加强条件下，由引理及二重积分中值定理，有μ(D,) = [1 J(u, v)|dudv= J(ui, vi)| μ(A,),A;其中(ui, vi) eA,(i =1,2,,n). 令5, = x(ui, vi), n; = y(ui, vi),则(5;, n.)e D, (i = 1,2,...,n).作二重积分[f(x,y)dxdy的积分和Dα=Zf(5i,n;)μ(D,)i=-1后页返回前页
前页 后页 返回 ( ) | ( , ) |d d | ( , ) | ( ), i i i D J u v u v J u v i i = = 其中 ( , ) ( 1,2, , ). i i u v i n = i 令 ( , ), ( , ), i i i i i i = = x u v y u v 则 ( , ) ( 1,2, , ). i i i = D i n 作二重积分 ( , )d d D f x y x y 的积分和 1 ( , ) ( ) n i i i i f D = = 加强条件下,由引理及二重积分中值定理, 有
Z f(x(ui, vi), y(ui, vi)/ J(ui, v)/ μ(A,).i=1这个和式是可积函数f(x(u,v),y(u,v))/J(u,v)在△上的积分和.又由变换T的连续性可知,当△的分割 T:{(A,,,,, 的细度IIT II→0 时,D 的相应分割 T,:{D,,D2,D}的细度IT,Il也趋于零因此得到[J f(x, y)dxdy = J] f(x(u, v), y(u,v)]J(u,v)]dudy.D4后页返回前页
前页 后页 返回 1 ( ( , ), ( , )) | ( , ) | ( ). n i i i i i i i i f x u v y u v J u v = = 这个和式是可积函数 f x u v y u v J u v ( ( , ), ( , )) | ( , ) | 1 2 :{ , , } T n 的分割 的细度 || || 0 T → 时, D 的 1 2 :{ , , } T D D D D n || || 相应分割 的细度 TD 也趋于零. 因此得到 ( , )d d ( ( , ), ( , )) | ( , ) |d d . D f x y x y f x u v y u v J u v u v = 在 上的积分和. 又由变换T 的连续性可知, 当
x-y例1 求 []ex+ydxdy，其中ytDD是由x=0,y=0,x+y=11所围的区域(图21-23)D解为了简化被积函数,令0xu=x-y,v=x+y.图21-23即作变换1T : x=y==(v-u)=(u+122它的函数行列式为前页后页返回
前页 后页 返回 例1 求 e d d , x y x y D x y − + 其中 D是由 x y x y = = + 0, 0, = 1 解 为了简化被积函数, 令 u x y v x y = − = + , . 所围的区域(图21-23). O x 图21 23 − 1 1 D y 即作变换 1 1 : ( ), ( ), 2 2 T x u v y v u = + = − 它的函数行列式为
11122J(u, v) ===>0.112221v在 T的作用下,区域D的11原象△如图21-24所示Au= vu =-v所以0x-yfe,dadyJedxd2图21-24DA前页后页返回
前页 后页 返回 1 1 2 2 1 ( , ) 0. 1 1 2 2 2 J u v = = − 在 T 的作用下, 区域 D 的 原象 如图21-24 所示. 所以 1 e d d e d d 2 x y u x y v D x y u v − + = O v u 图21 24 − 1 u v = − u v =