成立 2.从一批钢丝中抽取10个样品,测得冷拉的断力为:(N) 568570570570572 572578572584590 按标准,断力应服从N()正态分布,其中σ2已知为5,问能否认为这批钢筋的 冷拉断力为575N? 420—
经济数学基础 第 12 章 假设检验 ——420—— 若取 ＝0.05，则 2 1 − =0.975，查表得 2 U =1.96，所以接受域为[－1.96，1.96]. 因为 2.37 [－1.96，1.96],所以拒绝假设 =3.278 的假设,或说 和 3.278 有显 著差异. 四、课堂练习 练习：某机床厂加工一种零件.根据经验知道，该厂加工零件的椭圆度服从正态分 布，其总体均值为 0.081mm，总体标准差为 0.025mm.今另换一种新机床进行加工， 取 200 个零件进行检验，得到椭圆度均值为 0.072mm，试问新机床加工零件的椭圆 度总体均值与以前有无显著差别？（ ＝0.05） 这是已知方差 2 ，对正态总体的均值 进行检验的问题，用 U－检验法. 由于是对总体均值 的双边检验，因此零假设为 : 0.081, H0 = 备择假设为 H1 : 0.081 . 四、课后作业 1．设某产品的性能指标服从正态分布 ( , ) 2 N ，从历史资料已知 = 4 ， 抽查 10 个样品，求得均值为 17，取显著水平 = 0.05 ，问零假设 H0 : = 20 是否 成立. 2．从一批钢丝中抽取 10 个样品，测得冷拉的断力为：(N) 568 570 570 570 572 572 578 572 584 590 按标准，断力应服从 ( , ) 2 N 正态分布，其中 2 已知为 5，问能否认为这批钢筋的 冷拉断力为 575N？